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甘肃省张掖市2016届高三上学期第一次诊断考试数学(文)试题


张掖市 2015-2016 年度高三第一次诊断考试数学(文科)试卷
命题人:王 浩 审题人:吴佩禄 命题学校:张掖市第二中学 审题学校:张掖市第二中学

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求。 (1)设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1?, N ? ?x | x2 ? x? ,则 M ? N ? ( A. )

? 0,1?
3?i 等于 1? i

B. ? ?1,1? D. ? ?1, 0?

C. ? ?1,1? (2)复数 z ?

A. 1 ? 2i C. 2 ? i

B. 1 ? 2i D. 2 ? i

(3)如图所示,以边长为 1 的正方形 ABCD 的一边 AB 为直径在其内部作一半圆。若在正方形中任取一点 P , 则点 P 恰好取自半圆部分的概率为( )

? A. 2
? C. 4
A. ?4 B. ?6 C. ?8 D. ?10

1 B. 2

? D. 8


(4)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? (

[来源:Zxxk.Com]

(5)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 ( ) A. ? 2 B. 0 C. ?? D. ?? (6)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 , 则 PQ =( ) A.9 C.7 B.8 D.6

? 1 x ?( ) , x ? 4 (7)已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f(1+log25)的值为( ) ? ? f ( x ? 1), x ? 4

A. C.

1 4

B. ( ) D.

1 2

1? log 2 5

1 2

1 20

(8)双曲线 A. 2 C. 2

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则双曲线离心率为 a 2 b2
B. 3 D. 3 )

(9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2 2 B. C.

4 3 8 3

D. 4 (10)定义运算:

a1 a3

a2 a4

? a1a4 ? a2 a3 ,将函数 f ? x ? ?

3 sin ?x 5 ( ? ? 0 )的图象向左平移 ? 个单位, 6 1 cos?x


所得图象对应的函数为偶函数,则 ? 的最小值是( A.1 C. B.

1 5

11 5

D.2

(11)如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 ,线段 B1 D1 上有两个动点 E、F ,且 EF ? 中错误 的是( .. A. AC ? BE B. EF // 平面 ABCD C.三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 D. ?AEF 的面积与 ?BEF 的面积相等 (12)函数 f ( x ) 在定 义域 R 内可导,若 f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x ? (??,1) 时, )

1 ,则下列结论 2

1 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 ( 2
A. a ? b ? c C. c ? b ? a

)

B. c ? a ? b D. b ? c ? a

第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题---第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)曲线 y ? x ? 2 x 在点 (1, ?1) 处的切线方程是________. ? ? ? ? ? ? (14)已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60° ,则 | 2a ? b |?
3



?x ? 1 (15)已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足: ? ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的 ? y ? a ( x ? 3) ?
最小值为 1,则 a ? (16)把数列 ? .

? 1 ? ? 的所有数按照从大到小的原则写成如下数表: ? 2n ? 1 ?

第 k 行有 2k ?1 个数,第 t 行的第 s 个数(从左数起)记为 A ? t , s ? , 则 A? 6,10? ? __________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? (Ⅰ)求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.

1 10 , cos ?ADC ? ? . 4 8

(18) (本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90? , AB ? AC ? 2 , AA 1 ?3.

?PBC 为等边三角形,求出点 P 的位置; ( Ⅰ)过 BC 的截面交 A 1 A 于 P 点,若
(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,求四棱锥 P ? BCC1B1 与三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积比.

n

(19) (本小题满分 12 分) 张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 人,问题是“大佛寺是几 A 级旅游景点?”统计结果如下图表. 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [15,25)
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

回答正确 的人数

回答正确的人数 占本组的频率 0.5
[来源:学,科,网]

a

[来源:学+科+网]

[25,35) [35,45) [45,55) [55,65]

18

x
0.9 0.36

b
9 3

y

(Ⅰ)分别求出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率. (20) (本题满分 12 分) 如图,椭圆 E :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 经过点 (1,1) , 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q(均异于点 A ) , 证明: 直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值.

(21) (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? bx ? c , f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 4 ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若在区间 ? ,5? 内,恒有 f ( x) ? x2 ? ln x ? kx 成立,求 k 的取值范围. 2

?1 ?

? ?

