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高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 绝对值函数的问题解决素材 新人教A版选修4-5


绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题, 涉及到绝对值函数, 用来说明数学中的分类讨论思想非常 有代表性。 试题 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 1 , g ( x) ? a | x ? 1 | . (1) 若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2) 若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒函数成立,求实数 a 的取值范围; (3) 求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果 ,不需给出演 ...... ..... 算步骤 ). ... 解答 (1) 方程 | f ( x) |? g ( x) , 即 | x2 ?1| ? a | x? 1| , 变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 , 显然,x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a ,有且仅有一个等于 1 的 解或无解 ,结合图形得 a ? 0 . (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ? x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). 因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 . ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ? ① 当 a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . ② 当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, a a 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 . ③ 当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减, a a 2 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2 经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

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