当前位置:首页 >> 高考 >>

2015江苏高考数学试题详细解析


2015江苏高考数学试题详细解析(无图)
一.填空题: (70 分) 1. 已知集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2, 4,5? ,则集合 A U B 中元素个数为_____5______。 因为 A U B ? ?1 , 2, 3, 4, 5? ,所以 A U B 中元素个数为 5 个。 2. 已知一组数据 4, 6,5,8, 7, 6 ,那么这组数据的平均数是__6________。 因为 x ?

1 (4+6+5+8+7+6) =6 ,所以平均数为 6. 6
2

3. 设复数 z 满足 z ? 3 ? 4i , (i 是虚数单位) ,则 z 的模是___ 5 ______。

?a 2 ? b2 ? 3 设 z ? a ? bi , 则 (a ? b ) ? 2abi ? 3 ? 4i , 由 ? 解得 ? 2ab ? 4
2 2

?a ? ?2 ,故 ? ? b ? ?1

z ? a 2 ? b2 ? 5
4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为______7__________。

S1 ? 1, I1 ? 1,? S2 ? 3 , I 2 ? 4?S3 ? 5I ,3 ? 7? S4 ? 7I, 9? 4 ? 输出
5 _________。 6

S ?7

5. 袋中有大小形状都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中随机摸出 2 只球,这 2 只球颜色不同的概率为_______

2 5 C2 1 任取 2 只球颜色相同的概率为 P ? ,则 P异 = 。 同= 2 6 C4 6

6. 已知向量 a ? (2,1), b ? (1, ?2) ,若 ma ? nb ? (9, ?8), (m ,n? R ) ,则 m ? n 的值为 _____ ?3 _____。 因为 ?

r

r

r

r

? 2m ? n ? 9 ?m ? 2 ? m ? n ? ?3 ,所以 ? ?m ? 2n ? ?8 ?n ?5
x2 ? x

7. 不等式 2

? 4 的解集为__ x ? (?1, 2) _____________。
2

x 由于 f ( x) ? 2 单调递增,所以原不等式等价于 x ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2

8. 已知 tan ? ? ?2 , tan(? ? ? ) ?

1 ,则 tan ? 的值为_________3_________。 7 1 ?2 t a n? ( ? ? ?) t a ?n 7 tan ?? ? ? 3 1? t a n ?(? ? ) t a ? n 1 ? 1 ? (? 2 ) 7

9. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为 4 的圆锥和底面半径为 2,高为 8 的圆柱各一个,

若将它们制作成总体积和高均保持不变,但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个,则新 的底面半径为______ 7 ______________。 设底面半径为 r ,则有

25? ? 4 ? r2 ? 4 ? 4? ? 8 ? ? ? r 2 ? 8 ,解得 r ? 7 3 3

10. 在平面直角坐标系 xoy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 (m ? R) 相 切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为____ ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 _____________。

r?

m ? 2m ? 1 1 ? m2

2 (m ? 1) 2 ? 1? ? 2 ,所以所求的圆标准方程为: ,即 r ? 2 1 m ?1 ?m m 2

( x ?1)2 ? y 2 ? 2
11. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1,则数列 ?
n ?1 i ?2

?1? 20 _____。 ? 的前 10 项和为____ 11 ? an ?
n ?1

an?1 ? an ? n ? 1 ? an ?1 ? a1 ? ? i ?
? a n?

(n ? 1)(n ? 2) ? 1 ,所以 a 2

?

(n ? 1)(n ? 2) 2

10 n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 20 。故 ? ? 2 ? (1 ? ? ? ? ..... ? ? )? 2 2 2 3 10 11 11 i ?1 ai

12. 在平面直角坐标系 xoy 中,P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个动点,若 P 到直线
2 2

x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则 c 的最大值为___

2 __________。 2

由 于 直线 y ? x ? 1 的 斜 率与 双曲线 的 渐近 线 y ? x 相 同, 所以右 支 上的 点到 直线

y ? x ? 1 的距离恒大于直线 y ? x ? 1 到渐近线 y ? x 的距离 ?

