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浙江省最新高三数学(文)分类汇编:导数

章丘一中王希刚

浙江省 2013 届高三最新文科数学(精选试题 20 套)分类汇编:导数
一、选择题 1 (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学 . (文) 试题) 设函数

f ( x)的导函数为f ?( x) ,
( )

对任意 x ? R都有f ?( x) ? f ( x) 成立,则 A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)
【答案】C 2 . (浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学 (文)试题)函数 f ( x) ? ln x ?

B. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) D. 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

1 在区 x ?1
( )

间 ? k , k ? 1? ( k ? N * )上存在零点,则 k 的值为

A.0
【答案】C

B.2

C.0 或 2

D.1 或 2

3 . (浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测数学 (文) 试题) 若函数

f ( x) = ( x + 1).e x ,
( )

则下列命题正确的是 A.对任意 m < -

1 ,都存在 x ? R ,使得 f ( x) < m e2 1 ,都存在 x ? R ,使得 f ( x) < m e2
1 ,使得 f ( x) < m e2 1 ,使得 f ( x) < m e2

B.对任意 m > -

C.对任意 x ? R ,都存在 m < -

D.对任意 x ? R ,都存在 m > 【答案】B 二、填空题

4 . 浙 江 省 宁 波 市 十 校 2013 届 高 三 下 学 期 能 力 测 试 联 考 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知函 数 (

f ( x) ? ax 2 ? 1nx, x ? (0, e] ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
(1)当 a ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间与极值; (2)对于任意的 x ? (0, e] , f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】

1

章丘一中王希刚

5 . (浙江省湖州市 2013 届高三第二次教学质量测试数学(文)试题(word 版) )若直线 l 是曲线

C:y?

1 3 1 x ? x ? 1 斜率最小的切线,则直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 的位置关系为____. 3 2

【答案】相切 6 . 浙 江 省 温 州 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ?

1 1 3 1 x ? sin x ? cos x 的图象在点 A ( x0 , f ( x0 )) 处的切线斜率为 , 2 4 4 2

则 tan 2x0 的值为__________.
【答案】 3 —— 三、解答题 7 .( 浙 江 省 建 人 高 复 2013 届 高 三 第 五 次 月 考 数 学

(文)试题)设函数

2

章丘一中王希刚

f ( x) ? x(e x ? 1) ? ax 2 , a ? R ,其中 e 为自然对数的底数. 1 (Ⅰ)若 a ? ,求 f (x) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【答案】

8 . (浙江省温州中学 2013 届高三第三次模拟考试数学 (文) 试题) 已知函数 f(x)=x -ax (a∈R)

3

(Ⅰ)当 a =1 时,求函数 f(x)的单调区间 (Ⅱ)是否存在实数 a,使得 ? 的值,若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)f(x)=x -x, f ?(x) =3x -1=0,x= ?
3 2

2 3 ? f ( x) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立?若存在,求出 a 9

3 , 3

x∈( ? ?,?

3 3 3 3 )或 x∈( )时 f ?(x) <0, ,?? )时 f ?(x) >0,x∈( ? , 3 3 3 3 3 3 )和( ,?? ),函数 f(x)的单调递减区间 3 3

所以函数 f(x)的单调递增区间为( ? ?,?

为( ?

3 3 ) , 3 3

3

章丘一中王希刚

(2)假设存在这样的 a,使得 ? 当 x=0 时,a∈R

2 3 ? f ( x) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立, 9

先求 x 3 ? ax ? 0 对任意的 x∈(0,1]成立,即 a ? x 2 对任意的 x∈(0,1]成立, 所以

a ?1 ①
2 3 2 3 ?1 . ? 0 对 任 意 的 x∈(0,1] 成 立 , 即 a ? x 2 ? x 对任意的 9 9
2 3 ?1 x 9
(x∈(0,1])

再 求 x 3 ? ax ?

x∈(0,1]成立,记 t ( x) ? x 2 ?

t ?( x) ? 2 x ?

