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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-1-2 弧度制


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章 三角函数

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第一章
1.1 任意角和弧度制

第一章 三角函数

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第一章
1.1.2 弧度制

第一章 三角函数

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第一章

1.1 1.1.2

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课前自主预习

第一章

1.1 1.1.2

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温故知新 1.我们已经学习了任意角的概念,所谓的角实质上是__ ________________________________;按照旋转方向不同,角 可以分为______________________.
[答案] 一条射线OA绕其端点O从起始位置OA旋转到终 止位置OB,便形成了一个角α 正角、负角、零角

第一章

1.1 1.1.2

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2.初中我们已经学习过了角度制,在角度制中,1° 角的规 定为_________________________________________________ ____________________________________________________.

[答案] 度角.

将圆周分成360等份,一份弧所对的圆心角规定为1

第一章

1.1 1.1.2

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3.795° 角是( A.第一象限角 C.第三象限角

) B.第二象限角 D.第四象限角

[答案] A

第一章

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[解析]

795° =2×360° +75° 与75° 角的终边相同,故是第

一象限的角.

第一章

1.1 1.1.2

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4.角α的终边经过点C(-1,0),则α是( A.第二象限角 B.第三象限角 C.终边落在x轴非正半轴上的角 D.既是第二象限角,又是第三象限角
[答案] C

)

[解析] C(-1,0)在x轴的非正半轴上,故选C.

第一章

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5.在集合A={α|α=120° 360° +k· ,k∈Z}中,属于区间 (-360° ,360° )的角的集合是________.

[答案]

{-240° ,120° }

第一章

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[解析]

由α=120° 360° +k· ,当k=0,k=-1时分别求得

α=120° ,α=-240° .

第一章

1.1 1.1.2

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新课引入 日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种 仪器.现在,我们普遍使用的时钟,实际上也是根据时针、分 针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪种方法,度量 一个确定的量所得到的数量必须是唯一确定的.在初中,我们 学习过利用角度来度量角的大小,那么对于角,除了角度制, 还可以用其他的方法来度量吗?

第一章

1.1 1.1.2

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自主预习 1.弧度制 (1)定义:以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制.

第一章

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(2)度量方法:长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧 ︵ 度的角.如图所示,圆O的半径为r,AB 的长等于r,∠AOB就 是1弧度的角.

第一章

1.1 1.1.2

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[破疑点]

一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半

径的比值,是唯一确定的,与半径大小无关.

第一章

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(3)记法:弧度单位用符号 rad 表示,或用“弧度”两个 字表示.在用弧度制表示角时,单位通常省略不写.

第一章

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下列表述中正确的是(

)

A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和 D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小, 它是角的一种度量单位
[答案] D

第一章

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2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个 正 数,负角的弧度数是一 个负数,零角的弧度数是 0 . 如果半径为r的圆的圆心角α l 弧度数的绝对值是|α|= r . 所对弧的长为l,那么角α的

第一章

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[知识拓展]

(1)弧长公式:l=|α|r.

1 1 2 (2)扇形面积公式:S= lr= |α|r . 2 2

第一章

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已知半径为10cm的圆上,有一条弧的长是40cm,则该弧 所对的圆心角的弧度数是________.

[答案]

4

第一章

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3.弧度制与角度制的换算

π (1)角度转化为弧度:360° 2π rad,180° π rad,1° 180 = = =

rad≈0.01745 rad. (2)弧度转化为角度: rad= 360° , rad= 180° , rad 2π π 1 =
?180? ? ?° ? π ? ≈57.30° =57° 18′.

第一章

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(3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
角 度 弧 度 角 度 弧 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 0 0° 15° 30° π 12
π 6

45°
π 4

60°
π 3

75° 90° 120° 135° 150° 5π 12
π 2 2π 3 3π 4

5π 6

π



第一章

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(4)角的概念推广后, 在弧度制下, 角的集合与实数集 R 之 间建立起 一一对应 关系: 每一个角都有唯一的一个 实数 (即这 个角的弧度数)与它对应; 反过来, 第一个实数也都有唯一的一 个 角 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应.

第一章

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(1)-300° 化为弧度是( 4π A.- 3 5π B.- 3 )

) 7π C.- 4 7π D.- 6

8π (2) 5 化为角度是( A.270°
[答案]

B.280°

C.288°

D.318°

(1)B (2)C

第一章

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[解析]

π (1)∵1° = rad 180

π 5π ∴-300° =-300×180rad=- 3 rad.故选 B. 180 (2)∵1 rad=( π )° 8π 8π 180 ∴ rad= ×( )° =288° ,故选 C. 5 5 π

第一章

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[拓展]

1.用弧度制表示象限角与轴线角

剖析:(1)象限角的表示: 角 α 终边所在象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 集合
? ? π ? ? ?x|2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? π ? ? ?x|2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ?x|2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ?x|2kπ+ π<α<2kπ+2π,k∈Z? 2 ? ? ? ?

