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专题——常用逻辑用语(教师用)


专题复习:

常用逻辑用语

一【学法指导】 1.活用“定义法”解题,重视“数形结合” 涉及本单元知识点的高考题,综合性大题不多,所以在复习中不宜做过多过高的要求, 只要灵活掌握小型综合题型就可以了。 定义是一切法则和性质的基础, 是解题的基本出发点, 注意方法的选择,抽象到直观的转化. 2.有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法 数学是理性思维的学科,高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”简易逻辑用于可 以和各章融合命题,正是这一理性思维的体现,学生只有在思维能力上有所提高才能让数学 学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的,因此,在第一轮各模块的复习中应尽 量加强学生思维能力方面的培养 3.夯实基础的同时加大信息量 夯实双基是提高数学能力的必要条件, 只有对数学基础知识和数学规律、 性质有一定的 了解才谈得上思维能力的开拓,因此必须注重数学基础的学习。 同时,对于有能力的学生,加大信息量,在教材之外,适当的把一些数学思想,以及与 高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透,都有助其解决问题 二【典例精析】 1. 四种命题的关系 关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述: 第一:交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题; 第二:同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题; 第三:交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题; 例 1(2009 重庆卷文)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B )



页1 9 页 共

解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数 的平方是正数,则它是负数” 例 2(07 重庆)命题: “若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(
2



A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ,或x ? ?1
2

B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? 1 ,或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D.若 x ? 1 ,或x ? ?1 ,则 x ? 1
2

答案:D. 例 3(2005 年江苏卷)命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为__________. 答案 若 a≤b,则 2 ≤2 -1 点评: 否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论, 而否命题既否定题 设又否定结论. 2 命题真假的判断 例 4(07 北京)对于函数① f ?x ? ? lg x ? 2 ? 1 ,② f ?x ? ? ? x ? 2? ,
2
a b

?

?

③ f ?x ? ? cos?x ? 2? .判断如下三个命题的真假: 命题甲: f ?x ? 2? 是偶函数;命题乙: f ?x ?在区间?? ?,2? 上是减函数,在区间 ?2,??? 上 是增函数;命题丙: f ?x ? 2? ? f ?x ? 在 ?? ?,?? ? 上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真 的所有函数的序号是() A.①③ 答案: D 例 5(08 广东理)已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则下列命 题中为真命题的是( D ) A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q) B.①② C. ③ D. ②

【解析】 不难判断命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题, 从而上述叙述中只有 (?p) ? (?q) 为 真命题. 点评: 真假判断(真值表)可概括为: p 或 q:同假为假,一真为真; p 且 q:同真为 真,一假为假;非 p: 真假相反,真假假真 例 6(2009 江西卷文)下列命题是真命题的为



页2 9 页 共

A.若

1 1 ? ,则 x ? y x y
y

B.若 x ? 1 ,则 x ? 1
2

C.若 x ? y ,则 x ? 答案:A 解析 由

D.若 x ? y ,则 x ? y
2

2

1 1 ? 得 x ? y ,而由 x 2 ? 1 得 x ? ?1 ,由 x ? y , x , y 不一定有意义,而 x y

x ? y 得不到 x 2 ? y 2 故选 A.
(山东卷)下列四个命题中,真命题的序号有 (写出所有真命题的序号).

①将函数 y= x ? 1 的图象按向量 v=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y= x ②圆 x2+y2+4x+2y+1=0 与直线 y= ③若 sin( ? + ? )=

1 2

1 x 相交,所得弦长为 2 2 1 ,sin( ? - ? )= ,则 tan ? cot ? =5 3

④如图,已知正方体 ABCD- A1B1C1D1,P 为底面 ABCD 内一动点, P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等,则 P 点的轨迹是抛物线的一部分. 解:①错误,得到的图象对应的函数表达式应为 y=|x-2| ②错误,圆心坐标为(-2,1) ,到直线 y= ③正确,sin( ? + ? )=

4 5 1 ?半径 2,故圆与直线相离, x 的距离为 5 2

1 =sin ? cos ? +cos ? sin ? ,sin( ? - ? )=sin ? cos ? -cos ? sin ? = 2 5 1 1 ,两式相加,得 2 sin ? cos ? = ,两式相减,得 2 cos ? sin ? = ,故将上两式相除, 3 6 6

即得 tan ? cot ? =5 ④正确,点 P 到平面 AD1 的距离就是点 P 到直线 AD 的距离, 点 P 到直线 CC1 就是点 P 到点 C 的距离,由抛物线的定义 可知点 P 的轨迹是抛物线。

