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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第9课时 复数的几何意义课件 新人教B版选修12_图文

目标导航 (1)了解复数的几何意义; (2)理解复数的模的概念,会求复数的模.

1 新知识·预习探究 知识点一 复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实 轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数.如图,点 A(-2,0)表示实数-2,点 B(0,1)表示纯 虚数 i,点 C(1,2)表示复数 z=1+2i 等.

讲重点 对虚轴及原点的理解 ①y 轴是虚轴,则原点 O(0,0)必然在虚轴上.但此点表示的复 数为实数,即 z=0,因此虚轴上的点并不都表示纯虚数,同时认为 “原点不在虚轴上”的观点是错误的.②复平面内的纵坐标轴上的 单位长度是 1,而非 i.

知识点二 复数的几何意义 每一个复数,在复平面内都有唯一的点和它对应;反过来,复 平面内的每一个点,都有唯一的一个复数和它对应.即复数集 C 和 复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的.这是复数的一种几 何意义. 复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi(a,b∈R),连结 OZ,向量 O→Z由点 Z 唯一确定;反过来,点 Z 也可以由向量O→Z唯一确定.这 样,复数集 C 和复平面内的向量O→Z所组成的集合也是一一对应的 (实数 0 与零向量对应),这是复数的另一种几何意义. 我们常把复数 z=a+bi(a,b∈R)说成点 Z 或向量O→Z,并规定 相等的向量表示同一个复数.

复数 z=a+bi(a,b∈R)(复数的代数形式)、点 Z(a,b)(复数的 几何形式)及向量O→Z(复数的向量形式)三者的关系如下:
这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复 数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决 (即数形结合),增加了解决复数问题的途径.

知识点三 复数的模 向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+ bi|.特别地,如果 b=0,那么 z=a+bi 是实数 a,它的模等于|a|(即 实数 a 的绝对值).由模的定义知:|z|=|a+bi|=r= a2+b2(r≥0, r∈R). 模的几何意义:复数的模表示向量O→Z的长度|O→Z|,也就是复平 面内的点 Z 到原点的距离.

2 新视点·名师博客 类型一 复平面内的点与复数的关系 【例 1】 当实数 m 为何值时,复数 z=(m2-8m+15)+(m2+ 3m-28)i 在复平面内的对应点(1)位于第四象限;(2)位于 x 轴负半 轴上;(3)在上半平面(含实轴).

解析:(1)要使点位于第四象限,需

??m2-8m+15>0 ???m2+3m-28<0,

∴?????m-<7<3或mm<>4,5

∴-7<m<3.

(2)要使点位于 x 轴负半轴上,

需?????mm22- +83mm+ -1258< =00, ∴?????3m<=m-<75或m=4,

∴m=4.

(3)要使点位于上半平面(含实轴),即 m2+3m-28≥0,

解得 m≥4 或 m≤-7.

点评 确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解好复数与 该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是 该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过 解方程或不等式求解.

变式训练 1 (1)复数 z=i2sinπ3+icos43π对应的点在复平面内的
(C) A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限 (2)若复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 在复平面内对应的点 位于虚轴上,则实数 m 的取值集合为_{_-__1_,2_}.

解析:(1)z=i2sinπ3+icos43π=- 23-12i,

?
在复平面内对应的点为?-
?

23,-12???,在第三象限.

(2)因为复数 z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i 在复平面内对应的

点位于虚轴上,所以 m2-m-2=0,解得 m=2 或 m=-1.

类型二 复平面内复数与向量的关系 【例 2】 在复平面内,复数 i,1,4+2i 对应的点分别为 A,B, C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数.

解析:方法一:由已知 A(0,1),B(1,0),C(4,2),则 AC 的中点

坐标为 E???2,23???.由平行四边形的性质可知,E 也是 BD 的中点.

设 D(x,y),则?????xy+ +22 10= =232,

∴?????xy= =33. 即 D(3,3).

∴D 点对应的复数为 3+3i.

方法二:由已知可得:O→A=(0,1),O→B=(1,0),O→C=(4,2),

∴B→A=(-1,1),B→C=(3,2),∴B→D=B→A+B→C=(2,3),

∴O→D=O→B+B→D=(3,3),∴点 D 对应的复数为 3+3i.

点评 根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原 点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应 的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的 向量.

变式训练 2 (1)向量O→A对应的复数为 1+4i,向量O→B对应的 复数为-3+6i,则向量O→A+O→B对应的复数为( B )
A.-3+2i B.-2+10i C.4-2i D.-12i (2)复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量O→A与O→B,则向量A→B表 示的复数是__-__6_-__8_i__.

解析:(1)向量O→A对应的复数为 1+4i,向量O→B对应的复数为 -3+6i,
所以O→A=(1,4),O→B=(-3,6), 所以O→A+O→B=(1,4)+(-3,6)=(-2,10), 所以向量O→A+O→B对应的复数为-2+10i. (2)因为复数 4+3i 与-2-5i 分别表示向量O→A与O→B,所以O→A= (4,3),O→B=(-2,-5),又A→B=O→B-O→A=(-2,-5)-(4,3)=(-6, -8),所以向量A→B表示的复数是-6-8i.

类型三 复数模的计算与几何意义的应用

【例 3】 (1)设复数 z=(x+1)+(x-3)i,x∈R,则|z|的最小值

为( )

A.1

B.2

C.2 2

D.4

(2)已知复数 z1=x2+ x2+1i,z2=(x2+a)i,对于任意 x∈R 均 有|z1|>|z2|成立,试求实数 a 的取值范围.

解析:(1)据条件可得 |z|= ?x+1?2+?x-3?2= 2x2-4x+10 = 2?x2-2x+1?+8= 2?x-1?2+8≥2 2, 即|z|的最小值为 2 2. (2)因为|z1|>|z2|,所以 x4+x2+1>(x2+a)2, 所以(1-2a)x2+(1-a2)>0 对 x∈R 恒成立. 当 1-2a=0,即 a=12时,不等式成立;
当 1-2a≠0,即 a≠12时,需?????1--42?1a->20a??1-a2?<0,
所以-1<a<12,综上,a∈???-1,12???.

点评 求解关于复数模最值问题的两种方法 (1)将 z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求 的模用 x,y 的函数表示出来,转化为函数最值问题. (2)因为复数和图形有着密切的关系,可以利用这种关系把所给 条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.

变式训练 3 图形?
(1)|z|=4. (2)2<|z|<4.

设 z∈C,满足下列条件的点的集合分别是什么

解析:(1)复数 z 的模等于 4,就是说,向量O→Z的模等于 4,所 以满足条件|z|=4 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 4 为半径的 圆.

(2)2<|z|<4 可化为不等式组?????||zz||<>42,. 不等式|z|<4 的解集是圆|z|=4 内部所有的点组成的集合, 不等式|z|>2 的解集是圆|z|=2 外部所有的点组成的集合,
这两个集合的交集就是不等式组?????||zz||<>42 所表示的集合.容易 看出,点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 2 及 4 为半径的圆所夹的 圆环,但不包括圆环的边界.