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1.5y=Asin(wx+ψ)的图象


1.5函数y=Asin(ωx+φ) 的图象

(一)探索? 对 y=sin(x+? )的图象的影响.
?? ? 观察y ? sin? x ? ?和y ? sin x的图象 3? ?

x
x?

?
?
3 ?
3 )

?
3

0
0

? 2

? 6
1

2? 3
?
0

7? 6
3? 2
-1

5? 3
2?
0

sin( x ?

思考:比较 y ? sin( x ? ) 与 y ? sin x 的图象的 3 形状和位置,你有什么发现?
y
y ? sin( x ? ) 3

?

?

y = sin x

?

? o ?
3 6

? 2? π
2 3

7? 6

5? 3
2π x

结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作 是把正弦曲线上所有的点向左(当? ? 0时) 或向右(当? ? 0时)平行移动? 个单位长度而得到.

6 个单位,可得到函数y ? sin x的图象.
3

? ? )的图象向 ____ 平移 ___ 右 【1】 将函数y ? sin( x ? 6 ?

左 6 【2】 将函数y ? sin( x ? ? )的图象向 ____ 平移 ___
个单位,可得到函数y ? sin( x ? ? )的图象. 6

(二)探索?(? >0)对 y=sin(?x+? ) 的图象的影响.
?? ?? ? ? 观察y ? sin? 2 x ? ?和y ? sin? x ? ?的图象 3? 3? ? ?
x
2x ?
?

?
6

?
12

?
3

?
3 ?
3 )

7? 12

5? 6

0
0

sin(2 x ?

? 2 1

?
0

3? 2
-1

2?
0

思考:比较 y ? sin(2 x ?

?

3 的图象的形状和位置,你又有什么发现?

与 y ? sin( x ? ? ) )

3

y
1

o
? ? ? ? 3 6 -1

? 3
? y=sin(2x+ ) 3

5? ? 6

y=sin(x+ ) 3

5? 3 ?

2?

x

函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象,可以看作是把 函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标 缩短(当? >1时)或伸长(当0< <1时) ? 1 到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.
?

结论

练习:
为了得到函数 y ? sin 点的( A )

x , x ? R 的图象,只需把正弦曲线上的所有的 5

A.横坐标伸长到原来的5倍,纵坐标不变. 1 B.横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变. 5
C.纵坐标伸长到原来的5倍,横坐标不变. 1 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变. 5

(三)探索A(A>0)对 y=Asin(?x+? )的图象的影响.
?? ?? ? ? 观察y ? 3sin ? 2 x ? ? 和y ? sin ? 2 x ? ?的图象 3? 3? ? ?

x

?

?

?

?

2x ?

?
3 ?
?

6

12

0
0 0

sin(2 x ? ) 3
3sin(2 x ? ) 3

? 2 1
3

3

7? 12

?
0 0

3? 2

5? 6

2?
0 0

-1 -3

?? ?? ? ? 思考:比较 y ? 3sin ? 2 x ? ? 和y ? sin ? 2 x ? ?的图象 3? 3? ? ?

的形状和位置,你又有什么发现?

y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

o
? ? ? ? 3 6-1

?

? ? 6 3

7 ? 6

5? 3

2?

7 ? 2 5? 12 3 ? 6
? y=sin(2x+ ) 3

x

-2
-3

结论:

函数y=Asin(?x+?)的图像可看作是把y=sin(?x+?) 的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
y=Asin(?x+?)的值域是 [-A,A] 最大值是 A 最小值是 -A

练习:
为了得到函数 y ?

点的( D ) A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变. 1 B.横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变. 4 C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变. 1 D.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变. 4

1 sin x , x ? R 的图象,只需把正弦曲线上的所有的 4

练习:如何由

y ? sin x 变换得 ? y ? 3 sin(2 x ? )的图象? 3

y
3
2

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx
1

o
? ? ? ? 3 6-1

?

? ? 6 3

7 ? 6

5? 3

2?

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

过程步骤
步骤1

y
1

y=sinx
? 2

?
3? 2

2?

O -1

x

(沿x轴 平行移动)
y
1

y=sin(x+? )
? 2

步骤2

?
3? 2

2?

O -1

x

(横坐标 伸长或缩短)
y y=sin(?x+? ) x

步骤3

O

(纵坐标 伸长或缩短) y y=Asin(?x+? )

步骤4

O

x

?? ?1 例1 画出函数y ? 2 sin? x ? ?的简图. 6? ?3 ? 解: 先把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度
?? ? 得到y ? sin ? x ? ?的图象 6? ?

6

再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐 标不变), 得到y ? sin ? 1 x ? ? ?的图象 ? ?
?3 6?

再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍 (横坐标不变)
?? ?1 得到y ? 2sin ? x ? ?的图象. 6? ?3

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
y ? sin(
2?
7? 2

1 ? x ? )② 3 6
13? 2

o
-1

? 6

? 2

?
y=sinx

x

-2
-3

1 ? (画法二)利用"五点法"画函数y ? 2 sin( x ? )在 3 6 2? 一个周期(T ? 1 ? 6? )内的图象. 3

1 ? ? 令X ? x ? , 则x ? 3( X ? ). 3 6 6 ? 3? 当X取0, , ? , ,2?时, 可求得相对应的x和y 2 2 . . , 五点 的值, 得到"五点", 再描点作图. 然 后 将 简 图再"描 点 "作

(1)列表 :

X x y

0
? 2

? 2

?
7? 2

3? 2

2?
13? 2

y

2?

5?

0

2

0

?2

0
2

(2)描点 :

O -2

?
2

2?

? 7? 13? ( ,0), (2? ,2), ( ,0), (5? ,?2), ( ,0) 2 2 2
(3)连线 :

7? 2

5?

13? 2

x

1、 要得到函数 y ? sin( 3x ? 5 ) 的图象, 只需将函数 y ? sin 3x 的图象 (D ) ? A.向左平移个 5 单位 ? B.向右平移个 5 单位 ? C.向左平移个 15 单位 ? D.向右平移个 15 单位

?

x ? x 2.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象 C A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?

?

?
6

?
6

?
3

?
3


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