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广东省肇庆市高中数学第一章计数原理122组合教案新人教A版选修2 3(数学教案)

1.2.2 组合 教学目标: 1.理解组合的意义,掌握组合数的计算公式; 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点: 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式 第一课时 一、复习引入: 1 分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同 的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法那 么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法 2.分步乘法计数原理:做一件事情, 完成它需要分成 n 个步骤, 做第一步有 m1 种不同的方法, 做第二步有 m2 种不同的方法, ……, 做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法 3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示 m 5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2) m (n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n ) 6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘规定 0! ? 1 . 7.排列数的另一个计算公式: An = 8.提出问题: 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学参加上午的 活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而示例 2 -1m n! (n ? m)! 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的引出课题:组合. 二、讲解新课: 1 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 例 1.判断下列问题是组合还是排列 (1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种 不同的飞机票价? (2)高中部 11 个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? (3)从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的 选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? (4)10 个人互相通信一次,共写了多少封信?(5)10 个人互通电话一次,共多少个电话? 问题:(1)1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗? (2)什么样的两个组合就叫相同的组合 2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. m 例 2.用计算器计算 C 10 . 解:由计算器可得 7 例 3.计算:(1) C 7 ; (2) C10 ; 4 7 7 ? 6? 5? 4 =35; 4! 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 7 (2)解法 1: C10 ? =120. 7! 10! 10 ? 9 ? 8 7 ? 解法 2: C10 ? =120. 7!3! 3! 4 (1)解: C7 ? 第二课时 3.组合数公式的推导: -2- 3 (1)从 4 个不同元素 a, b, c, d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢? 3 启发:由于排列是先组合再排列,而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4 可以求得, 3 3 故我们可以考察一下 C 4 和 A4 的关系,如下: 组 合 abc abd acd bcd ? ? ? ? abc, bac, abd, bad, acd, cad, bcd, cbd, 排列 cab, dab, dac, dbc, acb, adb, adc, bdc, bca, bda, cda, cdb, cba dba dca dcb 由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的 3 3 排列数 A4 ,可以分如下两步:① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有 C 4 个; 3 ② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有 A3 种方法.由分步计数原理得: A4 = 3 A4 . 3 A3 m 3 C ?A 3 4 3 3 ,所以, 3 C4 ? (2)推广:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An ,可以分如下两步: ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ; ② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 Am ,根据分步计数原理得: An = C n ? Am . m m m m m (3)组合数的公式: Cnm ? n! Anm n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) m ? 或C n? (n, m ? N ? , 且m ? n) m m!(n ? m)! Am m! 0 规定: C n ? 1 . 三、讲解范例: 例 4. 一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球 比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是 11 人.问: (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件 事情? 分析:对于(1),根据题意,17 名学员没有角色差异,地位完全一样,

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