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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法(含答案)


高一数学求函数的定义域与值域的常用方法

一. 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值 二. 求函数的解析式 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解 出 y。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数 f[g(x) ]的表达式,求 f(x)的表达式时可以令 t=g(x) , 以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出 f(x)和 f(-x) ,或 f(x)和 f(1/x)的一个方程,则可以 x 代 换-x(或 1/x) ,构造出另一个方程,解此方程组,消去 f(-x) (或 f(1/x) )即可求出 f(x)的 表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量 关系,列出等式,解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意 义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了 自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一 般取非负数,等等; 4、对复合函数 y=f[g(x) ]的定义域的求解,应先由 y=f(u)求出 u 的范围,即 g(x)的范 围,再从中解出 x 的范围 I1;再由 g(x)求出 y=g(x)的定义域 I2,I1 和 I2 的交集即为复合函数的 定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一 样,则在叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求 并集,作为该函数的定义域;

一:求函数解析式 1、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。 x ? 1 x2 ? x ? 1 f( )? x x2 例 1. 已知 ,试求 f ( x) 。 x ?1 1 t? x? 2 2 x , t ?1 , 解: 设 则 代入条件式可得: f (t ) ? t ? t ? 1 , t≠1。 故得: f ( x) ? x ? x ? 1, x ? 1 。 说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。 2、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个 方程,联立求解。
1

1 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 x 例 2. (1)已知 ,试求 f ( x) ; 2 (2)已知 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? 4x ? 5 ,试求 f ( x) ;
1 1 1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? 3 2 ? 4 ? 5 x x 解: (1)由条件式,以 x 代 x,则得 x ,与条件式联立,消去 2 8 4x 5 f ? x ? ? 2 ? ? x2 ? ? x 3 x 3 3。 则得:

?1? f? ? ? x ?,

2 f ?x (2)由条件式,以-x 代 x 则得: f (? x) ? 2 f ( x) ? 3x ? 4x ? 5 ,与条件式联立,消去 ? ? ,则 5 f ? x ? ? x2 ? 4x ? 3。 得:

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解 析式确定,不需要另外给出。 例 4. 求下列函数的解析式: (1)已知 f ( x) 是二次函数,且 f (0) ? 2, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x) ; (2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) , f ( x ? 1) , f ( x 2 ) ;
x ?1 x2 ?1 1 )? ? ,求 f ( x) ; x x x2 (4)已知 3 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ? 3 ,求 f ( x) 。

(3)已知 f (

【题意分析】 (1)由已知 f ( x) 是二次函数,所以可设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,设法求出 a, b, c 即可。 (2)若能将 x ? 2 x 适当变形,用 x ? 1 的式子表示就容易解决了。 x ?1 (3)设 为一个整体,不妨设为 t ,然后用 t 表示 x ,代入原表达式求解。 x (4) x , ? x 同时使得 f ( x) 有意义,用 ? x 代替 x 建立关于 f ( x) , f (? x) 的两个方程就行了。 【解题过程】⑴设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,由 f (0) ? 2, 得 c ? 2 , 1 3 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ,得恒等式 2ax ? a ? b ? x ? 1 ,得 a ? , b ? ? 。 2 2 1 2 3 故所求函数的解析式为 f ( x) ? x ? x ? 2 。 2 2 2 (2)? f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x ) ? 2 x ? 1 ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 1, 又? x ? 0, x ? 1 ? 1,? f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 1) 。 x ?1 1 ? t , 则x ? ,t ? 1 , (3)设 x t ?1 x ?1 x2 ?1 1 1 1 )? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? t 2 ? t ? 1 则 f (t ) ? f ( 2 x x x x x 2 所以 f ( x) ? x ? x ? 1( x ? 1) 。 (4)因为 3 f ( x) ? 2 f (? x) ? x ? 3 ① 用 ? x 代替 x 得 3 f (? x) ? 2 f ( x) ? ? x ? 3 ② 3 解①②式得 f ( x) ? x ? 。 5 【题后思考】求函数解析式常见的题型有: ( 1 )解析式类型已知的,如本例⑴,一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,顶点式 y ? a( x ? h) 2 ? k 和标根式 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 的选择;
2

