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高中数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结

解直角三角形...............2

数列.......................5

不等式.....................11

1

解三角形复习知识点
一、知识点总结 【正弦定理】
1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
a b
c

2.正弦定理的一些变式:

?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2 R ,sin B ? 2 R ,sin C ? 2 R ;
(4) ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; sin A ? sinB ? sinC 3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解)

a?b?c

? 2R

【余弦定理】

?a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?
2 2 2

2.推论:

? b2 ? c2 ? a 2 ?cos A ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? . cos B ? ? 2 ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?

设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2 ?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
2 2 2 ?

③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ?

3.两类余弦定理解三角形的问题: (1)已知三边求三角. (2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.

【面积公式】
已知三角形的三边为 a,b,c,

2

1. S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径)

2

2

2

2.设 p ?

1 (a ? b ? c ) , S ? 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

【三角形中的常见结论】 ( 1 )

A? B?C ? ?

(2)

sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,
sin A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; sin 2 A ? 2 sin A ? cos A , 2 2 2 2

(3)若 A ? B ? C ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C 若 sin A ? sin B ? sin C ? a ? b ? c ? A ? B ? C (大边对大角,小边对小角) (4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5)三角形中最大角大于等于 60 ,最小角小于等于 60 任意两边的平方和大于第三边的平方. 钝角三角形 ? 最大角是钝角 ? 最大角的余弦值为负值 (7) ? ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B ? 60 .
?
? ?

(6) 锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ?

(8) ? ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总 题型 1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 (1) 利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时, 可利用正余弦定理实现 边角转化,统一成边的形式或角的形式.

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 (2)在 ?ABC 中,由余弦定理可知: a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) (3) 若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 A=B 或 A ? B ?

?
2
3

.

例 1.在 ? ABC 中, c ? 2b cos A ,且 (a ? b ? c )(a ? b ? c ) ? 3ab ,试判断 ? ABC 形状.

题型 2【解三角形及求面积】 一般地, 把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 例 2.在 ? ABC 中, a ? 1 , b ?

3 , ?A ? 300 ,求 的值

例 3.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 ? ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ;

?
3



( B ? A) ? 2 sin2 A ,求 ? ABC 的面积. (Ⅱ)若 sinC ? sin

题型 3【证明等式成立】 证明等式成立的方法: (1)左 ? 右, (2)右 ? 左, (3)左右互相推. 例 4.已知 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,求证: a ? b cos C ? c cos B .

仰角

俯角

方向角

题型 4【解三角形在实际中的应用】 方位角 视角

例 5.如图所示,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角 (从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140°的方 向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°, 航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65°,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少?
4

数列知识点
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ? 仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为 等差数列,公差为 n 2 d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S 2 m ?1 ? bm T2 m ?1

(5)?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)
Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负

分界项,

?an ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?an ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(6)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
5

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?





S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 ? q ( q 为常数, q ? 0 ) , an ? a q1 an
n ?1

.

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G 2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

3.求数列通项公式的常用方法 (1)求差(商)法
1 1 1 如:数列 ?an ? , a1 ? 2 a2 ? …… ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 1 解 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 5 ,∴ a1 ? 14 2 1 1 1 n ? 2 时, a1 ? 2 a2 ? …… ? n ?1 an ?1 ? 2n ? 1 ? 5 2 2 2

① ②

①—②得:

?14 (n ? 1) 1 a ? 2 ,∴ an ? 2n?1 ,∴ an ? ? n?1 n n 2 ?2 (n ? 2)

6

5 [练习]数列 ?an ? 满足 S n ? S n ?1 ? an ?1,a1 ? 4 ,求 an 3

注意到 an?1 ? Sn?1 ? Sn , 代入得

Sn ?1 ∴ ?Sn ? 是等比数列, ? 4 又 S1 ? 4 , S n ? 4n Sn ;

n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? …… ? 3 · 4n?1

(2)叠乘法
a n 如:数列 ?an ? 中, a1 ? 3,n ?1 ? ,求 an an n ?1



a a 1 a2 a3 1 2 n ?1 3 ,∴ n ? 又 a1 ? 3 ,∴ an ? · …… n ? · …… a1 n a1 a2 an?1 2 3 n n.