2 3 ?2 3 , x , t ?( x) ? 0 , x ? 9 3

在 x∈(0,

3 2 3 ?1 )时, t ?( x) ? 0 ,函数 t ( x) ? x 2 ? x 递减, 3 9

在 x∈(

3 2 3 ?1 ,1)时, t ?( x) ? 0 ,函数 t ( x) ? x 2 ? x 递增. 3 9 2 3 ?1 3 x 在区间[0,1]的最小值为 t ( ) =1,所以 a ? 1 ② 9 3 2 3 ? f ( x) ? 0 对任意的 x∈[0,1]成立 9

所以,函数 t ( x) ? x 2 ?

由①,②可知,存在这样的 a=1,使得 ?

9. (浙江省金丽衢十二校 2012 学年高三第二次联合考试数学文试题 )已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? 3 x ? 3) ? e x 定义域为 ?? 2, t ? ( t ? ?2 ).
(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f (x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数; (Ⅱ)当 1 ? t ? 4 时,求满足

f ?? x0 ? 2 2 ? ?t ? 1? 的 x0 的个数. x0 3 e
f ?( x ) ? ( x 2 ? 3x ? 3) ? e x ? (2x ? 3) ? e x ? x (x ? 1) ? e x


【 答 案 】 (1) 解 : 因 为

f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 在 (??, 0), (1, ??) 上
递增,在 (0,1) 上递减, 欲 f (x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 (3)因为

f ?( x0 ) f ?( x ) 2 2 ? x0 2 ? x0 ,所以 x0 0 ? (t ? 1) 2 即为 x0 2 ? x0 ? (t ? 1) 2 , x0 e e 3 3
4

章丘一中王希刚

令 g ( x) ? x 2 ? x ?

2 2 (t ? 1) 2 ,从而问题转化为求方程 g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 =0 3 3

在 (?2, t ) 上的解的个数, 因 为

2 2 2 1 g (?2) ? 6 ? (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4) , g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1) , 3 3 3 3 2 所以当 1 ? t ? 4 时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0 ,但由于 g (0) ? ? (t ? 1) 2 ? 0 , 3
所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有两解. 即,满足

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 的 x0 的个数为 2 x0 e 3

10. (浙江省温岭中学 2013 届高三高考提优冲刺考试(三)数学(文)试题 )已知函数

f ?x ? ?

1 3 x ? ax , g ? x ? ? ? x 2 ? a ( a ? R). 3

(1) 若函数 F ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ?1,?? ? 上单调递增,求 a 的最小值; (2)若函数 G ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围.
【答案】

② 若 a<1,则△>0,

5

章丘一中王希刚

∴ G' ? x ? = 0 有两个不相等的实数根,不妨设为 x1,x2,(x1<x2). ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 x 变化时, G ? x ?, G ? x ? 的取值情况如下表:
'

x

?? ?, x1 ?
+

x1
0 极大

(x1,x2) -

x2
0 极小

?x2 ,?? ?
+

G' ? x ?

G(x)











∵ x1 ? 2 x1 ? a ? 0 ,
2

∴ a ? ? x1 ? 2x1 .∴ G ? x1 ? ?
2

1 3 x1 ? x12 ? ax1 ? a 3 1 3 1 1 ? x1 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 ? x13 ? ?a ? 2?x1 ? x1 x12 ? 3?a ? 2? 3 3 3 1 2 同理 G ? x 2 ? ? x 2 x 2 ? 3?a ? 2 ? . 3 1 2 ∴ G ? x1 ? ? G ? x 2 ? ? x1 x 2 x12 ? 3?a ? 2 ? ? x 2 ? 3?a ? 2 ? 9 1 2 2 2 ? ? x1 x 2 ?? x1 x 2 ? ? 3?a ? 2 ? x12 ? x 2 ? 9?a ? 2 ? 9 1 4 2 2 ? a a 2 ? 3?a ? 2 ?? x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? 9?a ? 2 ? ? a a 2 ? 3a ? 3 . 9 9 令 G(x1)G(x2)>0, 解得 a> 0 .