(2)已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) 的问题,方法一是配凑法,方法二是换元法,如本例(2) (3) ;
1 (3) 函数方程问题, 需建立关于 f ( x) 的方程组, 如本例 (4) 。 若函数方程中同时出现 f ( x) ,f ( ) , x 1 则一般将式中的 x 用 代替,构造另一方程。 x 特别注意:求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。

二:求函数定义域 1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要 认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。 x?3 y ? x?2 ? x ?4 例 3. 求 的定义域。 ? ?x ? 2 ? 0 ? ? x ? 4 ,从而解得:x>-2 且 x≠〒4.故所求定义域为: 解:由题意知: ? {x|x>-2 且 x≠〒4}。 例 2. 求下列函数的定义域: 5? x (1) f ( x) ? ; (2) f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x x ?3 【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围,应考虑使函数解析式有意义,这里需考 虑分母不为零,开偶次方被开方数为非负数。 ?5 ? x ? 0 ?x ? 5 ,即? 【解题过程】 (1)要使函数有意义,则 ? ,在数轴上标出,即 ? x ? 3 ? 0 ? x ? ?3

?x x ? ?3, 或 ? 3 ? x ? 3, 或3 ? x ? 5?。

x ? ?3, 或 ? 3 ? x ? 3, 或3 ? x ? 5 。 故 函 数 的 定 义 域 为 (??,?3) ? (?3,3) ? (3,5] . 当 然 也 可 表 示 为

?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 (2)要使函数有意义,则 ? ,即? , 所以x ? 1 ,从而函数的定义域为 ?x | x ? 1? 。 ?1 ? x ? 0 ? x ? 1 【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题, 如果一个函数有几个限制条件 时,那么定义域为解各限制条件所得的 x 的范围的交集,利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域 时不应化简解析式;定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连 接,而应该用并集符号“ ? ”连接。
2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。 例 4. 已知函数由下表给出,求其定义域 X 1 2 3 4 5 6 Y 22 3 14 35 -6 17 解:{1,2,3,4,5,6}。 3、求与复合函数有关的定义域:由外函数 f(u)的定义域可以确定内函数 g(x)的范围,从而解 得 x∈I1,又由 g(x)定义域可以解得 x∈I2.则 I1∩I2 即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函 数的表达式后再行求解。 x 例8 已知f ( x) ? x ? 3, g ( x) ? , 求y ? f ( g ( x))的定义域. 2 x ? 4x ? 3
3

由f ( x) ? x ? 3 ? x ? 3 ? g ( x) ? 3 ?

x x2 ? 4 x ? 3

?3

?

解: 又由于 x2-4x+3>0 ** 联立*、**两式可解得: 9?3 3 9?3 3 ? x ? 1或3 ? x ? 4 4 ? ? 9?3 3? ? 9?3 3 故所求定义域为 ? x | ? x ? 1或3 ? x ? ? 4 4 ? ? ? ? x 例 9. 若函数 f(2 )的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域。 x 解:由 f(2 )的定义域是[-1,1]可知:2-1≤2x≤2,所以 f(x)的定义域为[2-1,2] ,故 ? 2, 4? ?。 log2x∈[2-1,2] ,解得 2 ? x ? 4 ,故定义域为 ?

三:求函数的值域与最值 求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深 入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。 1、分离变量法 2x ? 3 y? x ? 1 的值域。 例 11. 求函数
1 2 x ? 3 2 ? x ? 1? ? 1 1 ?0 ? ? 2? x ?1 x ?1 x ? 1 ,因为 x ? 1 解: ,故 y≠2,所以值域为{y|y≠2}。 说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量 x,可通过等价变形,让变量只出现在分母 中,再行求解。

y?

2、配方法 例 12. 求函数 y=2x2+4x 的值域。 解:y=2x2+4x=2(x2+2x+1)-2=2(x+1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。 说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函 数的函数的值域也可采用此方法求解,如 y=af2(x)+bf(x)+c。 3、判别式法
x2 ? 2 x ? 3 的值域。 4 x2 ? 5x ? 6 x2 ? 2 x ? 3 y? 2 4 x ? 5 x ? 6 可变形为: 解: (4y-1)x2+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0 可解得: ? 26 ? 6 3 26 ? 6 3 ? y?? , ? 71 ? ? 71 。 说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第 一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么 一般情况下就不能用此法求解值域; 第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非 空数集,所以将原函数变形为一个关于 x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故 Δ≥0。 4、单调性法

例 13. 求函数 y ?