2 2 。即 cmax ? 。 2 2

13. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ? 数为_____4__________。

? ?

0, 0 ? x ? 1

2 ? ? x ? 4 ? 2, x ? 1

,则方程 f ( x) ? g ( x) ? 1的实根个

? 0, 0 ? x ? 1 ?? ln x, 0 ? x ? 1 ? , g ( x) ? ?2 ? x 2 ,1 ? x ? 2 由 f ( x) ? ? ? ln x, x ? 1 ? x 2 ? 6, x ? 2 ?

得到:

f ( x? )

g ( x)

? ? ln x, 0 ? x ? 1 ? ? ?ln x ? x 2 ? 2,1 ? x ? 2 ,由于: ? ln x ? x 2 ? 6, x ? 2 ?
x ? (0,1] 时, f ( x) ? g ( x) 单调递减,且取值范围在 [0, ??) ,故在该区域有 1 根; x ? (1, 2] 时, f ( x) ? g ( x) 单调递减,且取值范围在 [ln 2 ? 2,1) ,故该区域有 1 根;
x ? (2, ??) 时, f ( x) ? g ( x) 单调递增,且取值范围在 (ln 2 ? 2, ??) ,故该区域有 2 根。
综上, f ( x) ? g ( x) ? 1的实根个数为 4。 14. 设 向 量 ak ? (cos

u u r

k? k? k? ,sin ? cos ) 6 6 6

11 u u r uuu r (k ? 0,1, 2....12) , 则 ? (ak gak ?1 ) 的 值 为 k ?0

________ 9 3 ____。

r r k? (k ? 1? ) k? k? a k ga k ?1 ? c o s cos ? ( s i n? cos 6 6 6 6 ? (2k ? 1)? k? (k ? 1)? ? cos ? sin ? cos cos 6 6 6 6 ? (2k ? 1)? 1 (2k ? 1)? ? ? cos ? sin ? (cos ? cos ) 6 6 2 6 6
?

k (? ? 1) )(sin ? 6

k? ( ?1 ) cos 6

)

3 ? (2k ? 1)? 1 (2k ? 1)? 3 ? 5 (2k ? 1)? cos ? sin ? cos ? cos ? sin[ ? ? ] ,可见 2 6 6 2 6 2 6 2 6

以上函数的周期为 6,所以

? (a ga
k ?0 k

11

u u r uuu r
k ?1

3 3 ?9 3 。 ) ? 12 ? ? 2 2

二.解答题: (90 分) 15.在 V ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 3 , A ? 60? 。 (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值。 解: (1) AB ? c ? 2, AC ? b ? 3, A ? 60? ,所以 a ? BC ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

? 9 ? 4 ? 12 ?

1 ? 7. 2
2? 3 2 ? 21 ,又因为 c ? a ,所以 C ? A , 7 7

c sin A ? (2)根据正弦定理, sin C ? a

故 C 为锐角,所以 cos C ?

2 7 。所以: 7 21 2 7 4 3 ? ? 7 7 7

sin 2C ? 2sin C cos C ? 2 ?

16. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 已知 AC ? BC ,BC ? CC1 。 设 AB1 的中点为 D,

B1C I BC1 ? E 。求证:
(1) DE / / 平面AACC 1 1, (2) BC1 ? AB1 。 证明: (1)因为 D 为 AB1 中点,E 为 CB1 中点,所以 DE / / AC ,又 AC ? 平面AAC 1 1C ,

DE ? 平面AAC 1 1C ,所以 DE / / 平面AAC 1 1C 。
(2)直三棱柱中 BC ? CC1 ? 四边形BCC1B1 为正方形 ? BC1 ? B1C ,又知道

