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等差数列前n项和性质及应用


复习回顾
等差数列的前n项和公式: 等差数列的前n项和公式:

n(a1 + an ) 形式1: 形式1: S n = 2
形式2: 形式2:

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

n(n ?1) n(a1 + an ) d = na1 + = sn 2 2
n

a

n

a

1

a

1

n

a

1

(n ? 1)d

思考题:如何求下列和? 思考题:如何求下列和? 个自然数的和: ①前100个自然数的和: 个自然数的和 1+2+3+…+100= 5050 ; ②前n个奇数的和:1+3+5+…+(2n个奇数的和: 个奇数的和 n2 1)= ; 个偶数的和: ③前n个偶数的和: 个偶数的和 2+4+6+…+2n= n(n+1) .

1.将等差数列前n 1.将等差数列前n项和公式 将等差数列前

看作是一个关于n的函数, 看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点? 有什么特点?

n(n ?1)d Sn = na1 + 2

d d 令 A = , B = a1 ? 2 2

d 2 d S n = n + (a1 ? )n 2 2
则 Sn=An2+Bn

≠0时 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 ≠0

㈡【说明】 ㈡【说明】 说明

①推导等差数列的前n项和公式的 推导等差数列的前 项和公式的 方法叫 倒序相加法 ; ②等差数列的前n项和公式类同 等差数列的前 项和公式类同 于 梯形的面积公式 ; Sn=an2+bn ,这 为等差数列? ③{an}为等差数列? 为等差数列 是一个关于 n 的没有 常数项 的 “ 二次函数 ” ( 注意 a 还可以是 0)

已知数列{a 中 例1 已知数列 n}中Sn=2n2+3n, , 求证: 是等差数列. 求证:{an}是等差数列 是等差数列

项和是2, 例1、若等差数列 n}前4项和是 ,前9 、若等差数列{a 前 项和是 项和是- ,求其前n 项和的公式。 项和是-6,求其前 项和的公式。 公差为d,则有: 解:设首项为a1,公差为 ,则有: 设首项为
18 1 ? ? ? a 1 = 15 ? 2 = 4a 1 + 2 × 4 × 3d 解之得: , 解之得:? ? 1 7 ? ? 6 = 9a 1 + × 9 × 8d ?d = ? 2 15 ? ? ∴S = 18 n + 1 n(n ? 1) × (? 7 ) = ? 7 n 2 + 43 n 。 n 15 2 15 30 30

另解: 另解:
设 Sn= an2 + bn,依题意得: ,依题意得: S4=2, S9= -6, 解之得: 解之得:

? 2 = a ×4 + b×4 即 , ? 2 ?? 6 = a × 9 + b × 9
2

7 ? ? a = ? 30 , ? 43 ?b = 30 ?

7 2 43 n + n。 ∴ Sn = ? 30 30

等差数列的前n项的最值问题 等差数列的前 项的最值问题 已知等差数列{a 中 例1.已知等差数列 n}中,a1=13且S3=S11, 已知等差数列 且 取何值时,S 求n取何值时 n取最大值 取何值时 取最大值. 解法1 解法 由S3=S11得
1 1 3 × 13 + × 3 × 2 × d = 11 × 13 + × 11 × 10 × d 2 2

1 ∴ S n = 13n + n( n ? 1) × ( ?2) 2 2 2 = ? n + 14n = ?( n ? 7) + 49
∴当n=7时,Sn取最大值 时 取最大值49.

∴ d=-2 -

等差数列的前n项的最值问题 等差数列的前 项的最值问题 已知等差数列{a 中 例1.已知等差数列 n}中,a1=13且S3=S11, 已知等差数列 且 取何值时,S 求n取何值时 n取最大值 取何值时 取最大值. 解法2 解法 由S3=S11得 d=-2<0 - 则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为 ∴当n=7时,Sn取最大值 时 取最大值49.
Sn

3 + 11 n= =7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 等差数列的前 项的最值问题 已知等差数列{a 中 例1.已知等差数列 n}中,a1=13且S3=S11, 已知等差数列 且 取何值时,S 求n取何值时 n取最大值 取何值时 取最大值. 解法3 解法 由S3=S11得 d=-2 - ∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 - 15 ? ? an ≥ 0 ?n ≤ 2 ? 由 ? 得 ? an + 1 ≤ 0 ? n ≥ 13 ? ? 2 ? ∴当n=7时,Sn取最大值 时 取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 等差数列的前 项的最值问题 已知等差数列{a 中 例1.已知等差数列 n}中,a1=13且S3=S11, 已知等差数列 且 取何值时,S 求n取何值时 n取最大值 取何值时 取最大值. 解法4 解法 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 - ∴a7>0,a8<0 ∴当n=7时,Sn取最大值 时 取最大值49.

