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河南省洛阳市2014届高三下学期第二次统一考试


河南省洛阳市 2013―2014 学年高三年级统一考试数学试卷(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 U={ x ? N | 0 ? x ? 8 },A={2,3,4,5},B={3,5,7},则右图所示的韦恩图中阴影部分表示的 集合为 A. {7} C. {1, 6,8} B. {2, 4} D. {2,3,4,5,7}
2

2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z ? A. 1+ i B. -1-3 i 3. 下列有关命题的说法正确的是

2 ? z
C. 1+3 i D. -1+3 i

A. 命题“若 x2 ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为“若 x2 ? 1, 则x ? 1 ” B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件
2

C. 命题“ ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D. 命题“若 x ? y ,则 cos x = cosy ”的逆否命题为真命题 4. 右图是某几何体的三视图,则此几何体的体积是 A.180 B. 108 C. 72 D. 36 5. 已知 {an } 是由正数组成的等比数列,Sn 为其 n 项和.若 a2 a4 ? 16 ,

S3 ? 7, 则 S4=
A.15 B. 31 13 27

C. 63

D.

开始

6.执行右图所示的程序框图描,输出的 T 的值为 A.12 B.20 C.30 D.42

S=0,T=0,n=0 是

T>S 否 S=S+5 n=n+2

? ?x≥-1 7. 设变量 x, y 满足约束条件?y≥x ,则 z ? 2 x ? y 的 ?3x+2y≤10. ?
最大值为 A.-3 C.6 9 B. 2 D.10
1

输出 T 结束

T=T+n

8.设 a ? 3ln 2, b ? 3 , c ? e A. c ? b ? a 9. 若 sin?+cos?=

1 2

?

1 2

,则 C. a ? b ? c D. a ? c ? b

B. c ? a ? b 2 1 ( lnx + ),则?的值为 lnx 2 ? B. k?+ ,k∈Z 4

? A.2k?+ ,k∈Z 4

? C. 2k?- ,k∈Z 4

D. k?-

? ,k∈Z 4

10.函数 y ? xsinx 在[-?, ?]上的图象

A. 11.过双曲线

B.

C.

D.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 作⊙O: x2 ? y 2 ? a2 的两条切线,记切点为 A,B,双曲线 a 2 b2

的一条渐近线与⊙O 在第一象限的交点为 C,若∠ACB=60°,则双曲线的渐近线方程为 A. y ? ?

3 x 3

B. y ? ? 3x

C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ? 2x

12.已知函数 f ( x) ? ?

?1, x ? 0, ?2( x ? 1) , x ? 0.
2

则函数 y ? f ( x ) ? a(a ? 0) 的零点的个数不可能为
2

A.5 B. 4 C.3 D. 2 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.某高中共有 2000 名学生, 采用分层抽样的分法, 分别在三个年级的学生中抽取容量为 100 的一个样本, 其中在高一、高二年级中分别抽取 30、30 名学生,则该校高三共有________名学生. 14.已知正方形 ABCD 的边长为 2,P 为其外接圆上一动点,则 AB · AP 的最大值为____________. 15. 已知△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , 其中 A=120°,S?ABC= 3, 则 a 的最小值为___ _. 16.设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 点 M 在抛物线上, 线段 MF 的延长线与直线 l : x ? ?
2





p 交于点 N, 2



1 1 ? ? _____________. MF NF

三、解答题:本大题过 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 满足: a3 ? 4, a5 ? a7 ? 14 , {an } 的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 bn ?

1 (n ? N ? ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn. an ? 1
2

2

18.(本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次数学测试中, 成绩全部介于 50 与 100 之间, 将测试结果按如下方式分成五组: 第一组[50,60) ,第二组[60,70) ,?,第五组[90,100].下图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图. (Ⅰ)若成绩大于或等于 60 且小于 80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数; (Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m、 n,求事件“|m-n|>10”概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形,AA1⊥底面 ABCD,AB=2 2, AA1=4,E 为 AA1 上 一点,且 A1E=3EA. (Ⅰ)求证:平面 EBD⊥平面 C1BD; (Ⅱ)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 C1-ABCD 公共部分的体积.

B1 D1

A1

C1

E B A

C

D

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且经过点(1, ). 2 2 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 的坐标为 (2,0) , 直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F, 交椭圆 C 于 P, Q 两点.求证: ∠PAF=∠QAF.

3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax 在 x ?

1 处取得极小值. e

(Ⅰ)若不等式 f ( x) ? bx ? e ? 0 对一切 x ? (0, ??) 恒成立,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 m,n∈(0,e),且 m+n=e,求证: f (m) ? f (n) ? 0 . 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A,B 两点,AB 是圆 O2 的直径,过 A 点作圆 O1 的切线交圆 O2 于点 E,并 与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与⊙O1、⊙O2 交于 C,D 两点. 求证: (1)PA?PD=PE?PC; (2)AD=AE.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为

? x ? ?1 ? cos ? , ? 2 (?为参数,0≤?≤?). ? sin(? ? ) ? a ,曲线 C2 的参数方程为 ? 4 2 y ? ? 1 ? sin ? . ?
(Ⅰ)求 C1,C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 C1 与 C2 有两个公共点时,求实数 a 的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ? x ? a , a ? R . (Ⅰ)当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ≤3,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若对任意的 x ? R , f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

4

5

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