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安徽省舒城一中2018届高三寒假模拟(一)数学(文)


2018 届寒假模拟(一)

文数试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A ? ?1,2,3,4,5?, B ? x ? N | ? x ?1?? x ? 4? ? 0 ,则 A ? B ? ( ) B. ?1, 2,3? C. ?2,3, 4? D. ?1, 2,3, 4? A. ?2,3?

?

?

2.若复数 z 满足 zi ? 2 ? 3i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为 ( ) B. ?3 ? 2i C. 2 ? 3i D. 3 ? 2i ? ? ? ? ? ? 3. 已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ?1, m ? , c ? ? 2, 4 ? ,且 ? 2a ? 5b ? ? c ,则实数 m ? ( A. ? ) A. ?3 ? 2i

1 3 D. 10 10 4.已知等差数列 ?an ? 的公差为 5,前 n 项和为 Sn ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S6 ?
B. ? C. A.95 B.90 C. 85 D.80 5.如图所示的程序框图,程序运行时,若输入的 S ? ?12 ,则输出的 S 的值为 ( )

3 10

1 10





A.4 B.5 C. 8 D.9 6.某几何体的三视图如图所示 (在下边的网格线中, 每个小正方形的边长为 1) , 则该几何体的体积为 A. 2 B. 3 C. 4 D.6





·1·

7.若 ?

?? ? , 0 ? 是函数 f ? x ? ? sin ? x ? cos ? x 图象的一个对称中心,则 ? 的一个取值是 ?8 ?
) B.4 C. 6 D.8

( A.2

8.设函数 f ? x ? ? ? ( A. ? )

?2 x ? n, x ? 1 ,若 ? log 2 x, x ? 1
B. ?

? f? ?

? 3 ?? f ? ? ? ? 2 ,则实数 n 为 ? 4 ??
D.

5 4

? ? 9.若 x, y 满足 ? mx ? y ? 0 且 z ? 3x ? y 的最大值为 2,则实数 m 的值为 ?3x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
( A. ) B.

1 3 x ? y ?1

C.

1 4

5 2

1 3

2 3
2

C. 1

D.2

2 2 10.已知圆 C1 : x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,抛物线 C2 : y ? 2 px ? p ? 0? , C1 与 C2 相交于 A, B 两点,且

AB ?


8 5 ,则抛物线 C2 的方程为 5


2 A. y ?

8 x 5

2 B. y ?

16 x 5

2 C. y ?

32 64 x D. y 2 ? x 5 5

11.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑,在鳖臑 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD ,且 BD ?CD AB , ? BD CD ? 的面积为 f ? x ? ,则 f ? x ? 的图象大致是 ( ) ,点 P 在棱 AC 上运行,设 CP 的长度为 x ,若 ?PBD

A.

B.

C.

D.

·2·

12.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? ax ?

?1 ? ? x ? e, e为自然对数的底数 ? 与 g ? x ? ? ex 的图象上存在关于直 ?e ? 线 y ? x 对称的点,则实数 a 取值范围是 ( )
A. ?1, e ? ? e

? ?

1? ?

B. ?1, e ? ? C. ?e ? , e ? ? e e e

? ?

1? ?

? ?

1

1? ?

D. ?e ? , e ? e

? ?

1 ? ?

第Ⅱ卷(共 90 分)[] 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 ? ? ? 0,

?? 2 ? ?? ? ? ,cos ? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? . 3? 3 ? 2? ?
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , , ?, , ,? , ,? , 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

14.已知直线 l : ax ? by ? ab ? 0 ? a ? 0, b ? 0? 经过点 ? 2,3? ,则 a ? b 的最小值为. 15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 数列 ?an ? 为 若 Sk ? 14 ,则 ak ? . 16.已知 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点,过原点的直线 l 与双曲线交于 M , N 两点, a 2 b2 ???? ??? ? 且 MF ?NF ? 0, ?MNF 的面积为 ab ,则该双曲线的离心率为.
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 17.(本小题满分 12 分) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 ? a ? c ? ? b ?

3 ac . 4

(1)求 cos B 的值;

sin B、 sin C 成等差数列,求 ?ABC 的面积. (2)若 b ? 13 ,且 sin A、

18.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为梯形,

AD / / BC, CD ? BC, AD ? 2, AB ? BC ? 3, PA ? 4, M 为 AD 的中点, N 为 PC 上一点,且
·3·

PC ? 3PN . (1)求证: MN / / 平面 PAB ; (2)求点 M 到面 PAN 的距离.

