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2019年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差及二倍角的三角函数学案 理

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数 [考纲传真] (教师用书独具)1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差 的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、 余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公 式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). (对应学生用书第 57 页) [基础知识填充] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ; (2)cos(α ±β )=cos α cos β ?sin α sin β ; (3)tan(α ±β )=1t?atnanα ±tan α tan β β . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α ; (2)cos 2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ; (3)tan 2α =12-tatnanα2α . 3.有关公式的变形、逆用 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); (2)cos2α 1+cos =2 2α ,sin2α 1-cos =2 2α ,sin α cos α =sin22α ; (3)1+sin 2α =(sin α +cos α )2,1-sin 2α =(sin α -cos α )2, sin α ±cos α = 2sin???α ±π4 ???. [知识拓展] 1.辅助角公式 asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )???其中tan φ =ba???. 6- 2 6+ 2 2.sin 15°= 4 ,cos 15°= 4 ,tan 15°=2- 3. 3.tan α 2 =1+sicnosα α =1-sicnosα α . 4.sin 2α =12+tatnanα2α ,cos 2α =11- +ttaann22αα . [基本能力自测] 0克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立.( ) (2)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定.( ) (3)公式 tan(α +β )=1t-antaαn +tan α tan β β 可以变形为 tan α +tan β =tan(α + β )(1-tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立.( ) (4)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2.(教材改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) 3 A.- 2 3 B. 2 C.-12 D.12 D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° =sin(20°+10°)=sin 30°=12,故选 D.] 4 3.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α -cos α =3,则 sin 2α =( ) A.-79 B.-29 C.29 D.79 A [∵sin α -cos α =43, ∴(sin α -cos α )2=1-2sin α cos α =1-sin 2α =196, 7 ∴sin 2α =-9.故选 A.] 4.函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最小值为________. -2 [函数 f(x)=2sin???x+π6 ???的最小值是-2.] 5.若锐角 α ,β 满足 tan α +tan β = 3- 3tan α tan β ,则 α +β =________. π 3 [由已知可得t1a-ntαan+αtatnan β β = 3,即 tan(α +β )= 3.又 α +β ∈(0,π ), 所以 α +β =π3 .] 2 0克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 (对应学生用书第 58 页) 三角公式的基本应用 2 (1)(2017·山西长治二中等五校第四次联考)若 cos θ =3,θ 为第四象限角,则 cos???θ +π4 ???的值为( ) 2+ 10 A. 6 2 2+ 10 B. 6 C. 2- 6 10 D.2 2- 6 10 (2)(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若锐角 α ,β 满足 sin α =45,tan(α 2 -β )=3,则 tan β =________. (1)B 6 (2)17 2 [(1)因为 cos θ =3,θ 为第四象限角,则 sin θ =- 5 3 ,故 cos???θ +π4 ??? = 22cos θ - 22sin θ = 22×???23+ 35???=2 2+ 6 10,故选 B. (2)因为锐角 α 满足 sin α =45,所以 cos α = 1-sin2α =35,则 tan α =scions α α 4 =3,tan β =tan[α -(α -β )]=1t+antaαn -tan(α α tan(α -β -β