4

例 14. 求函数 y ?

?2 ? 3 ,x∈[4,5]的值域。 x ?2 y? ?3 5 13 x 解:由于函数 为增函数,故当 x=4 时,ymin= ;当 x=5 时,ymax= ,所以函数的值
2 5

? 5 13 ? ? , ? 域为 ? 2 5 ? 。

5、换元法 例 15. 求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域。 解:令 t ? 1 ? x ? 0 ,则 y=-2t2+4t+2=-(t-1)2+4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。 例 3. 求下列函数的值域: (1) y ? 2 x ? 1, x ? ? 1,2,3,4,5? (2) y ? x ? 1
1? x2 1? x2 (4) y ? ? x 2 ? 2x ? 3, (?5 ? x ? ?2) 【思路分析】 【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点:一是值域的概念,即对于定义域 A 上的函 数 y ? f ( x) ,其值域就是指集合 C ? ?y y ? f (x), x ? A?;二是函数的定义域,对应关系是确定函

(3) y ?

数值的依据。 【解题过程】 9,11? 。 (1)将 x ? 1,2,3,4,5分别代入y ? 2x ? 1中计算,得出函数的值域为 ?3,5,7, (2) 即所求函数的值域为 [1,??) 或用换元法, 令 t ? x (t ? 0), y ? t ? 1(t ? 0) ? x ? 0,? x ? 1 ? 1 , 的值域为 [1,??) 。 (3)<方法一>? y ?
?1 ? x 2 ? 1,? 0 ?

1? x2 2 ? ?1 ? ,? 函数的定义域为 R。 2 1? x 1? x2

2 ? 2,? y ? ( ?1,1] 。 1? x2

<方法二> y ?
? x2 ?

1? y ? 0, 得到y ? (?1,1] 。 1? y 故所求函数的值域为(-1,1]。 (4)<构造法> y ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1) 2 ? 4,? ?5 ? x ? ?2,? ?4 ? x ? 1 ? ?1

1? x2 ? y ? yx 2 ? 1 ? x 2 ? (1 ? y) x 2 ? 1 ? y 1? x2

习题讲解:

?log (1 ? x), x ? 0 1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 2 ,则 f(2009)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
A.-1 答案:C. B. 0 C.1 D. 2

)

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1, f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,
f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 ,
5

f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,

所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 2.设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是( ) ? x ? 6, x ? 0
A
(?3,1) ? (3,??)

B (?3,1) ? (2,??) D (??,?3) ? (1,3)

C (?1,1) ? (3,??)

答案:A 【解析】由已知,函数先增后减再增 当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 3. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有
5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 2 1 5 A. 0 B. C. 1 D. 2 2 答案:A 1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: 【解析】若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ? x 2 1 1? 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) (≧ f ( x) 是偶函数,则 f (? 1 ) ? f ( 1 ) )由此得 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 1 f( )?0 2 3 1 1? 1? 5 3 3 5 3 5 1 5 2 f ( ) ? f ( ) ? f ( ? 1) ? [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 于是, f ( ) ? f ( ? 1) ? 3 2 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2 1 ? a 是奇函数,则 a ? 4.若 f ( x) ? x . 2 ?1 1 答案 2
6

【解析】解法 1 f (? x) ?

1 2x ? a ? ? a, f ( ? x ) ? ? f ( x ) 2? x ? 1 1 ? 2x

?

2x 1 1 2x 1 ? a ? ? ( ? a ) ? 2 a ? ? ? 1故a ? x x x x 1? 2 2 ?1 1? 2 1? 2 2

?3x , x ? 1, 5.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,
答案 log3 2

.

.w【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的 考查.