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

而当 0 ? a ? 1 时, G ?0 ? ? ? a ? 0, G ?3? ? 2a ? 0 , 故当 0 ? a ? 1 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 综上所述,a 的取值范围是 ?0,?? ?
11. (浙江省温岭中学 2013 届高三冲刺模拟考试数学(文)试题)已知函数

f ( x) ? x 3 ? mx ? 1

x ? [0,1] ,它的一个极值点是 x ?

3 3

(Ⅰ)求 m 的值及 f ? x ? 在 x ? [0,1] 的值域; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? ln( x ? 1) ? x 图象在 x ? (0,1] 上无公共点.
6

x ? [0,1],

求证: 函数 y ? g (x) 与 y ? f (x) 的

章丘一中王希刚

【答案】

解(Ⅰ):令 f ?( x) ? 3 x 2 ? m ? 0 ,由题设, x ?

3 满足方程,由此解得: m ? 1 ,函数 3

f (x) 在 x ? R 上的两个极值点是 x1 ? ?

3 3 3 3 , x2 ? ,且函数 f (x) 在 (? , )单 3 3 3 3

调递减,在 (

3 3 2 3 ,所以,当 ,??) 单 调 递 增 , 因为 f (0) ? f (1) ? 1 , f ( ) ? 1 ? 3 3 9
2 3 ,1] . 9
1 ? 1 ,因为 x ? [0,1] x ?1

x ? [0,1] 时, f (x) 的值域是 [1 ?

(Ⅱ)证:设 h( x) ? ln( x ? 1) ? x ,则 h?( x) ? 所以 h?( x) ?

1 ? 1 ? 0 ,故函数 h(x) 在 x ? [0,1] 单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 ,即有 x ?1
(1);

ln( x ? 1) ? x ,所以,当 x ? [0,1] 时, g (x) ? ln( x ? 1) ? x ? 0
另一方面,由(1)当 x ? [0,1] 时, f (x) 的值域是 [1 ? 由(1)(2)知:当 x ? [0,1] , g ( x) ? f ( x) ,

2 3 ,1] 9

(2),

所以, 函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 的图象在 x ? (0,1] 上没有公共点.
12. (浙江省五校联盟 2013 届高三下学期第一次联考数学(文)试题) 已知 a ? R ,函数

f ( x ) ? ax ? ln x , x ? ?0,e? ,(其中 e 是自然对数的底数,为常数),
(1)当 a ? 1 时,求 f (x ) 的单调区间与极值; (2)是否存在实数 a ,使得 f (x ) 的最小值为 3. 若存在,求出 a 的值,若不存在,说明理 由.
【答案】(1)当 a

? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ? f ?( x) ? 1 ? 1 ? x ? 1 ,
x x

(请见反

面)

x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 , x ? ?1, e ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,
所以减区间为 ? 0,1? ,增区间为 ?1, e ? ,极小值为 f ?1? ? 1 ,无极大值

7

章丘一中王希刚

13. (浙江省宜山高级中学 2013 届高三质量检测 (三) 数学试题(文)) 已知函数 f(x)=mx -x+

3

1 , 3

以点 N(2,n)为切点的该图像的切线的斜率为 3 (I)求 m,n 的值

g ( x) ? ?
(II)已知. 实数 a 的取值范围.

a ?1 2 x ? (a ? 1) x(a ? 0) 2 ,若 F(x)=f(x)+g(x)在[0,2]上有最大值 1,试求
1 3

【答案】解:(Ⅰ) f ' ? x ? ? 3mx 2 ? 1 ? f ' ?2 ? ? 12m ? 1 ? 3 ? m ?

∴ f ( x) ?

1 3 1 x ? x ? ,∴ n ? f ?2? ? 1 3 3 1 3 a ?1 2 1 x ? x ? ax ? 3 2 3

(Ⅱ)∵ F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

∴ F ?( x ) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ,令 F ?( x ) ? 0 得 x ? 1 或 x ? a 当 0 ? a ? 1 时, x , F ?( x ), F ( x ) 的变化如下表:
x

0

( 0, a ) + 增

a

( a ,1 ) 减

1 0 极

(1,2 ) + 增

2

F ?( x ) F ( x)

