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2.1-1《任意角的三角函数》3


1.2.1 任意角的三角函数
第三课时

一、复习回顾:
1.任意角的正弦、余弦、正切定义:
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),那么:

y sinα =y; cosα =x; tanα = (x≠0)。 x

设α 是一个任意角, P(x,y)是它的终边上 任意点,|OP|=r,那么:

y x y sin ? ? ; cos ? ? ; tan ? ? r r x

2.三角函数的定义域:
三角函数 定义域

sin ? cos ?

R R
? ? π k ?? ? ? ? kπ , ? Z? 2 ? ?

tan ?

3.三角函数值的符号问题
y

正弦为正
o

三角函数全为正
x

正切为正

余弦为正

Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦

4. 由三角函数的定义,还可以知道: 终边相同的角的同一三角函数的值相等, 由此,得到一组公式:

sin ? ? 2k?) sin ? ( ? cos ? ? 2k?) cos ? ( ? tan ? ? 2k?) tan ? ( ? 其中k ? Z

二、探索研究 1.有向线段
规定了始点和终点,带有方向的线段, 叫做有向线段.

2.有向线段的正负
规定:线段从始点到终点与坐标轴同向时为 正方向,反向时为负方向.

3.有向线段的数量
有向线段的长度,连同表示它方向的正负号, 叫有向线段的数量

y

y

三 角 函 数 的 几 何 表 示

T
P M o P

A(1,0) x

o

x M A(1,0)

T y T M o M o P A(1,0) x y

x A(1,0)

P

T

正弦、余弦、正切的几何意义
设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M,那么有 向线段MP,OM分别叫α的正弦线,余弦线。

过x轴的正半轴与单位圆的交点A(1,0)作 圆的切线,交α的终边或它的反向延长线于T点, 则有向线段AT叫α的正切线。

几点说明:
1、当角α的终边在y轴上时,余弦线变成了一个点, 正切线不存在。 2、当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变 成了一个点。 3、正弦线、余弦线、正切线都是在单位圆上作出的。 4、有向线段的起点和终点不能颠倒。正方向和数 轴正方向一致。

正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。

三、知识迁移 例1 作出下列各角的正弦线、余弦 线、正切线: 5? 2? ; (1) (2) ?
3

6

例2、在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边或终边所在的范围,并由此写出 角的集合。

1 (1)sin ? ? 2

1 (2)sin ? ? 2

成立的α 的取值范围.
y =
2p

3 练习:在0~ 2? 内,求使 sin a > 2
y P P1

3 2

P2

O M

x

例3 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域.
y P2 P O M x P1

1 x = 2

思考:求证当 ?为锐角时, ? ? ? ? tan ? . sin

四、小结
1.三角函数线是三角函数的一种几何表示, 即用有向线段表示三角函数值,是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化,余弦线和正切线的始点都是定点, 分别是原点O和点A(1,0).

3.利用三角函数线处理三角不等式问题, 是一种重要的方法和技巧,也是一种数形 结合的数学思想.


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