?x ? 1 ?x ? 1 由? x 无解,故应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2
6.记 f ( x) ? log3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) ,则方程 f ?1 ( x) ? 8 的解 x ? 答案 2 【解法 1】由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) ,得 x ? 3y ?1 ,即 f ?1 ( x) ? 3x ?1 ,于是由 3x ? 1 ? 8 ,解得 x ? 2 【解法 2】因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2 .

三、知识要点 1、奇偶函数定义: (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么 f(x)就叫做 偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么 f(x)就叫 做奇函数. 注意: ①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②奇偶函数的定义域的特征:关于原点对称。 ③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x, 则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . ④奇函数若在 x ? 0 时有定义,则 f (0) ? 0 2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 说明:一般地,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数。偶函数的图象关于 y 轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么 这个函数是偶函数。
7

4、判断函数奇偶性的格式步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内, (1)两个奇函数的和为奇函数;两个奇函数的积为偶函数. (2)两个偶函数的和为偶函数;两个偶函数的积为偶函数. (3)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 1 (4) 函数 f (x)与 f ? x ? 同奇或同偶.

【典型例题】 一、判断函数的奇偶性 例 1、判断函数的奇偶性时易犯的错误 (1)因忽视定义域的特征致错 x? x ? 1? f ?x ? ? x ? 1 ;②f (x)=x2+(x+1)0 1、① x? x ? 1? f ?x ? ? ?x x ?1 错解:① ,? f (x)是奇函数 2 ②≧ f (-x)=(-x) +(-x+1)0=x2+(x+1)0=f (x) ? f (x)是偶函数. 分析:一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称. 正解:①定义域(-≦,1)∪(1,+≦)关于原点不对称,f (x)是非奇非偶函数. ②定义域(-≦,-1)∪(-1,+≦) ,? f (x)为非奇非偶函数. (2)因缺乏变形意识或方法致错. 1 1 f ?x ? ? x ? 5 ? 1 2 的奇偶性. 2、判断 x 错解:≧ 5 -1≠0,? x≠0. f (x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦) ,关于原点对称. x 1 1 5 1 f ?? x ? ? x ? ? ? x 2, 5 ?1 2 1? 5 ≧ ? f (-x)≠f (x) ,f (-x)≠-f (x) , ? f (x)是非奇非偶函数. 分析:因演变过程不到位导致错误,所以要注意进行恒等变形. 1 1 5x ? 1 f ?x ? ? x ? ? 5 ? 1 2 2 5 x ? 1 ,定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)关于原点对称. 正解:

?

?

5? x ? 1 1 ? 5x 5x ? 1 ? ? ? ? ? f ?x ? 2 5? x ? 1 2 1 ? 5 x 2 5x ?1 ? f (x)是奇函数. (3) 因忽视 f (x)=0 致错. f ?x ? ?

?

? ?

?

?

?

8

2 2 3、判断函数 f ?x ? ? x ? 4 ? 4 ? x 的奇偶性. 2 ? ?x ? 4 ? 0 ? 2 ? 错解:由 ?4 ? x ? 0 得 x=〒2, ? f (x)的定义域为{-2,2},关于原点对称.

f ?? x ? ?

?? x ?2 ? 4 ?

4 ? ?? x ? ? x 2 ? 4 ? 4 ? x 2 ? f ?x ? ,
2

? f (x)为偶函数 正解:f (x)的定义域为{-2,2},此时,f (x)=0,? f (x)既是奇函数又是偶函数. 点评:函数 f (x)=0 (x≠0)是 f (x)既是奇函数又是偶函数的一个必要条件,任何一个关 于原点对称的区间都可以作为解析式为 f (x)=0 (x≠0)函数的定义域. (4)因分段函数意义不清致错

