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双曲线及其标准方程课件_图文

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复习回顾
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
思考:
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

F1 ?? c , 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

①如图(A),
P ? {M | | MF1 | - | MF2 |? 2a}

②如图(B),

P ? {M | | MF2 | - | MF1 |? 2a}
由①②可得:

P ? {M | | | MF1 | - | MF2 | | ? 2a}
(差的绝对值) 上面 两条合起来叫做双曲线

一、 双曲线定义(类比椭圆)
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. y

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

M

② |F1F2|=2c ——焦距.
说明: 思考: 0<2a<2c ;

F

1

o

F

2

x

(1)若2a=2c,则轨迹是什么?(1)两条射线

(2)若2a>2c,则轨迹是什么?(2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

二、 双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1. 建系.

y
M

以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点. 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式

F

1

O

F

2

x

|MF1| - |MF2|=±2a


4.化简

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ?2 a

? ( x ? c)

2

?y

2

? ? ?? 2a ?
2

( x ? c) ? y
2

2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

( c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2
x a2
2

?

y2 b
2

? 1( a ? 0, b ? 0)

此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准 方程

思考:若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M

F2 x
F
1

O

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

讨论:
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?

看 x , y 前的系数,哪一个为正,则 在哪一个轴上

2

2

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

例1:请判断那些方程表示双曲线?

并指出a、b、c及焦点坐标
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2 ⑴ ? ? 1 ⑵ ? ? ?1 ⑶ ? 4 x ? 3 y ? ?1 ⑷ 2 ? 2 ? 0?m ? 0? 3 2 4 4 m m ?1

x y ? ? 1 表示双曲线,求 m 的取值范围 变式:已知方程 2 ? m m ?1

2

2

?2 ? m??m ? 1? ? 0 ? m ? ?1或m ? ?2

课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6,则 3 5 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

例2 已知双曲线的焦点在x轴上,并且双曲线上

的两点P1、P2的坐标分别( ? 2 ,? 3), 15 ( 3 , 2 ),求双曲线的标准方程。
设法一:

设法二:
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为

( ? 2 ,? 3),( 标准方程。

15 3

, 2),求双曲线的

例3 例1 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程
解:∵ F1 F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ?1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变式训练:已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6,求动点P 的轨迹方程
解: ∵ F1 F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 ( ?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

课堂练习:
1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3),动点P满足 |PF1| - |PF2|= 10,则P点的轨迹是( D ) A、双曲线 C、直线
2 2 2

B、双曲线一支 D、一条射线

x y 2、若椭圆 ? ? 1 (a ? 0)与双曲线 a 4 x y
2 2

3

?

2

? 1 的焦点相同,则

a = 3

课堂小结:
?

本节课学习了双曲线的定义、 图象和标准方程,要注意使用类 比的方法,仿照椭圆的定义、图 象和标准方程的探究思路来处理 双曲线的类似问题。


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