2.全称命题和特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由 于语言环境的不同,可有不同的表述方法,在实际应用中要灵活选择. 例 7(2009 天津卷理)命题“存在 x0 ? R, 2

x0

? 0”的否定是

页3 9 页 共

A. 不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x

B. 存在 x0 ? R, 2

x0

?0

C. 对任意的 x? R, 2 x ? 0

D. 对任意的 x ? R, 2 x >0

【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题 解析:由题否定即“不存在 x 0 ? R ,使 2
x0

,故选择 D。 ? 0”

例 8(07 宁夏)已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则( A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1
答案:C.



B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

例 9(07 山东)命题“对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( )
3 2

A.不存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

D. 对任意的 x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

答案:C.

3 充要条件的判断 处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论,然后才能进行推理和判断.不仅 要深刻理解充分、必要条件的概念,而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念.确定 条件为不充分或不必要的条件时,常用构造反例的方法来说明.等价变换是判断充分、必要 条件的重要手段之一,特别是对于否定的命题,常通过它的等价命题,即逆否命题来考查条 件与结论间的充分、 必要关系. 对于充要条件的证明题, 既要证明充分性, 又要证明必要性, 从命题角度出发,证原命题为真,逆命题也为真;求结论成立的充要条件可以从结论等价变 形(换)而得到,也可以从结论推导必要条件,再说明具有充分性.对一个命题而言,使结 论成立的充分条件可能不止一个,必要条件也可能不止一个.

例 10(2009 安徽 4)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 (A)p: a ? c >b+d , q: a >b 且 c>d



页4 9 页 共

(B)p:a>1,b>1 (C)p: x=1, (D)p:a>1,

q: f ( x) ? a ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限
x

q: x ? x
2

q: f ( x) ? log a x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

[解析]:由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d

a >b 且 c>d,可举反例。选 A

点评: 要判断 A 是 B 的什么条件,只要判断由 A 能否推出 B 和由 B 能否推出 A 即可. 例 11.(2009 山东 5) 已知α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的 一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α 内的一条直线, m ? ? ,则 ? ? ? , 反过来则不一定.所以“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件. 点评: .判断充要条件: 首先要分清谁是条件,谁是结论;然后再条件推结论,结论推条件, 最后判定。 例 12. (2009 北京 5) ? ? “

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的( 2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 3? 3 2 6 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

反之,当 cos 2? ?

或 2? ? 2k? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

分析:简易逻辑考查重点是命题的真假情况,全称量词与存在量词,充要条件。全称量词与 存在量词是新增内容,没有出现单独命题的情况,只是在大题中有体现。充要条件是近几年 的高考的重点内容,它可与三角、立体几何、解析几何,不等式等知识联系起来综合考查。 例 13(湖南文)“ x ? 1 ? 2 ”是“ x ? 3 ”的( )



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A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由 x ? 1 ? 2 得 ?1 ? x ? 3 ,所以易知选 A. 点评:不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断,大范围推出小范围.

三【专题综合】
1 开放性问题 例 1(08 全国 2) 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平行, 类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① 充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件) 答案: 两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四 边形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 2.知真假性求参数 例 2 已知 p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根,q: 4 x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.若 p 或 q 为 真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 分析:由 p 或 q 为真,知 p、q 必有其一为真,由 p 且 q 为假,知 p、q 必有一个为假,所以, “p 假且 q 真”或“p 真且 q 假”.可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件,再分类讨论. 解:p: x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根.
? ?? ? m 2 ? 4 ? 0 ?? 1 ?m?2 ? ?m?0 ?

; .

q: 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根.
? ? 2 ? 16(m ? 2) 2 ? 16 ? 0 ? 1 ? m ? 3 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 的真值相反.

