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3.2.2函数模型的应用举例


3.2.2 函数模型的应用举例

一.常见的函数模型
(1)一次函数模型: (2)二次函数模型:

y ? kx ? b, (k ? 0) 2 y ? ax ? bx ? c , (a ? 0)

k (3)反比例函数模型: y ? , (k ? 0) x

(4)指数型函数模型:
x

y ? ma ? n, (m ? 0, a ? 0且a ? 1)

(5)对数型函数模型:

y ? m ? log a x ? n, (m ? 0, a ? 0且a ? 1) n (6)幂函数模型 y ? ax ? b , (a ? 0)
? f ( x ) ( x ? A) ? (7)分段模型 y ? ? ? g( x ) ( x ? B ) ?

二.高考中经常涉及的函数模型问题
与函数有关的应用题,经常涉及物价、 利润、 路程、产值、环保等实际问题, 也可涉及角度、面积、体积、造价的最 优化问题.

三、中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题
(4) 求解模型 (2) 假设变量 (5) 检验模型 (3) 建立模型 (6) 评价应用

知识探究(一):由函数图象求函数模型
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时 间的关系如图3.2-7所示。
v /(km ×-1) h

(1) 求图3.2-7中阴影部分的 面积,并说明所求面积的 实际含义;
解:(1)阴影部分的面积为:

90 80 70 60 50 40 30 20 10

1

2

3

4

5

t/h

50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360

图3.2-7

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路 程为360km

(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时 汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式, 并作出相应的图象。
v /(km ×-1) h

解:根据图3.2-7,有
s

90 80 70 60 50 40
2 20 0

S=

50t+2004 (0≤t<1) 80(t-1)+2054 (1≤t<2) 90(t-2)+2134 (2≤t<3) 75(t-3)+2224 65(t-4)+2299

2 40 0

2 30 0

30 20 10 1
1 2

(3≤t<4)

2 10 0

(4≤t<5)

2 00 0 0

2

3
3

4
4

5
5

t/h

这个函数的图象如图3.2-8所示

图3.2-7 图3.2-8

t

从这个例题我们看到,在解决实际问题的过程 函数图象 中,__________发挥了很大的作用,因此,我们 读图的能力。 应当注意提高________________ 思考1:在本题中我们用到了哪种函数模型?运 用此种模型要注意什么? 分段函数模型,它也是刻画现实问题的重要模型。 在运用时要注意它的各段函数的自变量的取值范围

知识探究(二):已知函数模型问题
例4 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人 口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了 自然状态下的人口增长模型: y ? y0e rt 其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示 人口的年平均增长率。 表3-8是1950~1959年我国的人口数据资料:
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959

人数/ 万人

5519 6

5630 0

5748 2

5879 6

6026 6

6145 6

6282 8

6456 3

6599 4

6720 7

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长 模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验 所得模型与实际人口数据是否相符;

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期 的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长 模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验 所得模型与实际人口数据是否相符;
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959

人数/ 万人

5519 6

5630 0

5748 2

5879 6

6026 6

6145 6

6282 8

6456 3

6599 4

6720 7

解:设1951~1959年的人口增长率分别为 56300 r1,r2,…,r9. 由55196 (1+r1) =_________ 可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200。 同理可得,r2≈0.0210 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r7≈0.0276

r5≈0.0197
r8≈0.0222

r6≈0.0223 r9≈0.0184

于是,1951~1959年期间,我国人口的年均增长率为

令y0=55196, 我国在1950~1959年期间的人口增长模型为

r1 ? r2 ? ... ? r9 r? ? 0.0221 9
0.0221t

y ? 55196 e

, (t ? N)
y
70 00 0 65 00 0

根据表3-8中的数据作出 散点图,并作出函数的图 象(图3.2-9)。 由图可以看出,所得模型 与1951~1959年的实际 基本吻合 人口数据_________

60 00 0

55 00 0 50 00 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

t

图3.2-9

(2)如果按表3-8的增长趋势,大约在哪一年我 国的人口达到13亿? 解:将 y=130000代入

y ? 55196 e

0.0221t

,t ? N

由计算器可得 t≈38.76
所以,大约在1950年后的第39年(即1989年)我 国的人口就已达到13亿。 由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口 自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力。

思考1:用已知的函数模型刻画实际问题的时候, 由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所 不同,那么通过模型得出的结果与实际结果有什 么关系?
答:存在一定的误差。因此,往往需要对模型进

行修正。 思考2:上面的问题都给出了函数模型解决问题, 那么当一个实际问题没有给出函数模型时,该怎 么建立数学模型呢?