(3)等差型递推公式 由 an ? an?1 ? f (n),a1 ? a0 ,求 an ,用迭加法

? a ? a2 ? f (3) ? ? n ? 2 时, 3 ? 两边相加得 an ? a1 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) …… …… ? an ? an ?1 ? f (n) ? ?
∴ an ? a0 ? f (2) ? f (3) ? ……? f (n) [练习]数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,an ? 3 (4)等比型递推公式
n?1

a2 ? a1 ? f (2)

? an?1 ? n ? 2? ,求 an (

an ?

1 n ? 3 ? 1? 2 )

an ? can?1 ? d ( c、 d 为常数, c ? 0,c ? 1,d ? 0 )
可转化为等比数列,设 an ? x ? c ? an?1 ? x ? ? an ? can?1 ? ?c ?1? x 令 (c ? 1) x ? d ,∴ x ? 列 ∴ an ?
d d ? n ?1 d ? n ?1 d ? ? ? ? a1 ? · c ,∴ an ? ? a1 ? ? ?c ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ? c ?1 ?
d d d ? ? ,c 为公比的等比数 ,∴ ?an ? ? 是首项为 a1 ? c ?1 c ?1 c ? 1? ?

(5)倒数法

7

如: a1 ? 1,an ?1 ?

2an ,求 an an ? 2

由已知得:

a ?2 1 1 1 1 1 1 ? n ? ? ,∴ ? ? an ?1 2an 2 an an ?1 an 2

?1? 1 1 1 1 1 ∴ ? ? 为等差数列, ? 1 ,公差为 ,∴ ? 1 ? ? n ? 1? · ? ? n ? 1? , a1 an 2 2 2 ? an ?
∴ an ? ( 附:
2 n ?1

a ? 公 式 法、利用 n
纳法、换元法 )

?

S1 ( n? 1)

Sn ? Sn?1 ( n ? 2 ) 、累加法、累乘法 . 构造等差或等比

an?1 ? pan ? q 或 an?1 ? pan ? f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归

4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项. 如: ?an ? 是公差为 d 的等差数列,求 ?
1 k ?1 ak ak ?1
n

解:由 ∴?
n

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? d ? 0? ak· ak ?1 ak ? ak ? d ? d ? ak ak ?1 ?

n ?1 1 1? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?? ak ?1 ? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? k ?1 ak ak ?1 k ?1 d ? ak ? an an ?1 ? ?

?

1? 1 1 ? ? ? ? d ? a1 an?1 ?

[练习]求和: 1 ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n 1 an ? …… ? ……,Sn ? 2 ? n ?1

(2)错位相减法
8

若 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,求数列 ?anbn ?(差比数列)前 n 项和, 可由 Sn ? qSn ,求 Sn ,其中 q 为 ?bn ? 的公比. 如: Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? 4x3 ? ……? nxn?1 ① ②

x · Sn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? 4x4 ? ……? ? n ?1? xn?1 ? nxn
①—② ?1 ? x ? Sn ? 1? x ? x2 ? ……? xn?1 ? nxn
x ? 1 时, S n

?1 ? x ? ? nx ?
n

n

?1 ? x ?

2

1? x

, x ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ?

n ? n ? 1? 2

(3)倒序相加法 把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.

Sn ? a1 ? a2 ? …… ? an ?1 ? an ? ? 相加 2Sn ? ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? …? ? a1 ? an ?… Sn ? an ? an ?1 ? …… ? a2 ? a1 ?
x2 [练习]已知 f ( x) ? ,则 1 ? x2

?1? f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? ?2?

?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3?
2

?1? f ? ?? ?4?

