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2-2周测


选修 2-2

周测

2014-4-16
) )

1.设复数: Z1 ? 1 ? i, Z2 ? x ? 2i,( x ? R) ,若 Z1 ? Z2 为实数,则 x ? (

A. ?2 B. ?1 C.1 D.2 2. 用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度” 时, 反设正确的是 ( A.假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D. 假设三内角至多有两个大于 60 度 3.复数 z= -3+i 的共轭复数是 ( 2+i ) D -1-i

A 2+i B 2-i C -1+i 4.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )

A. 两条直线平行, 同旁内角互补, 如果 ? A 和 ? B 是两条平行直线的同旁内角, 则 ?A ? ?B ? 180? . B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质. C.某校高二共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人, 由此推测各班都超过 50 人.

1? 1 ? D. 在数列 ?an ? 中 a1 ? 1, an ? ? an?1 ? 由此归纳出 ?an ? 的通项公式. ? ? n ? 2? , 2? an?1 ?
5.函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) A.0
( x ? 50) 在 x ? 1 处的导数为(



B. ?49! C.50! D. ?50! x ?1 6.曲线 y ? 与其在点 ( 0,一 1) 处的切线及直线 x ? 1 所围成的封闭图形的面积为( x ?1 A.1-ln2 B.2-2ln2 C. ln2 D.2ln2-1 3 7.函数 y ? f ( x) 在定义域 (? ,3) 内可导,其图象如图所示,记 y ? f ( x) 的导函数 2 为 y ? f ?( x) ,则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为(
? 3 1? A. ? ? , ? ? 2 2? ? 1 ? C. ? ? ,1? ? 3 ?

)



?1, 2? ? 2,3?

? 4 8? B. ? ?1, 2? ? , ? ? 3 3? ? 3 ? D. ? ? , ?1? ? 2 ? ?1 4? , ? ?2 3? ? ?8 ? ,3 ? ? ?3 ?

8.若函数 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则( A. 0 ? b ? 1 B. b ? 1 C. b ? 0

)
1 2

D. 0 ? b ?

1

9.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x ) sin x , f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,若函数 f ?( x ) 的 纵坐标不变,将横坐标向左平移 则下列说法正确的是( ) B.函数 F ( x) 是偶函数,最大值是 2 D.函数 F ( x) 是偶函数,最大值是 2 ).

? 个单位后得到的函数记为 F ( x) , 8

A.函数 F ( x) 是奇函数,最大值是 2 C.函数 F ( x) 是奇函数,最大值是 2

10. 函数 f ? x ? 的图象如图所示,下列数值排序正确的是( A. 0 ? f ? ? 2? ? f ? ?3? ? f ?3? ? f ? 2? B. 0 ? f ? ?3? ? f ?3? ? f ? 2? ? f ? ? 2? C. 0 ? f ? ?3? ? f ? ? 2? ? f ?3? ? f ? 2? D. 0 ? f ?3? ? f ? 2? ? f ? ? 2? ? f ? ?3?

y A

B

x 2 3

11.对于函数 f ? x ? ,在使 f ? x ? ? M 成立的所有常数 M 中,把 M 中的最大值 称为函数 f ? x ? 的“下确界” ,则函数 f ( x) ? A.
1 4

x2 ?1 的下确界为( ( x ? 1)2
D. 2



B.

1 2

C. 1

5 12. 定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x) ? f (5 ? x), 且( ? x) f ?( x) ? 0,已知x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 , 2 则有( ) A.f ( x1 ) ? f ( x2 ) B.f ( x1 ) ? f ( x2 ) C.f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D.f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

二 填空题
13. 复数 14.
3 ? 2i 3 ? 2i ? ? 2 ? 3i 2 ? 3i

?

3

2

( 1 ? ( x ? 3)2 ? x2 )dx =



15. 设函数 f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1( x ? R ) ,若对于任意 x ???1,1? ,都有 f ? x ? ? 0 成立, 则实数 a ? 16.观察下列不等式: ;

1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 ? 1 1? ? ? ? 1 , ? ( ? ) ? ? ?1 ? ? , ? ( ? ? ) ? ? ? 1 ? ? ? 1 2 2 2 2 4 3 ? 3? 3 2 4 6 4 ? 3 5?

由此猜想第 n 个不等式为___________________
2

__

(n ? N ? ) 。

三 解答题
17. 已知复数 z1 满足 (1 ? i) z1 ? ?1 ? 5i , z2 ? a ? 2 ? i ,其中 i 为虚数单位, a ? R , 若 | z1 ? z2 |?| z1 | ,求 a 的取值范围。 18. 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? can ? cn?1 (2n ? 1),(n ? N * ) 其中实数 c ? 0 . (1) 用归纳法求数列 {an } 的通项公式; (2) 用数学归纳法证明你的结论.