二、函数的奇偶性与单调性的关系 例 3、已知:函数 y ? f ( x) 在 R 上是奇函数,而且在 (0, ??) 上是增函数, 证明: y ? f ( x) 在 (??, 0) 上也是增函数。 证明:设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 ≧ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数。 ? f (? x1 ) ? f (? x2 ) ,又 f ( x) 在 R 上是奇函数。 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以, y ? f ( x) 在 (??, 0) 上也是增函数。 规律: 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反; 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.
2 例 4、 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2x ? 3x ? 1 ,当 x<0 时,求 f ( x) 解:设 x ? 0 ,由于 f ( x) 是奇函数,故 f ( x) ? ? f (? x) , 2 2 又 ? x ? 0 ,由已知有 f (? x) ? ?2(? x) ? 3(? x) ? 1 ? ?2x ? 3x ? 1 ??2 x 2 ? 3x ? 1 x ? 0 ? f ( x) ? ? 0 x?0 ? 2 x 2 ? 3x ? 1 x ? 0 ? 从而解析式为

1 2 f ( x) ? f ( ) ? x f ( x ) { x | x ? 0} x 例 5、 (1)已知 的定义域为 ,且 ,试判断 f ( x) 的奇偶性。 (2)函数 f ( x) 的定义域为 R ,且对于一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,试判断 f ( x) 的

奇偶性。 解: (1)≧ f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} ,且 1 1 1 2 f ( ) ? f ( x) ? x x 令①式中 x 为 x 得: 解①②得
f ( x) ? 2x ?1 3x ,
2

1 2 f ( x) ? f ( ) ? x x





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≧定义域为 {x | x ? 0} 关于原点对称 2(? x)2 ? 1 2 x2 ?1 f (? x) ? ?? 3(? x) 3x ? ? f ( x) 又≧
2x2 ?1 3x 是奇函数。 ? (2)≧定义域关于原点对称, 又≧令 x ? y ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) 则 f (0) ? 0 , f ( x) ?

再令 y ? ? x 得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) , ? f ( ? x) ? ? f ( x) 所以,原函数为奇函数。

(一)函数单调性的定义 1. 增函数与减函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f (x1) <f (x2) , 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f (x1) >f (x2) , 那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数。 注意: ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2)或 f(x1) >f(x2) 。 2. 函数的单调性的定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 3. 判断函数单调性的方法和步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2) ; ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 。 (二)函数最大(小)值的定义 1. 最大值与最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值。 注意:
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①函数的最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0)=M; ②函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (f(x)≥M) 。 2. 利用函数的单调性判断函数的最大(小)值的方法 ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ②利用图象(数形结合法)求函数的最大(小)值 ③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x =b 处有最大值 f(b) ; 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x =b 处有最小值 f(b) 。

知识点一:函数的单调性与最值 4 例 1:判断函数 f ( x) ? x ? 在区间 (0, 2) 上的单调性,并用定义证明。 x 1)题意分析:用定义证明一个分式函数在 (0, 2) 上的单调性 2)解题思路:按照用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤去做即可。 4 解答过程: f ( x) ? x ? 在区间 (0, 2) 上单调递减。 x 4 4 设 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = x1 ? ? x2 ? x1 x2 4( x2 ? x1 ) 4 ? x1 x2 = x1 ? x2 ? = ( x2 ? x1 ) 。 x1 x2 x1 x2 已知 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 所以 x2 ? x1 ? 0 ,4 ? x1 x2 ? 0 ,x1 x2 ? 0 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即原函数在 (0, 2) 上单调递减。 解题后的思考:用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的关键在于变形(通常是因 式分解和配方)和定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 。

? ∞) 上是增函数,且 f ( x) ? 0 ,试问 F ( x) ? 例 2:已知 f ( x) 是奇函数,它在 (0,

1 0) 上是 在 (?∞, f ( x)

增函数还是减函数?并证明你的结论。 1)题意分析:本例比较抽象,没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性,判断倒 函数的单调性。 2)解题思路:根据函数的单调性的定义,可以设 x2 ? x1 ? 0 ,进而判断 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 的符号。 解答过程:任取 x1,x2 ? (?∞, 0) ,且 x2 ? x1 ? 0 ,则有 (? x2 ) ? (? x1 ) ? 0 。 f ( x) 在 (0, ? ∞) 上是增函数,且 f ( x) ? 0 ,? f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? 0 ,
f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 。 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 1 于是 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ? ? ? 0, f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) ? f ( x2 )
1 1 ? f ( x2 ) f ( x1 )



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? F ( x) ?