第一章

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(2)轴线角的表示: 角 α 终边所在的坐标轴 x 轴非负半轴 x 轴非正半轴 x轴 y 轴非负半轴 y 轴非正半轴 集合 {α|α=2kπ,k∈Z} {α|α=2kπ+π,k∈Z} {α|α=kπ,k∈Z}
? ? π ? ? ?α|α=2kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? π ? ? ?α|α=2kπ- ,k∈Z? 2 ? ? ? ?

第一章

1.1 1.1.2

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角 α 终边所在的坐标轴 y轴 坐标轴

集合
? ? π ? ? ?α|α=kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? k ? ? ?α|α= π,k∈Z? 2 ? ? ? ?

第一章

1.1 1.1.2

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角的终边落在坐标轴上角的集合用角度制表示为______, 用弧度制表示为________.
kπ {α|α= 2 , k∈Z}

[答案]

{α|α=k· , 90° k∈Z}

第一章

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课堂典例讲练

第一章

1.1 1.1.2

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思路方法技巧
命题方向 1 有关“角度”与“弧度”概念的理解

正确理解弧度与角度的概念 (1)定义不同. 区别 (2)单位不同:弧度制以“弧度”为单位,角 度制以“度”为单位. (1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角 联系 的大小都是一个与圆的半径大小无关的值. (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
第一章 1.1 1.1.2

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下列命题中,正确的命题是________. 1 1 ①1° 的角是周角的 ,1 rad 的角是周角的 ; 360 2π ②1 rad 的角等于 1 度的角; ③180° 的角一定等于 π rad 的角; ④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.
[答案] ①③④

第一章

1.1 1.1.2

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[分析]

从两种度量制的定义上,把握解题角度,从弧度

制和角度制的定义出发解题. [解析] 对于④, “弧”与“弧度”是度量角的两种不同

360° 2π 单位,故④正确;对于①,因为 1° 360 ,1=2π,所以①正 = 确; 对于③,由弧度制规定知 π rad=180° ,故③正确.

第一章

1.1 1.1.2

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在半径不等的圆中,1 弧度的圆心角所对的( A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径
[答案] D

)

第一章

1.1 1.1.2

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命题方向 2

弧度制与角度制的互化
-π 3π 设 α1=-570° 2=750° 1= 5 ,β2= 3 . ,α ,β

(1)将 α1、α2 用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的 象限; (2)将 β1、β2 用角度制表示出来,并在-720° ~0° 之间找 出与它们有相同终边的所有角.

第一章

1.1 1.1.2

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角度与弧 将角进行 (1) α1,α2 ―――――→ α1,α2的弧度数 ―――――→ 度的互化 分解 分别表示为β+2kπ的 ―→ 结果 形式,其中β∈[0,2π? 将角进 弧度与角 (2) β1,β2 ――→ β1,β2的角度数 ――→ 行分解 度的互化 分别表示为β+k· 360° 讨论k ――→ 结果 的形式,其中β∈{β1,β2} 的取值

第一章

1.1 1.1.2

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[解析]

(1)∵180° rad, =π

570π 19π ∴-570° =- =- , 180 6 而-570° =-2×360° +150° , 19π 5π ∴α1=- 6 =-2×2π+ 6 , 750π 25π π α2=750° 180 = 6 =2×2π+6. = ∴α1 在第二象限,α2 在第一象限.

第一章

1.1 1.1.2

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3π 3 (2)β1= 5 =5×180° =108° ,设 θ=k· +β1(k∈Z), 360° 由-720° ≤θ<0° ,得-720° 360° ≤k· +108° , <0° ∴k=-2 或-1, ∴-720° ~0° 之间与 β1 有相同终边的角是:-612° 和- π 252° 2=- =-60° ,β , 3 设 γ=k· -60° 360° (k∈Z),则由-720° 360° ≤k· -60° , <0° 从而 k=-1 或 k=0,因此在-720° ~0° 之间与 β2 有相同终边 的另一个角为-420° .
第一章 1.1 1.1.2

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将下列各角化成 2kπ+α(k∈Z)且 0≤α<2π 的形式,并指 出它们是第几象限角 64π (1)-1725° ;(2) . 3 [分析] 先把-1725° 化成 k· +α(k∈Z)的形式,再用 360°

弧度制表示.

第一章

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[解析]

(1)∵-1725° =-5×360° +75° ,

5π ∴-1725° =-10π+12. 5π ∴-1725° 角与12角的终边相同. 5π 又∵12是第一象限角,∴-1725° 是第一象限角. 64π 4π 64π 4π (2)∵ 3 =20π+ 3 ,∴ 3 角与 3 角的终边相同. 64π ∴ 3 是第三象限角.

第一章

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命题方向 3

用弧度制表示区域角
用弧度表示顶点在原点, 始边重合于 x 轴的非负

半轴, 终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界, 如下图)

第一章

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[分析]

利用终边相同的角将区域用不等式组的形式表示.