?1? ? ? 2 x x2 1 x? ?1? ? 由 f ( x) ? f ? ? ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 ? x ? 1? x ? 1 ? 1? x 1? x 1? ? ? ? x?

? ∴原式 ? f (1) ? ? f (2) ? ?
(附:

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (3) ? ? 2 ?? ?

? 1 ?? ? f ? ?? ? ? f (4) ? ? 3 ?? ?

1 ? 1 ?? 1 f ? ?? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 ? 4 ?? 2

a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列{an}, 与首末项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用把正 着写与倒着写的两个和式相加, 就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序 相加法。我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识 的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:等差数列前 n 项和公式的推导,用 的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列,求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和 公式进行求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围,确定公
9

式适用于这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限 项,从而求出数列的前 n 项和。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的 形式。即若在数列{an· bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同 乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列{an}满足 an+1=an+f(n),其中 f(n)是等差数列或等比数列 的条件下,可把这个式子变成 an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有 的式子加到一起,经过整理,可求出 an ,从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将 这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将 其合并。 g.用构造法求数列的前 n 项和 所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特 征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前 n 项和。

不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 二、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③a ? b ? a?c ? b?c;
10

④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 三、基本不等式定理

a 2 ? b2 1、整式形式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ? ? a, b ? R ? ; 2
2 2

③ ab ? ?

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

2

2

a?b 2 a 2 ? b2 ) ? ab ( a ? 0 , b ? 0 )②a+b ? ( 2 b a 3、分式形式: + ? 2(a、b 同号) a b 1 1 4、倒数形式:a>0 ? a+ ? 2 ;a<0 ? a+ ? -2 a a
2、根式形式:①

a?b 四、公式: ? ab ? ? 1 1 2 ? a b

2

a2 ? b2 2

五、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 . 4
⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 六、解不等式 1、一元一次不等式: ax>b(a ? 0)的解:当 a>0 时,x>

b b ;当 a<0 时,x< ; a a

2、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式.

3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

11

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

4、解一元二次不等式步骤:一化:化二次项前的系数为整数 二判:判断对应方程的根,三求:求对应方程的根,四画:画出对应函数的图像,五解集: 根据图像写出不等式的解集 5、解分式不等式:

?f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) >0 ? f(x)g(x)>0 ; ?0? ? g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0
6、解高次不等式:(x- a1 )(x- a2 )…(x- an )>0 7、解含参数的不等式:解形如 a x +bx+c>0 的不等式时分类讨论的标准有: (1)讨论 a 与 0 的大小(2)讨论 ? 与 0 的大小(3)讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题: 方法:依据二次函数的图像特征从:开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等 式组,总之都是转化为一元二次不等式组求解。
2

? f (k ) ? 0 ? b ? 1、 x 1 < x 2 <k ? ?? ?k 2 a ? ?? ? 0 ?

12

? f (k ) ? 0 ? b ? 2、k < x 1 < x 2 ? ?? ?k 2 a ? ? ?? ? 0

3、 x 1 <k < x 2 ? f(k)<0

? f(k 1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 ? ? 4、 k 1 < x 1 < x 2 < k 2 ? ?? ? 0 ? ? k1 ? ? b ? k 2 ? 2a ?

5、、 x 1 < k 1 < k 2 < x 2 ? ?

? f(k 1 ) ? 0 ? f (k 2 ) ? 0

? f( k 1 ) ? 0 ? 6、 k 1 < x 1 < k 2 < x 2 < k 3 ? ? f ( k 2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 3 ?

八、线性规划问题 1、定义: 线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.

13

可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断 在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 .

y C ? ①若 ? ? 0 , 则 ?x?? ?

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域.

y C ? ②若 ? ? 0 , 则 ?x?? ?

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表

示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域. 3、解线性规划问题的一般步骤 第一步:在平面直角坐标系中做出可行域 第二步:在可行域内找出最优解所对应的点 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值

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