1 在 (?∞, 0) 上是减函数。 f ( x) 解题后的思考:本例是一道抽象性较强的题,它考查了函数性质的综合应用。

1 x2 ? 2x ? 2 例 3:已知 0 ? x ≤ ,求函数 f ( x) ? 的最值。 4 x 1)题意分析:本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大(小)值; 2)解题思路:先分离常数,再利用函数的单调性求函数的最值。 2 1 解答过程:已知函数式可化为 f ( x ) ? x ? ? 2 ,先判断函数 f ( x) 在 0 ? x ≤ 上的增减性。 x 4 1 设 0 ? x1 ? x2 ≤ ,则 4 ( x ? x )( x x ? 2) 2 2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? ? 2) ? ( x2 ? ? 2) ? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2 1 0 ? x1 ? x2 ≤ ,? x1 ? x2 ? 0,x1x2 ? 2 ? 0 。 4 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即函数 f ( x) 在 0 ? x ≤ 上是减函数。 4 25 ? 1 ? 25 。故所求函数的最小值为 ,无最大值。 ? f ( x) ≥ f ? ? ? 4 ?4? 4 解题后的思考: 函数单调性在解题中的应用, 主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式, 把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题,以达到化难为易、化繁为简的目的。

? ∞) ,且 f (4) ? 2, f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求满足 例 4 :已知函数 f ( x) 是增函数,定义域为 (0, f ( x) ? f ( x ? 3) ≤ 2 的 x 的取值范围。 1)题意分析:本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点,求函数自变量的取值范围。 2)解题思路:利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小,求自变量的大小的问题, 此过程中要注意定义域的限制作用,即如果 f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ? x( x ? 3)? ,则必须 x ? 0 , x ? 3 ? 0 ,且

x( x ? 3) ? 0 。

? x ? 0, ? x ? 3 ? 0, ? 解答过程:由题意,得 ? ? x( x ? 3) ? 0, ? ? f ( x) ? f ( x ? 3) ? f [ x( x ? 3)] ≤ 2, 解得 3 ? x ≤ 4 。所以 x 的取值范围是 3 ? x ≤ 4 。 ? ∞) 这一隐含条件。 解题后的思考:容易忽视函数的定义域为 (0, 例 6:已知 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,求当 x ? 0 时 f ( x) 的解析式。 1)题意分析:已知函数是奇函数,且知道函数在某个区间上的解析式,求函数在该区间关于原 点对称的区间上的解析式。 2)解题思路:利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡到已知区 间。 解答过程:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,所以有 f (? x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,又已知 f ( x) 是奇函数,所以有 f ( x) ? ? f (? x) = ? x 2 ? 2 x ? 3 。即当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 。 解题后的思考:关键在于利用取相反数、加减周期等方法将未知区间过渡到已知区间。
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六、反函数 1、 反函数的概念:设函数 y=f(x)的定义域为 A,值域为 C,由 y=f(x)求出 x ? ? ? y ? ,若对于 C 中的 每一个值 y,在 A 中都有唯一的一个值和它对应,那么 x ? ? ? y ? 叫以 y 为自变量的函数,这个函数

x ? ? ? y ? 叫函数 y=f(x)的反函数,记作 x ? f ?1 ? y ? ,通常情况下,一般用 x 表示自变量,所以记作

y ? f ?1 ?x ? 。
注:在理解反函数的概念时应注意下列问题。 (1)只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数; (2)反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤 (1)解关于 x 的方程 y=f(x),达到以 y 表示 x 的目的; (2)把第一步得到的式子中的 x 换成 y,y 换成 x; (3)求出并说明反函数的定义域(即函数 y=f(x)的值域) 。 3、关于反函数的性质 (1)y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; (2)y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性; (3)y=f(x)和 x=f-1(y)互为反函数,但对同一坐标系下它们的图象相同; (4)已知 y=f(x),求 f-1(a),可利用 f(x)=a,从中求出 x,即是 f-1(a); (5)f-1[f(x)]=x; (6)若点 P(a,b)在 y=f(x)的图象上,又在 y=f-1(x)的图象上,则 P(b,a)在 y=f(x)的图象上; (7)证明 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,只需证得 y=f(x)反函数和 y=f(x)相同;

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