例1的变式题一:等差数列 n}中, 的变式题一:等差数列{a 中 首项a 0 首项 1>0,S3 = S11,问:这个数列 的前几项的和最大? 的前几项的和最大?

例1的变式题二:等差数列 n}的首 的变式题二:等差数列{a 的首 项和为S 项a1> 0, 前n项和为 n,Sm= Sl ,问: n 项和为 问 为何值时, 最大? 为何值时,Sn最大?

是等差数列, 例2:已知数列 n}是等差数列,且 :已知数列{a 是等差数列 a1= 21,公差 -2,求这个数列的前 ,公差d=- , n项和 n的最大值。 项和S 项和 的最大值。 已知 a3 = 24, s11 = 0 求: ①数列 {a n }的通项公式 3设等差数列 的前n项和为 例3设等差数列 {a n }的前n项和为 s n,

s ②当n为何值时, n 最大, 为何值时, 最大,

求等差数列前n项的最大 小 的方法 求等差数列前 项的最大(小)的方法 项的最大

d 2 d 方法1:由 方法 由Sn = n + (a1 ? )n利用二次函 2 2

数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值 数的对称轴求得最值及取得最值时的 的值. 的值 方法2:利用 的符号① 方法 利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 利用 时 数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 前面有若干项为正 此时所有正项的和为 Sn的最大值 其n的值由 n≥0且an+1≤0求得 的最大值,其 的值由 的值由a 且 求得. 求得 数列前面有若干项为负, ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负 时 数列前面有若干项为负 此时所有负项的和为Sn的最小值 的最小值,其 的值 此时所有负项的和为 的最小值 其n的值 求得. 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得 且 求得

练习:已知数列 练习 已知数列{an}的通项为 已知数列 的通项为 an=26-2n,要使此数列的前 项和 要使此数列的前n项和 要使此数列的前 最大,则 的值为 的值为( 最大 则n的值为 C ) A.12 D.14 B.13 C.12或13 或

2.等差数列 n}前n项和的性质 等差数列{a 前 项和的性质 等差数列 在等差数列{a 中 其前 项的和为S 则有 其前n项的和为 在等差数列 n}中,其前 项的和为 n,则有 性质1:S 也成等差数列, 性质 n,S2n-Sn,S3n-S2n, …也成等差数列 也成等差数列 公差为 n2d 性质2:若 性质 若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p) 则 性质3:若 性质 若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 则

Sn 性质4: 为等差数列. 性质 { } 为等差数列 n

两等差数列前n项和与通项的关系 两等差数列前 项和与通项的关系 性质6:若数列 都是等差数列,且 性质 若数列{an}与{bn}都是等差数列 且 若数列 与 都是等差数列 an S = 2 n ?1 项的和分别为S 前n项的和分别为 n和Tn,则 项的和分别为 则 bn T
2 n ?1

3.等差数列 n}前n项和的性质的应用 等差数列{a 前 项和的性质的应用 等差数列 设等差数列{a 的前 项和为S 若 的前n项和为 例1.设等差数列 n}的前 项和为 n,若 设等差数列 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B ) 则 A.63 B.45 C.36 D.27

在等差数列{a 中 已知公差 已知公差d=1/2,且 例2.在等差数列 n}中,已知公差 在等差数列 且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )

A

A.85

B.145

C.110

D.90

等差数列{a 前 项和的性质的应用 等差数列 n}前n项和的性质的应用 一个等差数列的前10项的和为 例3.一个等差数列的前 项的和为 一个等差数列的前 项的和为100, 项的和为10,则它的前 前100项的和为 则它的前 项的和 项的和为 则它的前110项的和 为 -110 . 例4.两等差数列 两等差数列{an} 、{bn}的前 项和分 的前n项和分 两等差数列 的前