0 极
8

1

章丘一中王希刚

大 ∵ F ( x ) 在 [0, 2] 有最大值 1,∴ F (a ) ? 1 即 a 3 ? 3a 2 ? 4 ? 0



记 g (a ) ? a 3 ? 3a 2 ? 4 ,则 g ?(a ) ? 3a 2 ? 6a ) ? 3a (a ? 2) ∴ g ?(a ) ? 0 ∴ g (a ) ? g (1) ? 0 ∴ 0 ? a ? 1 当 a ? 1 时, F ?( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,∴ F ( x ) ? f ( 2) ? 1 成立 当 1 ? a ? 2 时 x , F ?( x ), F ( x ) 的变化如下表:
x

0

( 0,1 )

1

( 1, a )

a

(a, 2)

2

F ?( x ) F ( x)

+ 增

0 极 大



0 极 小

+ 增 1

∵ F ( x ) 在 [0,2] 有最大值 1,∴ F (a ) ? 1 即 a ?

5 5 ∴1 ? a ? 3 3

当 a ? 2 时,由 F ( x ) 的单调性知, F ( x ) max ? F (1) ? F ( 2) 故不成立 综上:实数 a 的取值范围是 0 ? a ?
5 3

14. (浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学 (文) 试题) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1? x , ax

其中 a 为大于零的常数. (I)若函数 f ( x) 在区间[1,+∞)内单调递增,求 a 的取值范围; (II)设函数 g ( x) ? ( p ? x)e ? x ? 1 ,若存在 x0 ? [1, e] ,使不等式 g ( x0 ) ≥ln x0 成立,求 实数 p 的取值范围.(e 为自然对数的底)
【答案】

9

章丘一中王希刚

f ( x) ?
15. (浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学(文)试题)已知函数

x2 ex .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;
2 x x (Ⅱ) 设 g ( x) ? x ? mx, h( x) ? e ? 1 , 若 在 (0, ??) 上 至 少 存 在 一 点 0 , 使 得

g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的范围.
【答案】

10

章丘一中王希刚

16. (浙江省一级重点中学(六校)2013 届高三第一次联考数学(文)试题)已知函数

f ( x) ?

1 3 x ? ax ? 1 . 3

(Ⅰ)若 x ? 1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值;

11

章丘一中王希刚

(Ⅲ)若对任意 m ? R ,直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线, a 的取值范围. 求
【 答 案 】

(III)因为 ?m ? R ,直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,
2 ( 所以 f ' x ) ? x ? a ? ?1 对 x ? R 成立, 2 ( 只要 f ' x ) ? x ? a 的最小值大于 ?1 即可,

12

章丘一中王希刚

2 ( 而 f ' x ) ? x ? a 的最小值为 f (0) ? ? a

所以 ? a ? ?1 ,即 a ? 1
17 . 浙 江 省 杭 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 教 学 质 检 检 测 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (

f ( x) ? ? x 3 ? ax(a ? 0) .
(I)当 a=1 时,求过点 P(-1,0)且曲线 y=f(x)相切的直线方程; (Ⅱ)当 x ? [0,1] 时,不等式

1 1 1 1 x ? ? f ( x) ? x ? 恒成立,求 a 的取值集合. 4 4 4 4

【答案】(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? ? x 3 ? x ,则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 1 ,

设切点 T ( x0 , y0 ) ,则 f ?( x0 ) ? ?3x02 ? 1 , ∴ 切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即: y ? (? x0 ? x0 ) ? (?3x0 ? 1)( x ? x0 ) .
3 2

把 (?1,0) 代入得: ( x0 ? 1) 2 (2 x0 ? 1) ? 0 ,∴ x0 ? ?1 或 x ? 当 x0 ? ?1 时,切线方程为 y ? ?2 x ? 2 . 当 x0 ?
1 1 1 时,切线方程为 y ? x ? 2 4 4

1 . 2

(Ⅱ) 不等式

1 1 1 1 1 1 1 1 x ? ? f ( x) ? x ? ,即: x ? ? ? x 3 ? ax ? x ? , 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 ? ? x2 ? a ? ? ? x2 , 4 4x 4 4x

①当 x ? 0 时,不等式显然成立. ②当 x ? (0,1] 时,不等式化为 设 g ( x) ? 则 g ?( x) ?