? ? AC ? CC1 ? C ,所以 ? ? AC ? 平面BB1C1C ,而 BC1 ? 平面BBC 1 1 BC , CC1 ? 平面BB1C1C ? AC ? 平面BB1C1C ? ? ? ? BC1 ? AC ? ? ? BC1 ? 平面AB1C AC , B1C ? 平面AB1C ? BC1 ? 平面AB1C ? ? BC1 ? B1C

AC ? BC

AC ? BC1









AB1 ? 平面AB1C ,所以 BC1 ? AB1 。证毕。
17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路。记两条相互垂直的公路为 l1 , l2 ,山区边界为 曲线 C,计划修建的公路为 l ,如图所示。 M , N 为 C 的两个端点,测得 M 到 l1 , l2 的距 离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1 , l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l1 , l2 所在 的直线分别为 x, y 轴,建立平面直角坐标系 xoy ,假设曲线 C 符合函数 y ? 中 a , b 为常数)模型。 (1)求 a , b 的值,

a (其 x ?b
2

(2)设公路 l 与与曲线 C 相切于 P 点,P 点的横坐标为 t, ①请写出公路 l 的长度的函数关系式 f (t ) ,并写出其定义域, ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度。 解 :( 1 ) y ?

a N0 ) , , 而 M( 5 , 4 x ?b
2

(在2 曲 0 ,线2 上 . 5 ,) 所 以 有

a ? 40 ? ? ?a ? 1000 ? 25 ? b ?? ,故 a ? 1000, b ? 0 。 ? a b ? 0 ? ?2.5 ? ? 400 ? b ?
(2)① y ?

1000 1000 2000 ,则 P (t , 2 ) ,又 y 'P ? ? 3 ,所以直线 l 的方程为: 2 x t t
2000 1000 9 ?106 9t 2 ( x ? t ) ? ,故公路的长度 ,其中 f ( t ) ? ? t3 t2 t4 4

y??

t ?[5, 20] 。

9 ?106 9k 2 ? 9 ?106 9 ? , k ? [25, 400] ,令 g '(k ) ? ? ? ? 0 ,得 ②设 g (k ) ? k2 4 k3 4
k ? 200 ,当 k ? [25,200] 时, g '(k ) ? 0 ;当 k ?[200,400] 时, g '( x) ? 0 。
所以 k ? 200 时 g (k )min ? g (200) ? 675 。 所以当 t ? 10 2 时,公路长度最短,最短长度为 15 3 千米。

18.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3。 (1)求椭圆的标准方程,

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

(2)过 F 的直线分别交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线交直线 l 和 AB 于点

P, C ,若 PC ? 2 AB ,求直线 AB 的方程。
解: (1) e ?

a2 c 2 ? 3 ,解得: a ? 2, c ? 1, b ? 1 ,所以椭圆的标准方程 ? ,又 c ? c a 2

x2 ? y 2 ? 1。 为: 2
(2)设 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 C (

x1 ? x2 y1 ? y2 , )。 2 2

其中 x1, x2 满足方程 x2 ? 2k 2 ( x ?1)2 ? 2 ? 0 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。 故 x1 ? x2 ?

1 4k 2 2k 2 ? 2 2k 2 ?k , x x ? C ( , ) 。而 k PC ? ? ,所以 ,即 1 2 2 2 2 2 k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2 k

1 2k 2 k 2 ? 5k 2 PC 方程为: y ? ? ( x ? ) ? 。故 。 P ? ? 2, P ? x y k 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k (1 ? 2k 2 )
根据题意, PC ? 4 AB
2 2

PC 2 ? (2 ?