Sn 7n + 1 别是Sn和 且 别是 和Tn,且 = Tn 4n + 27
a5 an . 求 和 b5 bn a5 64 = b5 63 an 14n ? 6 = bn 8n + 23

等差数列{a 前 项和的性质的应用 等差数列 n}前n项和的性质的应用 一个等差数列的前12项的和为 例5.一个等差数列的前 项的和为 一个等差数列的前 项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 . 的项的和之比为32:27,则公差为 5 的项的和之比为 则公差为 宁夏)等差数列 的前n项的和 例6.(09宁夏 等差数列 n}的前 项的和 宁夏 等差数列{a 的前 已知a 为Sn,已知 m-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 已知 则 m= 10 . 设数列{a 的通项公式为 的通项公式为a 例7.设数列 n}的通项公式为 n=2n-7, 设数列 . 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153

等差数列{a 前 项和的性质 等差数列 n}前n项和的性质 设等差数列的前n项和为 例8.设等差数列的前 项和为 n,已知 设等差数列的前 项和为S 已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出数列 n}中数值最大的项 并说明 指出数列{S 中数值最大的项 中数值最大的项,并说明 指出数列 理由. 理由 a1+2d=12 12a1+6×11d>0 解:(1)由已知得 由已知得 × 13a1+13×6d<0 ×

24 ? < d < ?3 7

1 (2) ∵ Sn = na1 + n( n ? 1)d 2 1 = n(12 ? 2d ) + n( n ? 1)d 2

2 d 24 < d < ?3 ∴Sn有最大值 由(1)知 ? 知 有最大值. 7 5 12 13 13 由上得 6 < ? 即6 < n < < 2 d 2 2
由于n为正整数 所以当 由于 为正整数,所以当 为正整数 所以当n=6时Sn有最大值 时 有最大值.

d 2 5d = n + (12 ? )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n = ? 图象的对称轴为

练习1 练习1 已知等差数列25,21,19, 的前n项和 已知等差数列25,21,19, …的前 项和 求使得S 最大的序号n的值 的值. 为Sn,求使得 n最大的序号 的值.
练习2: 练习2: 求集合 M = {m m = 2n ?1, n ∈ N
?

, m < 60}

的元素个数,并求这些元素的和. 的元素个数,并求这些元素的和.

练习3:已知在等差数列{ 练习 :已知在等差数列{an}中,a10=23, , a25=-22 ,Sn为其前 项和. 为其前n项和 项和.
(1)问该数列从第几项开始为负? 问该数列从第几项开始为负? (2)求S10 (3)求使 Sn<0的最小的正整数n. |+|a |+|a +|a (4) 求|a1|+| 2|+| 3|+…+| 20|的值

根据等差数列前n项和,求通项公式. 1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n=1 ? a1 an = ? ? S n ? S n ?1 n ≥ 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值. 的最值.

d 2 d S n = n + (a1 ? )n 2 2

作业: 作业: 1: 等差数列 n}的前n项和 n满足 等差数列{a 的前 项和S 的前n S5=95, S8=200,求Sn。 求 的前n 2: 若数列 n}的前n项和 n满足 若数列{a 的前 项和S Sn=an2+bn,试判断 n}是否是等差数列。 试判断{a 是否是等差数列。 试判断 是否是等差数列 3、设等差数列{an}的前n项和为 n, 、设等差数列 的前n 的前 项和为S 已知a 已知 3=12, S12>0, S13<0。 。 (1)求公差 的取值范围 求公差d的取值范围 求公差 的取值范围; (2)指出 1 , S2, … , S12中哪个值最大, 指出S 中哪个值最大, 指出

? 95 = 25 a + 5 b 1、 设Sn=an2+bn, 则有:? 、 则有: 。 ? 200 = 64 a + 8 b
?a = 2 解之得: 解之得: , Sn=3n2+n。 ∴ 。 ? ?b = 9

2、是。 、

? a1 = S 1 简单提示:利用公式: 简单提示:利用公式: ? ? a n = S n ? S n ?1

( n = 1) ( n ≥ 2)

3、(1) 、 )

24 ? < d <, 3 (2)S6最大。 ? ) 最大。 7


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