1 1 1 1 ? ? x 2 , h( x ) ? ? ? x2 , 4 4x 4 4x 1 ? 2 x ? 0 ,∴ g (x) 在(0,1]上递增,∴ g ( x) max ? g (1) ? 1 , 4x2

(第 22 题)

h?( x) ?

8 x3 ? 1 1 1 ,∴ h(x) 在(0, ]上递减,在( ,1 ]递增, 2 2 2 4x

1 ∴ h( x) min ? h( ) ? 1 , 2

∴ 1 ? a ? 1 ,即 a ? 1 . 综上所述, a 的取值集合为 {a | a ? 1}

13

章丘一中王希刚

18. (浙江省绍兴市 2013 届高三教学质量调测数学(文)试题( word 版) ) 已知函数

f (x) ?

1 x 3

3

? ax

2

? bx ( a, b ? R ).

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( 1 ) ?

1 1 ,且函数 f ( x ) 在 (0, ) 上不存在极值点,求 a 的取值范围. 3 2

【答案】解:(Ⅰ)当 a

? 1 时, f ? ( x ) ? x 2 ? 2 x ? b ,

①若 ? ? 4 ? 4 b ? 0 ,即 b ? 1 时, f ? ( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 为 ( ?? , ?? ) 上的增函数,所以 f ( x) 的增区间为 (??, ??) ; ②若 ? ? 4 ? 4 b ? 0 ,即 b ? 1 时, f ?( x) ? ( x ? 1 ? 1 ? b ) ( x ? 1 ? 1 ? b ) , 所以 f ( x ) 在 ( ?? , ? 1 ?

1 ? b ) ,( ? 1 ?

1 ? b , ?? ) 上为增函数,

f ( x ) 在( ? 1 ?

1 ? b ,? 1 ?

1 ? b ) 上为减函数 1 ? b ) ,( ? 1 ? 1 ? b , ?? ) ;减区间为

所以 f ( x) 的增区间为 ( ?? , ? 1 ?

(? 1 ?

1 ? b ,? 1 ?

1? b).

综上,当 b ? 1 时, f ( x) 的增区间为 (??, ??) ;当 b ? 1 时, f ( x) 的增区间为

( ?? , ? 1 ?

1 ? b ) ,( ? 1 ?

1 ? b , ?? ) ;减区间为 ( ? 1 ?

1 ? b ,? 1 ?

1? b).

(Ⅱ)方法 1:由 f ( 1 ) ? 即f (x) ?

1 ,得 b ? ? a , 3
2

1 x 3

3

? ax

? ax , f ? ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a

由 y ? f ( x ) 在 (0, ) 上不存在极值点,下面分四种情况讨论. ①当 y ? f ( x ) 没有极值点时, ? ? 4 a
2

1 2

? 4 a ? 0 ,得 ? 1 ? a ? 0 ;

②当 y ? f ( x ) 有两个极值点,且两个极值点都在 (??, 0] 时,

?? ? 0, ? 则 ? f ?(0) ? 0, ??a ? 0, ?

得 a 无解;

③当 y ? f ( x ) 有两个极值点,且两个极值点都在 [ , ??) 时,

1 2

14

章丘一中王希刚



? ? 0, 1 f ?( ) ? 0, 得 a ? ? 1 ; 2 1 ?a ? , 2
1 2

④当 y ? f ( x ) 有两个极值点,且两个极值点一个在 (??, 0] ,另一个在 [ , ??)

? f ?(0) ? 0, ? 时,则 ? 1 ? f ?( 2 ) ? 0, ?

得 a 无解

综上, a 的取值范围为 (??, 0] 方法 2:由 f ( 1 ) ? 即f (x) ?

1 ,得 b ? ? a , 3
2

1 x 3

3

? ax

? ax , f ? ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? a

2 2 令 f ?( x) ? 0 ,即 x ? a ? ? ,变形得 ( ?2 )a?x , 1 x 2x a 0

因为 x ? ? 0 ,

? ?

1 2

x2 ? ,所以 a ? ,令 1?2x ? t , ? 1? 2x ?

