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三角函数的化简、求值和证明基础+复习+习题+练习)


课题:三角函数的求值、化简、证明
考纲要求:
①掌握以两角和与差的正余弦公式为核心的公式组. ②理解这一些公式之间的关系;③以公式应用为基础解决三角函数的性质问题.

教材复习

①两角和与差的正余弦公式: cos ?? ? ? ? ?



sin ?? ? ? ? ?
②倍角公式及其推论:二倍角公式: cos 2? ? = =

? ?
, ; 1 ? sin ? ?

sin 2? ? 1 ? sin ? ? 1 ? cos ? ?

tan 2? ?



;1 ? cos ? ?

tan ? ? tan ? ? a sin ? ? b cos ? ? 基本知识方法 1. 寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; 2. 正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; 3. 一些常规技巧: “ 1 ”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等. 4. 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次
化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 5. 三角恒等式的证明: 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式. ①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异” 化为“同” ;②有条件的等式常用方法有:代入法、消去法、综合法、分析法等.

(三)典型分析:

问题 1. ?1? ( 2012 重庆)

cos 47? ? sin17? cos 30? 1 1 3 3 B. ? C. D. ? A. ? cos17? 2 2 2 2

学会知识技能 学会动手动脑.

225

学会生存生活,学会做人做事.

? 2 ? ( 09 届高三上海市育才中学期中)若 ? ? ? ? 0,
则 cos? ?

??

?

? 2 , ? ,且 cos(? ? ) ? ? 6 4 2?

? 3? ( 08 山东文)已知 cos ? ?? ?
?
A. ?

??

7? ? 4 3 ? ,则 sin ? ? ? ?? ? ? sin ? ? 6 ? 6? 5 ?
C. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5

? 4?

1 ? sin 8 ?

1 ? cos8 ? A. ? sin 4 B. sin 4 C. sin 4 ? 2 cos 4 D. 2 cos 4 ? sin 4 2

问题 2. ( 06 安徽)已知

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

(Ⅰ)求 tan ? 的值; (Ⅱ)求

5sin 2

?

2

? 8sin

?

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

2

cos

?

2

? 11cos 2

?
2

?8
的值

学会知识技能 学会动手动脑.

226

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问题 3:( 2013 天津)已知函数 f ( x) ? ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1 , 4? ?
? 2?

?? x ? R . (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.

问题 4:已知 ? , ? 均为锐角,且满足 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 1 , 3sin 2? ? 2sin 2? ? 0 .
求证: ? ? 2 ? ?

?
2

课后作业:
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1. ( 06 萍乡模拟) tan ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 tan ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ?6 ? ?6 ? ?6 ? ?6 ?
A.

3

B.

3 3

C. 2 3

D.

2 3 3

2. 化简:

2 tan( ? ? ) sin ( ? ? ) 4 4
2

?

2 cos 2 ? ? 1

?

?

3. 求 tan 20? ? 4sin 20? 的值.

学会知识技能 学会动手动脑.

227

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1 2sin 2? cos 2 ? 4. ( 05 全国Ⅲ文) ? ? A. tan ? ; B. tan 2? ; C. 1 ; D. 2 1 ? cos 2? cos 2?
5. ( 05 福建文)已知 ?
(Ⅱ)求

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 .(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值; 5

sin 2 x ? 2 sin 2 x 的值. 1 ? tan x

6. ( 09 届高三江西赣州市期中文)已知 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

?1? 求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 ? 2 ? 求函数 f ( x) 在 [? 12 , 2 ] 上的值
域.

? ?

走向高考:
7. ( 2013 上海)若 cos x cos y ? sin x sin y ?

1 2 , sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? 2 3

8. ( 09 辽宁文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos2 ? ?
A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

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