19.(本小题满分 12 分)某学校高一年级共有 20 个班,为参加全市钢琴比赛,调查了各班中会弹琴 的人数,并以组距为 5 将数据分组成 ?0,5? , ?5,10? ,?, ?30,35? , ?35,40? ,作出频率分布直方图如 下. (1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值; (2)若会弹钢琴的人数为 ?35,40? 的班级作为第一类备选班级,会弹钢琴的人数为 ?30,35? 的班级 作为第二类备选班级,现要从这两备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛,求这两类备选班 级中均有班级被选中的概率.

20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中,已知点 F ?1,0 ? ,直线 l : x ? ?1 ,动直线 l ? 垂直 l 于 点 H ,线段 HF 的垂直平分线交 l ? 于点 P ,设点 P 的轨迹为 C . (1)求曲线 C 的方程;

(2) 以曲线 C 上的点 P ? x0 , y0 ?? y0 ? 0? 为切点作曲线 C 的切线 l1 , 设 l1 分别与 x, y 轴交于 A, B 两 点, 且 l1 恰与以定点 M ? a,0?? a ? 2? 为圆心的圆相切, 当圆 M 的面积最小时, 求 ?ABF 与 ?PAM 面积的比.
·4·

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? bx, g ? x ? ? xe ? b a, b ? R, e为自然对数的底数 ,
2 x

且 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 . (1)求实数 a , b 的值; (2)求证: f ? x ? ? g ? x ? .

?

?

?

?

请从下面所给的 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ?

? x ? 2 ? t cos ? ( t 为参数) ,以 O 为极点, x 轴 ? y ? t sin ?
2 2

的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos 曲线 C 交于 P, Q 两点. (1)求曲线 C 的普通方程及直线 l 恒过的定点 A 的坐标;
·5·

? ? 2? 2 sin 2 ? ? 12 ,且直线 l 与

(2)在(1)的条件下,若 AP AQ ? 6 ,求直线 l 的普通方程.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? m ? x ? R ? . (1)当 m ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 6 的解集; (2)若不等式 f ? x ? ? 5 的解集不是空集,求参数 m 的取值范围.

·6·

参考答案(一) 一、选择题: 1. 【答案】A 试题分析:因为 B ? {x ? N | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0} ? {x ? N |1 ? x ? 4} ? {2,3},所以 A ? B = {2,3} , 故选 A. 考点:1、不等式的解法;2、集合的交集运算. 2. 【答案】B

考点:复数的概念及运算. 3. 【答案】D

试题分析:因为 2a ? 5b ? 2(2,1) ? 5(1, m) ? (?1, 2 ? 5m) ,又 (2 a ?5b) ?c ,所以 (2a ? 5b) ? c ? 0 , 即 (?1, 2 ? 5m) ? (2, 4) ? ?2 ? 4(2 ? 5m) ? 0 ,解得 m ? 考点:1、向量的坐标运算;2、向量垂直的充要条件. 4.【答案】B 试题分析:由题意,得 (a1 ? 5)2 ? a1 (a1 ? 4 ? 5) ,解得 a1 ?

?

?

?

?

?

?

? ?

3 ,故选 D. 10

5 5 6?5 ? 5 = 90 ,故 ,所以 S 6 ? 6 ? ? 2 2 2

选 B.等 考点:1、等差数列的通项公式与前 n 项和公式;2、等比数列的性质. 5.【答案】C

·7·

考点:程序框图. 6.【答案】A 试题分析:由三视图知,该几何体为四棱锥,其底面 S ? 体积 V ?

1 (1 ? 2) ? 2 ? 3 ,高为 2,所以该几何体的 2

1 1 Sh ? ? 3 ? 2 ? 2 ,故选 A. 2 3

考点:空间几何的三视图及体积. 7.【答案】C

考点:1、两角和的正弦公式;2、正弦函数的图象与性质. 【知识点睛】正弦、余弦函数的图象的对称中心就是函数图象与 x 轴的交点,对称轴是过函数图象的 最高(低)点且平等于 y 轴(或与 y 轴重合)的直线.应熟记这两类函数图象的对称轴和对称中心, 并注意数形结合思想的应用. 8. 【答案】D

1 3 3 3 3 3 ?n ? ?n, 当 ? n ? 1, 即 n ? ? 时,f ( f ( )) = 2( ? n) ? n ? 2 , 2 2 4 2 4 2 1 1 3 3 3 3 解得 n ? ? , 不符合题意; 当 ? n ? 1, 即 n ? ? 时, f ( f ( )) = log 2 ( ? n) ? 2 , 即 ? n ? 4, 3 2 2 4 2 2 5 解得 n ? ,故选 D. 2
试题分析: 因为 f ( ) ? 2 ?