则 t ? ? 0,1 ? ,

2 x 1 1 ? (? ?2 . t ) 1 2 4 ?x t

( ?, ? 因为 h(t ) ? t ? ? 2 在 t ? ? 0,1 ? 上单调递减,故 h t)? 0 ? ?,
由 y ? f ( x ) 在? 0 , 所以, a ? ( ?? , 0 ] 综上, a 的取值范围为 (??, 0]
19. (浙江省杭州西湖高中 2013 届高三考前模拟数学(文)试题 )已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 t

? ?

1 2

x2 ? ? 1 上不存在极值点,得 a ? 在? 0 , ? 1? 2x ? 2 ?

? ? 上无解, ?

a . x

(1)若 f (1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程
'

(2)若函数 f ( x)在[1, e]上的最小值为 , 求实数a 的值.
【答案】解:(I)由题意, f ( x)的定义域为(0,??), 且f ?( x) ?

3 2

1 a x?a ? 2 ? 2 . x x x

由 f (1) ? 3 ,得 a ? 1 .又当 a ? 1 时, f (1) ? ?1 , f ?(1) ? 3 ,
'

15

章丘一中王希刚

所以曲线 y ? f ( x) 在 (1,f (1)) 处的切线方程为 3 x ? y ? 4 ? 0 (II)由(I)可知, f ?( x) ?

x?a x2

①若 a ? ?1, 则x ? a ? 0, 即f ?( x) ? 0在[1, e]上恒成立, f ( x)在[1, e] 上为增函数,

? [ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ?

3 3 ,? a ? ? (舍去) 2 2

②若 a ? ?e, 则x ? a ? 0, 即f ?( x) ? 0在[1, e]上恒成立, f ( x)在[1, e] 上为减函数,

? [ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ?

a 3 e ? ,? a ? ? (舍去) e 2 2

③若 ? e ? a ? ?1, 当1 ? x ? ? a时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(1,? a ) 上为减函数,

当 ? a ? x ? e时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(?a, e)上为增函数, ? [ f ( x)]min ? f (?a ) ? ln(?a ) ? 1 ?
综上所述, a ? ? e
20 .( 浙 江 省 永 康 市 2013 年 高 考 适 应 性 考 试 数 学 文 试 题 ) 已 知函数

3 ,? a ? ? e 2

f ( x) ? x , g ( x) ?

x .函数 g ( x) 在 (1,??) 上单调递减. 4x ? a

(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) , x ? [1, 4] ,求函数 y ? h(x) 的最小值.

1 1 (4 x ? a) ? a x a 4 ?1? ? 4 【答案】解:(1) g ( x) ? , 4x ? a 4x ? a 4 4(4 x ? a )
因 为

g (x)



(1,??)









,





?a ? 0 ?a ? ?1 ?4 ?

,



0?a?4

·········7 分
1 3

3 2 3a x (4 x ? a) ? 4 x 2 2 x ( x ? ) 3 x ( x) 4 ? , h ' ( x) ? 2 ? (2) h( x) ? x ? 2 4x ? a 4x ? a (4 x ? a) (4 x ? a) 2
3a ?3 4 3a 4 当 0? 时 , h(x) 在 [1,4] 上 单 调 递 增 , 所 以 ?1 , 即 0 ? a ? 4 3 1 ; (h( x)) min ? h(1) ? 4?a
因为 0 ? a ? 4 ,所以 0 ?
16

章丘一中王希刚

当1 ? 所

3a 4 3a 3a ? 3 ,即 ? a ? 4 时, h(x) 在 [1, ) 上单调递减,在 [ ,4] 单调递增, 4 3 4 4


(h( x)) min ? h(


3a 3 3a )? 4 16

··············15

21 .( 浙 江 省 嘉 兴 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 文 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

a x 2 ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (1, 2) 上有极值,求 a 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x . 2

( x ? 3)( x ? 1) 3 x 2 ? 2x ? 3 ? ? x x x 当 x ? (0,3) 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 3,?? ) 时, f ' ( x ) ? 0 f ' ( x) ? x ? 2 ?

所以函数有极小值 f ( 3) ? ? (II) f ' ( x ) ? ax ? 2 ?