19. 已知 x ? 1 是函数 f ? x? ? mx3 ? 3? m ?1? x2 ? nx ?1 的一个极值点, 其中 m, n ? R, m ? 0 (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ? x ? 的单调区间; (3)当 x ?[?1,1] ,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m , 求 m 的取值范围。
2a 2 ? x(a ? 0) . x (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;

20.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 (Ⅱ)当 a ? (??,0) 时,记函数 f ( x) 的最小值为 g (a) ,求证: g (a) ? e2 . 2

1 1 21.已知函数 f ( x) ? (a ? ) ln x ? ? x ( a ? 1 ) . a x (Ⅰ)试讨论 f ( x) 在区间 (0 , 1) 上的单调性;

(Ⅱ)当 a ??3, ? ?? 时,曲线 y ? f ( x) 上总存在相异两点 P( x1 , f ( x1 )) , Q( x2 , f ( x2 )) , 使得曲线 y ? f ( x) 在点 P , Q 处的切线互相平行,求证: x1 ? x2 ? 22.已知 a, b ? R, a ? b ? e ,
6 . 5

(其中 e 是自然对数的底数),求证: ba ? ab .

3

答案
ABDAB 13 16 17 18 DCACB
2i ;

BB 14
?

? 19 ? ; 4 3

15 a ? 4 ;
? 1 ? ? 2n ? 1 ?

1?1 1 1 ? ? ? ? n?2 4 6
1? a ? 7

1 ? 1 ? 1 1 ?? ?1 ? ? ? 2n ? n ? 1 ? 3 5

an ? ? n 2 ? 1? c n ? c n ?1

19. 解: (1) f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n. 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一 个极值点. 所以 f '(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6 (2)由(1)知, f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ?1)[ x ? (1 ? )] 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?
x
f '( x) f ( x)

2 m

2 ,当 x 为化时, f ( x) 与 f '( x) 的变化如下表: m 2 (1 ? ,1) 2 2 (1, ? ?) 1? (? ?,1 ? ) m 1 m m

单调递减
2 m

0 极小值

+ 单调递 增
2 m

单调递 极大值 减

0

当 m ? 0 时, f ( x) 在 (? ?,1 ? ) 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ? ?) 上单调递减. (3)由已知得 f '( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 又 m ? 0 ,所以 x2 ? (m ? 1) x ? 即 x2 ? (m ? 1) x ?
2 m
2 m 2 ? 0, m

1 2 2 ? 0, x ?[?1,1] 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数图象开口向上, m m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 由题意知①式恒成立,所以 ? 解之得 ? ? m又m ? 0 ?? m m 3 ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0 4 4 所以 ? ? m ? 0 即 m 的取值范围为 (? ,0) 3 3

4

20

5

21

(Ⅱ)证明:由题意可得,当 a ??3, ??? 时, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ( x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ).

1 1 a? 1 a? a ? 1 ?1 , ?1 ? 即 2 x1 x1 x2 x2 2 1 1 1 x1 ? x2 所以 a ? ? ? , a ??3, ??? . ? a x1 x2 x1 x2 x ? x2 2 ) 恒成立, 因为 x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ,所以 x1 x2 ? ( 1 2 a?

?????8 分

6

1 4 ,又 x1 ? x2 ? 0 , ? x1 x2 ( x1 ? x2 )2 1 x ? x2 4 所以 a ? ? 1 ,整理得 x1 ? x2 ? ? a x1 x2 x1 ? x2
所以 令 g (a) ?

4 1 a? a

.

????10 分

,因为 a ??3, ??? ,所以 g (a ) 在 ?3, ?? ? 上单调递减, 1 a? a 6 4 所以 g (a ) ? 在 ?3, ? ? ? 上的最大值为 g (3) ? , 1 5 a? a 6 所以 x1 ? x2 ? . ?????12 分 5
a b a b 22.证明:∵ b ? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a ,只要证: a ln b ? b ln a

4

ln b ln a ln x 1 ? ln x ? f ( x) ? f ?( x) ? a .(∵ a ? b ? e ),取函数 x ,∵ x2 只要证 b

∴当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (e, ??) 上是单调递减.
ln b ln a ? a .得证 ∴当 a ? b ? e 时,有 f (b) ? f (a) 即 b

7


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