3 4

考点:分段函数. 9.【答案】D 试题分析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由图知,令 z ? 2 ,联立 ? 得 A(2, 4) ,直线 mx ? y ? 0 经过点 A ,即 2m ? 4 ? 0 ,解得 m ? 2 ,故选 D.

? y ? 3x ? 2 , ?3x ? 2 y ? 2 ? 0

考点:简单的线性规划问题. 【方法点睛】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的步骤:(1)在平面直角坐标系中画出不等式 所对应方程所表示的直线;(2)将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号, 异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;(3)求区域的公共部分.
·8·

10. 【答案】C

考点:1、抛物线的方程;2、直线与圆的位置关系;3、点到直线的距离公式. 【技巧点睛】在解直线与圆相交的弦长问题时,经常采用几何法.当直线与圆相交时,半径长、半 弦长、弦心距离所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用,解题时要注意所它和点到直线的距 离公式结合起来使用. 11.【答案】 12.

13.A

考点:函数的图象.

·9·

12. 【答案】

考点:1、函数的图象;2、利用导数研究函数的单调性. 【规律点睛】根据导数与函数单调性的关系可知,在 ? a, b ? 内可导的函数 f ? x ? ,若此函数在指定区 间上单调递增(减),则函数在这个区间上的导数 f ? ? x ? ? 0 ( ? 0 ) ,且不在 ? a, b ? 的任意子区间内恒 等于 0.求解后注意进行验证. 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题 13.【答案】

15 ? 2 6
? 2

试 题 分 析 : 因 为 ? ? (0, ) , 所 以 ? ?

? ? ?? ? 5 ? ( , ) , 所 以 sin(? ? ) ? , 所 以 cos ?= 3 3 6 3 3

15 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 1 5 3 = . cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? )sin ? ? ? ? ? 6 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2
考点:1、两角差的余弦公式;2、同角三角函数间的基本关系. 【一题多解】因为 ? ? (0, ) ,所以 cos(? ?

? 2

? ? ? 1 ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? cos ? - 3 3 3 2

3 2 15 ? 2 . 1 ? cos 2 ? ? ? ,解得 cos ? ? 2 3 6
14.【答案】 5 ? 2 6 试题分析:因为直线 l 经过点 (2,3) ,所以 2a ? 3b ? ab ? 0 ,所以 b ? 所以 a ? b ? a ?

2a ? 0 ,所以 a ? 3 ? 0 , a ?3

2a 6 6 6 ? a ?3? ? 5 ? 5 ? 2 (a ? 3) ? ? 5 ? 6 ,当且仅当 a ? 3 ? , a ?3 a ?3 a ?3 a ?3

即 a ? 3 ? 6, b ? 2 ? 6 时等号成立.
·10·

考点:基本不等式. 15.【答案】

7 8

考点:等差数列的前 n 和公式. 【规律点睛】一般地,等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,除非公差为 0;公差不为 0 的等差 数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数且常数项为 0,若某数列的前 n 项和公式是关于 n 的常数项 不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列. 16.【答案】 2 试题分析:因为 MF ? NF ? 0 ,所以 MF ? NF .设双曲线的左焦点为 F? ,则由双曲线的对称性知 四边形 F ?MFN 为矩形,则有 | MF |?| NF ? |,| MN |? 2c .由双曲线的定义知,| NF ? | - | NF | = 2 a ,

???? ????

????

????

1 MNF | MF || NF |? ab ,所以 | MF || NF | = 2 ab .在 Rt ? 2 2 2 2 2 2 中, | MF | ? | NF | ?| MN | ,即 (| MF | ? | NF |) ? 2 | MF || NF | = | MN | ,所以
所以 | MF | ? | NF |? 2a .因为 S ?MNF ?

(2a)2 ? 2 ? 2ab ? (2c)2 ,把 c2 ? a 2 ? b2 代入,并整理,得

b b c ? 1 ,所以 e ? = 1 ? ( )2 ? 2 . a a a

考点:双曲线的定义及几何性质. 【技巧点睛】离心率 e 的求解中可以不求出 a, c 的具体值,而是得出 a 与 c 的关系,从而求得 e ,一 般步骤如下: ①根据已知条件得到 a, c 的齐次方程;②同时除以 a ,化简齐次方程,得到关于 e 的 一元二次方程;③求解 e 的值;④根据双曲线离心率的取值范围取舍. 三、解答题 17.【答案】 (1)
2

3 39 5 ; (2) . 4 8

试题分析: (1)根据已知条件结合余弦定理即可求得 cos B 的值; (2)首先利用余弦定理得到 a, c 的 一个关系式, 然后根据等差数列的性质与正弦定理得到 a, c 的另个关系式, 从而利用三角形面积公式 求解即可.