3 ? 3 ln 3 ,无极大值 2

a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . x x

记 h( x ) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 4 . 若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a ( x 2 ? 1) ? 2( x ? 2) , 所以 a ?
2( x ? 2) x ?1
2

? ( x ? 2) ?

2 5 ?4 x?2

8 因为 x ? 2 ? ( 3,4) ,所以 a ? ( ,3) 5 8 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 5

8 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) 5
22 . 浙 江 省 温 州 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (
f(x)=

1 3 1 2 1 ax ? x ? , a ? R . 3 2 6
( 1 ) 若 F ( X ) 在 ( 0 , + ? )上是减函数,求实数 a 的取值范围 ( I I ) 若 F ( X ) ? lnx 恒成立,求实数 a 的最小值.
17

章丘一中王希刚

【答案】解:(I)由条件得

f ?( x ) ? ax 2 ? x ? 0 在 x ? 0 上恒成立,

a?


1 x 在 x ? 0 上恒成立,

∴a ? 0

1 3 1 2 1 ax ? x ? ? ln x ? 0 2 6 (II)问题等价于 3 恒成立.(*), g ( x) ?


1 3 1 2 1 ax ? x ? ? ln x 3 2 6 ,
2

1 ax 3 ? x 2 ? 1 g ?( x ) ? ax ? x ? ? ( x ? 0) x x 则:
令 h ( x ) ? ax ? x ? 1( x ? 0)
3 2

? 则: h ( x ) ? 3ax ? 2 x ? x (3ax ? 2)( x ? 0)
2

1o 当 a ? 0 时,则 h ?( x ) ? 0 恒成立,从而 h( x )在x ? 0 上递减
又 h (1) ? a ? 2 ? 0 , 则不符合(*).

2 当 a ? 0 时,
o

h ?( x ) ? 0 ? x ?

2 2 h ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 3a , 3a ,



h( x ) min ? h(

2 8 4 4 ) ? a? ? 2 ?1 ? ? ?1? 0 3 3a 27a 9a 27a 2

又当 x ? ?? 时, h ( x ) ? ?? 故在 x ? 0 上 h ( x ) 必有零点,记为 m,即 h ( m ) ? am ? m ? 1 ? 0
3 2

此时, g ( x ) 在 (0, m ) 上递减,在 ( m, ??) 上递增

g ( x ) min ? g ( m ) ? ?


1 3 1 2 1 1 1 1 am ? m ? ? ln m ? ( m 2 ? 1) ? m 2 ? ? ln m 3 2 6 3 2 6

1 (1 ? m 2 ) ? ln m 6

18

章丘一中王希刚

1 (1 ? m 2 ) ? ln m ? 0 6 由(*)得 r(m) ?


1 (1 ? m 2 ) ? ln m 6 是 m 的减函数,且 r (1) ? 0

∴0 ? m ?1

a?
∴ ∴

m2 ? 1 1 1 ? ? 3 ?2 3 m m m

amin ? 2 amin ? 2

综上所述:

3x 2 ? 1 ? 6 ln x a? 2 x3 解法二:问题等价于 恒成立 g ( x) ?


3x 2 ? 1 ? 6 ln x 2 x3 ,

6 (6 x ? ) ? 2 x 3 ? (3x 2 ? 1 ? 6 ln x ) ? 6 x 2 ?3( x 2 ? 1 ? 6 ln x ) x g ?( x ) ? ? 4 x6 2x4 则:
设 h ( x ) ? x ? 1 ? 6 ln x ,则 h ( x ) 是增函数,且 h (1) ? 0
2