?角的终边落在阴影 ? ? ? ? ? 切入点 —?区域的边界上 ? ? ? ?如何表示区域角? ? ? ?—用不等式来表示 区域角 ? ? 思考点 ? 的表示 ? ?区域角的边界如何表示? ?—终边相同的角的表示 ? ? ? ? 解题流程 — 1.观察阴影部分图形 → ? ? 2.确定角的始边和终边 → 3.角的集合 ?

第一章

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[解析]

π (1)如图①,以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以 6

2π OB为终边的角为- 3 +2kπ(k∈Z). ∴阴影部分内的角的集合为
? ? 2π ? π ?α?- +2kπ<α< +2kπ,k∈Z 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

第一章

1.1 1.1.2

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π (2)如图②,以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终 3 2π 边的角为 +2kπ(k∈Z);不妨设右边阴影部分所表示的集合 3 为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2,则M1=
? ? ? π ?α?2kπ<α< +2kπ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?. ? ?

? ?2π ? M2=?α? 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z ? ? ?

第一章

1.1 1.1.2

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∴阴影部分所表示的集合为:
? ? ? π ?α?2kπ<α< +2kπ, M1∪M2= 3 ? ? ? ? ? 2π 或 3 +2kπ<α<π+2kπ,k∈Z ?. ? ?

第一章

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规律总结:(1)根据已知图形写出区域角的集合的步 骤: ①仔细观察图形. ②写出区域边界作为终边时角的表示. ③用不等式表示区域范围的角. (2)注意事项:用不等式表示区域角的范围时,要注意角 的集合形式是否能够合并,这一点容易出错.

第一章

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用弧度制表示顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界),如图所示.

[分析]

将边界用弧度制表示,再从一边到另一边,保证

扫过阴影部分,两端都加上 2kπ,k∈Z.
第一章 1.1 1.1.2

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[解析]

π π (1)330° 60° 和 的终边分别对应-6和3, 所表示的区

π π 域位于-6与3之间且跨越 x 轴的正半轴,所以终边落在阴影部 π π 分的角的集合为{θ|2kπ-6<θ<2kπ+3,k∈Z}. 5π 3π (2)210° 135° 和 的终边分别对应- 和 ,所表示的区域位 6 4 5π 3π 于- 6 与 4 之间且跨越 x 轴的正半轴,所以终边落在阴影部分 5π 3π 的角的集合为{θ|2kπ- 6 <θ<2kπ+ 4 ,k∈Z}.

第一章

1.1 1.1.2

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π 7π (3)30° 6,210° 6 ,所表示的区域由两部分组成,即终 = = π 边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ<θ<2kπ+6, k∈Z}∪{θ|2kπ 7π π +π<θ<2kπ+ ,k∈Z}={θ|2kπ<θ<2kπ+ ,k∈Z}∪{θ|(2k+ 6 6 π π 1)π<θ<(2k+1)π+6,k∈Z}={θ|nπ<θ<nπ+6,n∈Z}.

第一章

1.1 1.1.2

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探索延拓创新
命题方向 4 弧长和扇形面积公式的应用

已知一扇形的周长为 40cm,当它的半径和圆心 角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

第一章

1.1 1.1.2

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[分析]

正确使用扇形弧长公式及面积公式.

第一章

1.1 1.1.2

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[解析]

设扇形的圆心角为 θ,半径为 r,弧长为 l,面积

为 S,则 l+2r=40,∴l=40-2r.(0<r<20) 1 1 ∴S= lr= ×(40-2r)r=20r-r2=-(r-10)2+100. 2 2 ∴当半径 r=10 cm 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm2, l 40-2×10 此时 θ= = =2(rad). r 10

第一章

1.1 1.1.2

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规律总结:本题主要借助于弧长和面积公式,构造出二 次函数,然后求解二次函数的最值及相关的量,并将数学问 题的解还原为实际问题的解,这是解应用类问题时的一般思 路.同时,我们还应该注意所构造出函数的定义域除使解析 式有意义外,还要考虑它的实际意义.

第一章

1.1 1.1.2

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已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120° ,半径为 6,求扇形弧 长及面积.

第一章

1.1 1.1.2

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[解析]

2π ∵α=120° ,∴α= . 3

1 2 又∵弧长l=αr,面积S=2αr 且r=6, 2π ∴l=αr= 3 ×6=4π, 1 2 1 2π S= αr = × ×36=12π. 2 2 3

第一章

1.1 1.1.2

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名师辨误作答
2kπ+α 形式错误 把角-570° 化为 2kπ+α(0≤α<2π)的形式为( 1 A.-3π-6π B.-4π+150° )

5 C.-3kπ-30° D.-4π+6π

第一章

1.1 1.1.2

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[错解]

误选A、B、C. (1)-3π不是2kπ的形式,实际上解答本类题

[错因分析]

时要时刻注意其形式为2kπ+α的形式,其中α的范围也有限 制.故A、C错. (2)同一表达式中角度与弧度不能混用,实际上这是最易 出错的位置,在做题时要时刻谨慎以防出错,故B错.
[正解] D

第一章

1.1 1.1.2

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第一章

1.1 1.1.2


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