请从下面所给的 22、23、24 三题中选一题做答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑, 按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按第一题评分。 (22) (本题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲 如图,已知圆上的弧 证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC2=BE· CD. ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,

(23) (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, (t 为参数), ? y ? 3? 1t ? ? 2

圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) . 6 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若 P( x, y ) 是直线 l 与圆面 ? ≤ 4sin(? ? ) 的公共点,求 3x ? y 的取值范围. 6

?

?

(24) (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m ? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ? ?1,1? . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ,且
?

1 1 1 ? ? ? m ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9 . a 2b 3c

张掖市 2015-2016 年度高三第一次诊断考试数学(文科)试卷

参考答案
一、选择题 1、 【答案】A 【解析】由 x 2 ? x ,得 0 ? x ? 1 ,因此 M ? N ? ?x | ?1 ? x ? 1?? ?x | 0 ? x ? 1? ? ?x | 0 ? x ? 1?,故答案为 A. 2、 【答案】C 【解析】 z ? 故选 C. 3、 【答案】 D

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 4 ? 2i ? ? ? 2?i ; 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

1 ?1? ? ?? ? 2 ? 2 ? ? ? .故 D 正确. 【解析】所求概率 P ? 1? 1 8
4、B
2 【解析】 a1 ,a 3 , a 4 成等比数列? a3 ? a1a4 ? ? a1 ? 4 ? ? a1 ? a1 ? 6 ? ? a1 ? ?8 ? a2 ? ?8 ? 2 ? ?6 2

2

5、A

,? ? 1 ?1 , 0满足条件继续循环;第二次循环可得: 【 解 析 】 第 一 次 循 环 可 得 : x ? 2 ? 1? 2y x ? 2 ? 2? 4y ,? ? 0 ?1? , 1 满足条件继续循环; 第三次循环可得:x ? 2 ? 4 ? 8, y ? ?1 ? 1 ? ?2 , 不满足条件,
跳出循环体,可得 y ? ?2 ,故选择 A. 6、B 【 解 析 】 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 F (1, 0) , 准 线 方 程 为 x ? ?1 。 根 据 抛 物 线 第 二 定 义 可 得 ,

| PQ |?| PF | ? | QF |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 8 ,故选 B
7、 【答案】D 【解析】∵2<log25<3,∴3<1+log25<4,则 4<2+log25<5, 则 f(1+log25)=f(1+1+log25)=f(2+log25)= ( ) 故选:D. 8、 【答案】C 【解析】双曲线 所以

1 2

2 ? log 2 5

?

1 1 log2 5 1 1 1 ?( ) ? ? ? , 4 2 4 5 20

x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1相切,则圆心 ? 0, 2 ? 到直线 bx ? ay ? 0 的距离为 1, 2 a b
2a c ? 1 ,所以双曲线离心率 e ? ? 2 ,故选 C. c a

2a a 2 ? b2

? 1,即

9、 【答案】C 【解析】几何体为一个斜置的四棱锥,高为

2 ,底面为矩形,长为 2 2 ,宽为 2 ,所以体积为

1 8 ? 2 ? (2 2 ? 2) ? 3 3 ,选 C.
10、 【答案】 A 【解析】由题意可知 f ? x ? ? 3 cos ? x ? sin ? x ? 2cos ? ? x ?

? ?

5 ?? ? , 将函数 f(x)的图象向左平移 6 ? 个单位后得 6?

到 y ? 2cos ?? ? x ? 故选 A. 11、 【答案】D

? ? ? ?

5? 6

(5? ? 1)? ? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? ? x ? 6 ? 6? ?

(5? ? 1)? ? ? k? , k ? Z ∴ ? 的最小值是 1, ? 为偶函数∴ 6 ?

【解析】因为 AC ^ 平面 BDD1B ,而 BE ? 平面 BDD1B1 ,故有 AC ? BE ,所以 A 项正确,根据线面平行的判定

BEF 的面积是定值,且点 A 到平面 BDD1B 的距离是定值 定理,知 B 项正确,因为三棱锥的底面 D

2 ,所以 2

其体积为定值,故 C 正确,很显然,点 A 和点 B 到 EF 的距离是不相等的,故 D 是错误的,所以选 D. 12、 【答案】B 【解析】因为当 x ? (??,1) 时, ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 (??,1) 上是单调递增的, 所 以 a ? f (0) ? b ? f ( ) , 而 f ( x) ? f (2 ? x) , 所 以 c ? f (3) ? f (?1) , 所 以 c ? f (?1) ? a ? f (0) , 即

1 2

c ? a ? b ,故应选 B .
二、填空题
13、【答案】 【解析】y′=3x

x-y-2=0
2

-2,k=3-2=1,所以切线方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0.