? ? ∴ g ( x ) ? 0 ? h ( x ) ? 0 ? x ? 1 , g ( x ) ? 0 ? h( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 1


g ( x ) max ? g (1) ? 2

故a ? 2, 因此

amin ? 2

23 . 浙 江 省 杭 州 市 建 人 高 复 学 校 2013 届 高 三 高 考 仿 真 模 拟 数 学 ( 文 ) 试 题 ) 设 函数 (

1 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? ax, g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? c . 3 (Ⅰ)试问函数 f(x)能否在 x= -1 时取得极值?说明理由; (Ⅱ)若 a= -1,当 x∈[-3,4]时,函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点,求 c 的取值范围. 2 【答案】解:(1) 由题意 f′(x)=x -2ax-a, 假设在 x=-1 时 f(x)取得极值,则有 f′(-1)=1+2a-a=0,∴a=-1, 2 而此时,f′(x)=x +2x+1=(x+1)2≥0,函数 f(x)在 R 上为增函数,无极值. 这与 f(x)在 x=-1 有极值矛盾,所以 f(x)在 x=-1 处无极值
19

章丘一中王希刚

(2) 设 f(x)=g(x),则有 设 F(x)=

1 3 2 1 x -x -3x-c=0,∴c= x3-x2-3x, 3 3

1 3 2 x -x -3x,G(x)=c,令 F′(x)=x2-2x-3=0,解得 x1=-1 或 x=3. 3
-3 (-3, -1) + -1 0 (-1, 3) 3 0 (3,4 ) + 减 -9 增 4

列表如下:

x F′( x)

F(x)

-9



5 3

20 3

由此可知:F(x)在(-3,-1)、(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F (?1) ?

5 ;当 x=3 时,F(x)取得极小值 3

F(-3)=F(3)=-9,而 F (4) ? ?

20 . 3

如果函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点, 所以 ?

20 5 ? c ? 或 c=-9 3 3

24. (浙江省宁波市 2013 届高三第二次模拟考试数学(文)试题)(本小题满分 1 )已知函数

f ( x) ? a ( x ? 1) 2 ? ln x.a ? R.
(1)当 a ? ?

1 时,求函数 y ? f (x) 的单调区间; 4

(2)当 x ? [1,??) 时,函数 y ? f (x) 图象上的点都在不等式组 ? 内,求 a 的取值范围.
【答案】

?x ? 1 所表示的区域 ?y ? x ?1

20

章丘一中王希刚

25. (浙江省湖州市 2013 届高三第二次教学质量测试数学(文)试题(word 版) ) 已知函数

f ( x) ? 2ax ?

1 ? (2 ? a ) ln x(a ? R ) . x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若存在 x1 , x2 ? [1,3] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 成立,求实数 m 的取值范围.

+? 【答案】解:由题可知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? ,
2 a ? 2 x ? 1? x ? 1 a 1 ? 2 ? a ? 2ax ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? f ? ? x ? ? 2a ? 2 x x x2 x2

?

?

21

章丘一中王希刚

(Ⅰ) 当 a ? ?1 时, f ? ? x ? ?

? ? 2 x ? 1?? x ? 1? x2

,

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? 1 ; 2 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 1 ? x ? 1 , 2

1 +? 1 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 0 , 和 ?1, ? ,单调递增区间是 1 , ;
所以当 x ? 1 时, f ? x ? 的极小值为 f 1 ? 1 ? 3ln 2 ; 2 2 当 x ? 1 时, f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? ?1

? 2?

?2 ?

??

? + (Ⅱ)当 ?3 ? a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 0 , 1 , 1 , ? ,
1 单调递增区间是 ? 1 , , a 2
所以 f ? x ? 在 ?1,? 上单调递减, 3 所以 f ? x ?max ? f ?1? ? 2a ? 1 , f ? x ?min ? f ? 3? ? ? 2 ? a ? ln 3 ? 1 ? 6a . 3 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? max ? f ?1? ? f ? 3? ? ?1 ? 2a ? ? ?? 2 ? a ? ln 3 ? 1 ? 6a ?

?

?

?

a

? ?2 ?

? ?

3

? ?

? 2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 3
因为存在 x1 ,2 ? ?1,? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2ln 3 成立, x 3 所以 2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 ? ? m ? ln 3? a ? 2ln 3 , 3 整理得 ma ? 2 ? 4a . 3 又 a ? 0 ,所以 m ? 2 ? 4 ,又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ? 1 ? 2 ? ? 2 , 3a 3 3a 9 所以 ? 13 ? 2 ? 4 ? ? 38 ,所以 m ? ? 38 3 3a 9 9

22