·11·

(2)∵ 由余弦定理,得 又∵ ∴ 由 ∴△ 、



、 ,解得 ,得

的值成等差数列,由正弦定理,得 .?????8 分 ,?????10 分 .?????12 分

的面积

考点:1、余弦定理与正弦定理;2、等差数列的性质;3、三角形面积公式. 【方法点睛】在解三角形时使用三角恒等变换,主要有两种途径:(1)利用正弦定理把边的关系化成 角,因为三个角之和等于 ? ,可以根据此关系把未知量减少,再用三角恒等变换化简求解;(2)利用 正弦定理、余弦定理把边的关系化成角的关系,再用三角恒等变换化简求解. 18.【答案】 (1)见解析; (2)

6 . 3
, MN 平 面 PAB

∴MN∥平面 PAB.???????6 分

·12·

考点:1、直线与平面平行的判定定理;2、点到平面的距离. 19.【答案】 (1)22; (2)

3 5

试题分析: (1)利用频率分布直方图的性质求解即可; (2)首先列出所有派出的方式与其中第一备 选班级和第二备选班级均被派出的情况,然后利用古典概型概率公式求解即可.

所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为 22.??????6 分

·13·

(2)由频率分布直方图知,第一备选班级为 2 个,第二备选班级为 3 个,用 表示第二备选班级 ( , ??????8 分 其中第一备选班级和第二备选班级均被派出的情况有 , 共 6 种情况。??????10 分 .?????12 分 , , , ) 。 则派出的方式为 , , , 共 10 种情况. ,

表示第一备选班级, , , ,





所以第一备选班级和第二备选班级均被派出的概率为

考点:1、频率分布直方图;2、平均数;3、古典概型. 20.【答案】 (1) y ? 4 x ; (2)
2

1 . 4

试题分析: (1)利用抛物线的定义求解; (2)首先根据条件设出直线 l1 的方程,然后联立抛物线方程, 求得点 A, B 的坐标,再利用点到直线的距离公式结合基本不等式求得距离的最小值,从而求得两个 三角形面积的比. 试题解析: (1)由题意得 点 点 点 到直线 , 的距离,????2 分

的距离等于它到定点 为焦点的抛物线,

的轨迹是以 为准线, 的轨迹 的方程为

???????4 分

·14·

令 令

则 则

, , ??????7 分



到切线

的距离

(当且仅当

时,取等号). ∴ 当 ∴ , 时,满足题意的圆 . , .?????11 分 ∴ △ . 与△ 面积之比为 . ??????12 分 的面积最小.??????9 分

考点:1、抛物线的方程及几何性质;2、直线与抛物线的位置关系;3、点到直线的距离公式;4、 基本不等式.
·15·

【方法点睛】设而不求就是指在解题过程中根据需要设出变量,但并不直接求出其具体值,而是利 用某种关系(如和、差、积)来表示变量之间的关系,在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种 “化难为易、化繁为简”的效果.此法在圆锥曲线问题解答中常与韦达定理联用. 21.【答案】 (1) a ? 0, b ? 1 ; (2)见解析.

????????4 分



???????????5 分



时,



为减函数;????????10 分




·16·

,即 . ???????????12 分 考点:导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明 【思路点睛】研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式),证明不等式时,可 一个新构造函数,将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题,即利用求导方法求单调区间,比 较函数值与 0 的关系. 请从下面所给的 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.【答案】 (1) C : x2 ? 2 y 2 ? 12 , A(2, 0) ; (2) y ?

2 2 ( x ? 2) 或 y ? ? ( x ? 2) . 2 2

试题分析: (1)根据 ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 可求得曲线 C 的普通方程,根据参数方程的意义可求得 点 A 的坐标; (2)根据参数的几何意义求得 sin ? 的值,由此求得直线 l 的斜率,从而求得直线 l 的 普通方程. 试题解析: (1) 恒过的定点为 ??.4 分 ??..2 分

考点:1、参数方程与普通方程的互化;2、直线与椭圆的位置关系;3、直线的方程. 23.【答案】 (1) {x | x ? ?2或x ? 4} ; (2) {m | ?8 ? m ? 2} . 试题分析: (1)首先利用零点分段法将不等式分类三段,然后分别求出解集,最后取它们的交集即 可; (2)分 ? m ? 3 、? m ? 3 化函数解析式为分段函数形式,然后根据不等式的解集不是空集求出 m 的取值范围.
·17·

试题解析: (Ⅰ)解:



分 解得: 分

??..10 分 法 2. 分 分 分 考点:绝对值不等式的解法、三角绝对值不等式的性质 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·18·


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