(ⅰ) 当 p 真且 q 假时,有 ? (ⅱ) 当 p 假且 q 真时,有 ?

m?2 ? ?m?3; ?m ? 1或m ? 3

? m?2 ?1? m ? 2 . ?1 ? m ? 3



页6 9 页 共

综合,得 m 的取值范围是{ m 1 ? m ? 2 或 m ? 3 }. 2. 充要条件的证明 例 3 已知抛物线 C: y ? ? x ? mx ? 1 和点 A(3,0) ,B(0,3).求证:抛物线 C 与线段 AB 有两
2

个不同的交点的充要条件是 3 ? m ? 解: (1)必要性:

10 3

由已知得,线段 AB 的方程为 y=-x+3( 0 ? x ? 3 ) 由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点, 所以方程组 ?
2

?

y ? ? x 2 ? mx ? 1

? y ? ? x ? 3(0 ? x ? 3)

(*)有两个不同的实数解

消元得: x ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ( 0 ? x ? 3 ) 设 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 4 则有
2

? ? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 4 ? 0 ? f (0) ? 4 ? 0 ? ? ? f (3) ? 9 ? 3( m ? 1) ? 4 ? 0 ? m ?1 ? 0? ?3 ? ? 2
(2)充分性 当3 ? m ?

解得 3 ? m ?

10 3

10 时 3

x1 ?

m ? 1 ? (m ? 1) 2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1) 2 ? ?0 2 2

10 10 ? 1 ? ( ? 1) 2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1) 2 ? 16 3 3 x2 ? ? ?3 2 2

?方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 3 ,
方程组(*)有两组不同的实数解。 因此, 抛物线 y ? ? x ? mx ? 1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件是 3 ? m ?
2

10 3

点评: (1)证明充要条件问题时,既要证明充分性成立,又要证明必要性成立。



页7 9 页 共

本题考查线段与抛物线的位置关系, 属解析几何中的重点与充要条件知识的交汇, 也是高考 的一个重要考查内容。 在求解这类问题时, 除了直线与二次曲线相交的位置关系用判别式法 求解外, 还需要建立二次函数模型, 通过二次函数的图象与坐标交点的实根分布列出不等式 组求解 例 4.(08 江苏) 若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?
x ? p1

3 , f 2 ? x ? ? 2?

x ? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?

(Ⅰ)求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; 【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用. (Ⅰ) f ? x ? ? f1 ? x ? 恒成立 ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? 3
x ? p1

? 2? 3

x ? p2

?3

x ? p1 ? x ? p2

? 3log3 2

? x ? p1 ? x ? p2 ? log3 2 (*)
因为 x ? p1 ? x ? p2 ? ? x ? p1 ? ? ? x ? p2 ? ? p1 ? p2 所以,故只需 p1 ? p2 ? log 3 2 (*)恒成立 综上所述, f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件是: p1 ? p2 ? log 3 2

四【专题突破】

a2 ? b2 ? a?b? 1. 设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? ,则 p 是 q 成立的( B ) ? ? 2 ? 2 ?
2

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 A )

2. “a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解 : 若 “ a ? 1 ” , 则 函 数 f ( x) ?| x ? a | = | x ? 1| 在 区 间 [1,??) 上 为 增 函 数 ; 而 若

f ( x) ?| x ? a | 在 区 间 [1,??) 上 为 增 函 数 , 则 0 ≤ a ≤ 1 , 所 以 “ a ? 1 ” 是 “ 函 数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [1,??) 上为增函数”的充分不必要条件,选 A.
第 页8 9 页 共

3. 设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的 ( B ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} , M ? N ,所以若“ a ? M ”推 不出“ a ? N ”;若“ a ? N ”,则“ a ? M ”,所以“ a ? M ”是“ a ? N ”的必要而 不充分条件,选 B 4、 (07 江西)设 p:f(x)=e +In x+2x +mx+l 在(0,+∞)内单调递增,q:m≥-5,则 p 是 q 的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
x 2

5、 (07 湖北)已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条 件, q 是 s 的必要条件。现有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是 必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是充分条件;④ ?p是?s 的必要条件而不是充分条件; ⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是(B) ④ C.②③⑤ D. ②④⑤ D A.①④⑤ B.①②

6.(07 山东)下列各小题中, p 是 q 的充分必要条件的是
2

① p : m ? ?2,或m ? 6;q : y ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点 ② p:

f ?? x ? ? 1;q : y ? f ?x ? 是偶函数 f ?x ?

③ p : cos? ? cos ?;q : tan? ? tan ?

④ p : A ? B ? A;q : CU B ? CU A A.①② B.②③ C.③④ D. ①④

7.(福建卷) "tan ? ? 1" 是 "? ? (A)充分不必要条件 (C)充要条件 解:若 "tan ? ? 1" ,则 ? ? k? ? ∴ "tan ? ? 1" 是 "? ?

?
4

"的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?
4

,α 不一定等于

?
4

? ? ;而若 "? ? " 则 tanα=1, 4 4

" 的必要不充分条件,选 B.



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