14、 【答案】 13

【解析】由题可知, | 2a ? b |2 ? 4 | a |2 ?4ab ? | b |2 ? 16 ? 4 ? 6 ? cos60? ? 9 ? 13 ,于是 | 2a ? b |? 13 ; 15、 【答案】

? ?

?

??

?

?

?

1 2

【解析】根据题意,在坐标系中画出相应的区域的边界线 x ? 1, x ? y ? 3 ,再画出目标函数取得最小值时对应的 直线 2 x ? y ? 1 ,从图中可以发现,直线 2 x ? y ? 1 与直线 x ? 1 的交点为 (1,? 1),从而有点 (1,? 1)在直线

y ? a( x? 3)上,代入求得 a ?
16、 【答案】

1 . 2

1 81

0 1 2 3 4 【解析】前 5 行共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 31 个, A ? 6,10? 为数列的第 41 项,? an ?

1 1 ? a41 ? 2n ? 1 81

三、解答题

6 17、 【答案】 (1) 4 (2)4
【解析】 (1)
? cos B ? 10 3 6 ,? sin B ? ; 8, 8

2分

1 15 cos?ADC ? ? ,? sin ?ADC ? 4 4 ? sin ?BAD ? sin(?ADC ? ?B) ? 6 ; 4

4分

6分

(2)在 ?ABD

3 BD ? AD BD 3 6 6 ? 8 4 sin B sin ? BAD 中,由正弦定理,得 ,即 ,

8分

解得 BD ? 2 …故 DC ? 2 , 从而在 ?ADC 中,由余弦定理,

10 分

1 ? 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? ( ? ) ? 16 4 得 AC ? AD ? DC ? 2 AD ? DC cos ?ADC ;
2 2 2

所以

AC= 4

12 分

2 18、 【答案】 (1)点 P 的位置为 AA1 的三等分点,且靠近 A1 处; (2)体积比为 . 3
【解析】 : (1) 由题意 PC ? PB ? 2 2 , 在三棱柱中,由 AA1 ? 平面 ABC 且 AB ? AC ? 2 可得, PA ? 2 , 故点 P 的位置为 AA1 的三等分点,且靠近 A1 处. (2)由(1)可知, VABC ? A1B1C1 ? 2分 4分 6分 7分 8分 9分

1 ? 2? 2?3 ? 6 , 2

1 1 2 VP ? A1B1C1 ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 2 3 1 1 4 VP ? ABC ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? , 3 2 3
所以 VP ? BCC1B1 ? 6 ?

4 2 ? ?4, 3 3
2 . 3
12 分 (2)第 2,3,4 组每组各抽取 2 人,3 人,1 人;

所以所求两个几何体的体积比为

19、 【答案】 (1)a=5,b=27,x=0.9,y=0.2; (3)

1 。 5

【解析】 : (1)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n ?

9 ? 25 , 0.36

1分 2分

25 ? 100 , 0.025? 10

? a ? 100 ? 0.01 ?10 ? 0.5 ? 5 , b ? 100 ? 0.03 ?10 ? 0.9 ? 27 ,
x? 18 ? 0.9, 20 y? 3 ? 0 .2 15
5分 4分

(2)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, 所以利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人, 每组分别抽取的人数为:第 2 组: 第 4 组:

18 27 第 3 组: ? 6 ? 3 人; ? 6 ? 2 人; 54 54

9 ? 6 ? 1人 54

8分

(3)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为: (A1,A2) , (A1, B1) , (A1,B2) , (A1,B3) , (A1,C1) , (A2,B1) , (A2, B 2) , (A2,B3) , (A2,C1) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,C1) , (B2,B3) , (B2,C1) , (B3,C1)共 15 个基本事件,其中恰好 没有第 3 组人共 3 个基本事件, ∴所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: P ?