知识探究(三):建立确定的函数模型问题
例5:某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固 定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价 与日均销售量的关系如表所示:
销售单 价/元 日均销 售量/桶

6

7

8

9

10

11

12

480 440 400 360 320 280 240

请根据以上数据作分析,这个经营部怎样定价才 能获得最大利润?

知识探究(四):拟合函数模型问题

例6:某地区不同身高(单位:cm)的未成年男 性的体重(单位:kg)平均值如下表:
身高 体重 身高 60 6.13 120 70 7.90 130 80 9.99 140 90 100 110 12.15 15.02 17.50 150 160 170

体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 问题1:根据表中数据,能否建立恰当的函数模型, 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y 与身高x的函数关系?

身高 体重

60 6.13

70 7.90

80 9.99

90

100

110

12.15 15.02 17.50

身高
体重

120

130

140

150

160

170

20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如 何? 体重(kg)

o

身高(cm)

思考2:根据这些点的分布情况,可以选用那 个函数模型进行拟合,使它能比较近似地反 映这个地区未成年男性体重与身高的函数关 x 系?指数型函数模型 y ? a ? b ,因为它的图 象与散点的变化趋势最相似。
体重(kg)

o

身高(cm)

思考3:如何求出函数关系式中参数a,b?

如果取其中的两组数据 ,7.90), (160,47.25), (70 x ? 7.9 ? a ? b 70 代入y ? a ? b 得: ? 160 ?47.25 ? a ? b 用计算器得: ? 2, b ? 1.02 a 这样,我们就得到一个 函数模型: y ? 2? 1.02x
将已 知数据代 入上述函 数解 析式,或作 出函数 图象, 都可 以发现,这个 函数 模型 与已知数 据

拟合程度较好 __________ _

体重(kg)

较好 这说 明它能_________
地反 映这个地 区未成年 男性 体重与身 高的关系

o

身高(cm)

y ? 2? 1.02 将x ? 175代入 _______________ 得 y ? 63.98

问题2:若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2 倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名 身高为175cm, 体重为78kg的在校男生的体重是否 正常? x

所以这个地区身高为175cm的未成年男性体重平均 值约为:63.98kg

那么:78 ? 63.98 ? 1.22 ? 1.2
所以这个男生偏胖。 思考4:这个例题有什么特点?
此类问题由数据不能直接得出确定的函数模型,需要画散 点图,通过图象特点选择合适的函数模型,再通过代入点 的坐标求出近似模型,再对实际问题作出预测

思考5:什么是拟合函数?

拟合函数是用于曲线拟合的函数。如果您知道y和x有关, 但不知道是什么关系,只能通过实验得到一组数据,如 x=x1时y=y1,x=x2时y=y2,...这里(x1,y1)、(x2,y2)、...都 是实验结果,您就可以在直角坐标系中画出各点,描点 可得两者的关系曲线。根据曲线的形状您可以选择一个 函数,如果类似于直线那就简单了,如果是弯曲的可以 选择y是x的多项式函数,也可以是其他形式的函数类型, 然后利用最小二乘法或其他拟合方法求出系数a,b,c,d等, 即可得到y和x的关系,这个过程就是曲线拟合,这个函 数就是拟合函数。由于实验有误差,选择的函数也不一 定就很合适,拟合出来的函数一般难以准确通过各点, 但可以离各点尽量近,从而近似地表示y和x的关系

思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性 问题的基本过程吗?
收集数据 画散点图
选择函数模型
求函数模型

No

检 验

Yes

用函数模型解 释实际问题


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