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2013高考试题分类汇编(理科):圆锥曲线

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 9:圆锥曲线 一、选择题 1 .引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 ? AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. )

限的公共点.若四边形 AF BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( 1
y A F1 O B F2 x



3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3


D. ? 3

2 .双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4
4 B. 5

A. 2 8 .已知双曲线

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

2 A. 5

2 5 C. 5

4 5 D. 5
3 ,在双曲线 C 的方程是( 2
D. )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交于 A, B a 2 b2


3 .已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于

两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p =( A.1 B.
3 2

C.2

D.3

A.

x y ? ?1 4 5

2

2

B.

x y ? ?1 4 5

2

2

C.

x y ? ?1 2 5

2

2

x y ? ?1 2 5


2

2

9 .椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是 4 3


4 .已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b 2
B. y ? ?

??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
A. ? , ? 2 4

A. y ? ?

1 x 4

1 x 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

x2 y2 y2 x2 5 .已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : ? ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1 的( 4 cos2 ? sin 2 ? sin ? sin ? tan 2 ?
A.实轴长相等
2

?



10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若

B.虚轴长相等
2 2

C.焦距相等

D.离心率相等 )

uuu uuu r r MAgMB ? 0 ,则 k ? (
A.



6 .抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?

y ? 1 的渐近线的距离是( 3
C. 1

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

A.

1 2

B.

3 2

D. 3

11.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( a 2 b2
B.y= ? 2x C. y ? ?



x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象 7 .如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : 4

A.y=±2x

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

12.已知抛物线

C1 :

y?

1 2 x2 x ? y2 ? 1 C 2 p ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : 3 的右焦点的连线交 1 于第


18.抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 为等边三角形,则 P ? _____________ 19 . 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C :

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 ?ABF 3 3

一象限的点 M .若

C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ? (
3 B. 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3

3 A. 16
13.已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 ,P 是 C 上 一 点 , 若 a 2 b2

PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.
20.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 的距离为________ 21. 已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x2 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC 为直角,则 a

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 a 2 b2


?
4

,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点之间

AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

的取值范围为_______. 22.抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界).若 点 P( x, y) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.

14. 设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的圆过点

(0,2) ,则 C 的方程为(
A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

) B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x 23.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准 a 2 b2

线 为 l , 短 轴 的 一 个 端 点 为 B , 设 原 点 到 直 线 BF 的 距 离 为 d1 , F 到 l 的 距 离 为 d 2 , 若

B 15 . 已 知 A、 为 平 面 内 两 定 点 , 过 该 平 面 内 动 点 M 作 直 线 AB 的 垂 线 , 垂 足 为 N . 若

uuu 2 r uuu uur r u MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是(
A.圆
2

d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为_______.
x2 y 2 24.椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直线 y ? 3( x ? c) 与 a b
椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________ 25.双曲线



B.椭圆
2

C.抛物线
2 2

D.双曲线

16.已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆 C1 , C2 上的 动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( A. 5 2 ? 4 二、填空题 B. 17 ?1 C. 6 ? 2 2 ) D. 17

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于___9_____. 4 16 m

26.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 a 2 b2
4 ,则 C 的离心率 e= ______. 5

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 17.双曲线 16 9

AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?

27.抛物线 y 2 ? 8x 的准线方程是_______________ 28. 在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ?

31.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 a 2 b2

1 ( x ? 0 )图象上一动点,若点 P,A x

4 1 P( , ) . 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为_______. 29.设 F 为抛物线 C : y ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B ,点 Q 为线段
2

AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________.
三、解答题 30.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F (?1 0) 、 F2 (1 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 2 , , B 1 (1)若 ?F B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; 1

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

Q (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 两点,且 F P ? FQ ,求直 1 1
线 l 的方程.

????

????

32.椭圆 C : x ? y ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F , F ,离心率为 1 2 2 2

2

2

a

b

3 ,过 F 且垂直于 x 轴 1 2

33.如图,已知曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1,P 是平面上一点,若存在过点 P 的直线与 2

的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F PF2 的角平分线 PM 交 C 1 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直

C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点”.
(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样 的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点”; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 1 ? 线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

1 内的点都不是“C1—C2 型点”. 2

34.如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为 (0,10) .分别将 线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结 OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂 线与 OBi 交于点 P (i ? N * ,1 ? i ? 9) . i (1)求证:点 P (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; i (2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 4 :1 ,求直 线的方程.

35.过抛物线 E : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜 率分别为 k1 , k2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)
的公共弦所在的直线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM gFN ? 2P2 ; (II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

uuu uuu r r

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

36 . 如 图 , 点 P(0,?1) 是 椭 圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 顶 点 , C1 的 长 轴 是 圆 a 2 b2

37.如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 . (1)求该椭圆的标准方程;

2 ,过左焦点 F 作 x 轴的垂线交 1 2

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 ,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2 交椭
圆 C1 于另一点 D (1)求椭圆 C1 的方程;
y l1 D O P A l2 B x

(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上 (2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 的其余点均在圆 Q 外.若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程.

38.设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

39. 已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) ? y ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆心
2 2 2 2

P 的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当 圆 P 的半径最长时,求|AB|.

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q , 并且 F1P ? FQ ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上. 1

3 x2 y 2 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 截得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

40.设椭圆

41.如图,椭圆 C: 2 +

x2 a

3 1 y2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = ,直线 l 的方程为 x =4 . 2 2 2 b

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是 经过 右焦点 F 的 任 一弦 (不 经过 点 P ),设 直线 AB 与 直线 l 相 交 于点 M , 记

uuu uuu uuu uur r r r AC· ? AD· ? 8 , 求 k 的值. DB CB

PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3. 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3. ?若存在求 ? 的值;
若不存在,说明理由.

42.已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 2

43.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 作直 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 a 2 b2

1 A, B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) C , D 为 M 上的两点,若四边形 ABCD 的对角线 CD ? AB ,求四边形 ABCD 面积的最大值.

44.如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为

45.已知 A、B、C 是椭圆 W:

2m , 2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到小依
次为 A , B , C , D .记 ? ?

x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B

M
C

O

N x

D

46.已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的 角平分线, 证明直线 l 过定点.

47.如图,抛物线 C1 : x2 ? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的 切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 (I)求 p 的值; (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程. A, B重合于O时,中点为O .

1 . 2

?

?

48. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 3, 直线 y ? 2 与 a 2 b2

49.已知抛物线 C: 2 ? 4 x 的焦点为 F . y

P (1)点 A、 满足 AP ? ?2FA .当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程;

uur u

uu r

C 的两个交点间的距离为 6 .
(I)求 a, b; ;

(2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在,求所 有满足条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

(II) 设 过 F2 的 直 线 l 与 C 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 A, B 两 点 , 且 AF ? BF , 证 1 1 明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF


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