3 1 ? . 15 5

12 分

20、 【解析】 : (Ⅰ)由题意知 4分

x2 c 2 ? , b ? 1 ,综合 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 ,所以,椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . 2 a 2

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (Ⅱ)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

6分

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

8分

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x2

?1 1? x ?x ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ?
? 2k ? ? 2 ? k ? 4k (k ? 1) ? 2k ? 2(k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)
得证。 12 分

21、 【答案】 (1) f ( x) ? ln x ? 2 x ? 3(2) f ( x) 的单调增区间为 (0, ) , 单调减区间为 ( , ??)(3) ? ??, ? 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ?

1 2

1 2

? ?

17 ? ? 2?

1 ? b,? f ?( x) |x ?1 ? 1 ? b x
2分

又切线斜率为-1,故 1 ? b ? ?1 ,从而 b ? 2 将 (1, f (1)) 代入方程 x ? y ? 4 ? 0 得: 1 ? f (1) ? 4 ? 0 ,从而 f (1) ? ?5

? f (1) ? ?b ? c ? ?5 ,将 b ? 2 代入得 c ? ?3 故 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 3
(Ⅱ)依题意知 x ? 0 , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,得: 0 ? x ?

4分

1 ?2 x

1 1 ,再令 f ?( x) ? 0 ,得: x ? 2 2 1 2 1 2
6分

故 f ( x) 的单调增区间为 (0, ) ,单调减区间为 ( , ??) (Ⅲ)由在区间 ? ,5? 内 f ( x) ? x ? ln x ? kx 得: 2
2

?1 ?

? ?

ln x ? 2 x ? 3 ? x2 ? ln x ? kx ,? k ? ? x ? 2 ?
设 g ( x) ? ? x ? 2 ?

3 x

8分

3 3 , g ?( x) ? ?1 ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 (负值舍去) . x x

令 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 3 ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 3 故当 x ? ( , 3) 时, g ( x) 单调递增,当 x ? ( 3,5) 时, g ( x) 单调递减, 从而 g ( x) 的最小值只能在区间 ? ,5? 的端点处取得 2

1 2

?1 ?

? ?

10 分

3 38 17 1 1 17 g ( ) ? ? ? 2 ? 6 ? ? , g (5) ? ?5 ? 2 ? ? ? , ∴ [ g ( x)]min ? ? . 5 5 2 2 2 2
所以 k ? ?

17 17 ? ? ,即 k 的取值范围为 ? ??, ? ? . 2 2? ?

12 分

选做题 22、 【解析】(1)因为 ,所以∠ABC=∠BCD.

又因为 EC 与圆相切于点 C,故∠ACE=∠ABC,所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, 所以△BDC∽△ECB,故

BC CD = ,即 BC2=BE· CD. BE BC
?

23、 【解析】 : (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ) 6 所以 ? 2 ? 4 ? sin(? ?
2 2 2

?
6

) ? 4? (

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2
2 2 2 2

又 ? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所以 x ? y ? 2 3 y ? 2 x 所以圆 C 的直角坐标方程为: x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0 .
2 2

5分

(2)设 z ? 3x ? y ,由圆 C 的方程 x ? y ?2 x ? 2 3 y ? 0 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 所以圆 C 的圆心是 (?1, 3) ,半径是 2
? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 将? 代入 z ? 3x ? y 得 z ? ?t ? y ? 3 ? 1t ? ? 2

8分

又直线 l 过 C(?1, 3) ,圆 C 的半径是 2 ,由题意有: ?2 ? t ? 2 所以 ?2 ? ?t ? 2 ,即 3x ? y 的取值范围是 [?2, 2] . 24、 【解析】 :解:(1)因为 f ( x ? 2) ? m ? | x | , 所以 f ( x ? 2) ? 0 等价于 | x |? m , 2 分 由 | x |? m 有解,得 m ? 0 ,且其解集为 x | ? m ? x ? m? . 又 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ? ?1,1? ,故 m ? 1 . (2)由(1)知 10 分

?

4分 5分

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a, b, c ? R ? , a 2b 3c

7分

∴ a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ∴ a ? 2b ? 3c ? 9 解法 2 (2)由(1)知 .

1 a

1 1 1 1 1 ? 3c ? ) 2 ? 9 ? ) ? ( a ? ? 2b ? a 2b 3c 2b 3c
10 分

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a, b, c ? R ? , a 2b 3c

7分
2

1 1 1 12 12 12 ?1 ? 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c a 2b 3c a ? 2b ? 3c ∴ a ? 2b ? 3c ? 9 .

10 分


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