1 ? k 2 2 ? 6k 2 2 2k 2 2 2 ? 5k 2 k 2 ? ( ) , ) ? [ ? ] k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k (1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k 2

AB2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ] ? (1 ? k 2 )

8(1 ? k 2 ) (1 ? 2k 2 )2

2 (1 ? k 2 ) (2 ? 6k 2 )2 2 2 32(1 ? k ) 所以 ,得到 k ? 1 ,所以 k ? ?1 。 ? (1 ? k ) 2 2 2 2 2 k (1 ? 2k ) (1 ? 2k )

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 或者 y ? ? x ? 1 。 19.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b (a, b ? R) , (1)试讨论 f ( x ) 的单调性, (2)若 b ? c ?a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x ) 有 3 个不同的零点时, a 的 取值范围恰好是 (??, ?3) U (1, ) U ( , ??) ,求 c 的值。
2 解: (1)令 f '( x) ? 3x ? 2ax ? 0 得到 x ? 0, x ? ?

3 2

3 2

2a , 3

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在定义域内单调递增; ②当 a ? 0 时, x ? ( ??, 0) U (?

2a 2a , ?? )时 f '( x) ? 0, f ( x) ? , x ? (0, ? ) 时, 3 3

f '(x ) ? 0, f ( x) ? ;
③当 a ? 0 时, x ? (??, ?

2a 2a ) U (0, ??) 时 f '( x) ? 0, f ( x) ? , x ? (? , 0) 时, 3 3

f '( x) ? 0 , f ( x) ? 。
(2) f ( x) ? 0 有 3 个不同的实根,显然 a ? 0 时不符。下面讨论 a ? 0 的情况:

? b?0 ? f (0) ? 0 ? 4a 3 ? 27 a ? 27c ? 0 ? ? 3 当 a ? 0 时,应有 ? ,即 (a) ? ? 2a ? 4a c?a f (? ) ? 0 ? ?b ? 0 ? ? 3 ? ? 27 2a ? 4a 3 ? ? 4a 3 ? 27 a ? 27c ? 0 ?b ? 0 ? f (? ) ? 0 ? 当 a ? 0 时,应有 ? ,即 ? (b) ? ? 27 3 c?a ? ? ? ? f (0) ? 0 ? b?0
对 于 ( a ): a 的 取 值 范 围 应 在 a ? ?

3 内 , 根 据 题 意 , 有 2

4(?3)3 ? 27(?3) ? 27c ? 0 ? c ? 1 ? a ,符合题意;
对于 (b ) :4 ? ( ) ? 27 ?
3

3 2

3 ? 27c ? 0 ? c ? 1 ,而 a ? 1 时,c ? a , 故c ?1, 所以 c ? 1 2

符合题意。 综上,符合题意的 c ? 1 。

20.设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列, (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列;
2 3 4 (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 依次构成等比数列?并说明理由; , a3 , a4 n n? k n?2k n ?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列?并说 , a2 , a3 , a4
a a a a

明理由。 (1)证明:设 a1 ? x ? 3d , a2 ? x ? d , a3 ? x ? d , a4 ? x ? 3d ,因为: 因为 (2 2 )2 ? 22 x?2 d , 2 1 g2
a
a a3

? 2( x ?3d ? x ? d ) ? 2(2 x ?2 d ) ,所以

2a1 , 2a2 , 2a3 依次构成等比数列。
a 因为 (2 3 )2 ? 2(2 x?2 d ) , 2 2 g2
a a4

? 2( x ?d ? x ?3d ) ? 2(2 x ? 2 d ) ,所以

2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列。
所以 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列。
2 3 4 (2)假设 a1 , a2 依次构成等比数列,那么应该有: , a3 , a4 2 2 3 3 (a2 ) ? a1 ? a3 ? (a2 ? d )(a2 ? d )3 ? d (2a2 ? 2a2d 2 ? d 3 ) ? 0 ,因为
a a a a

d ? 0, 所以 d 3 ? 2a2 d 2 ? 2a23 ? 0 ………(a), 考察(a)的解, f '(d ) ? d (3d ? 4a2 )
故d ? ?

4a2 4a 22 3 a2 ? 0 ,所以符合(a)的解 为 f ( d ) 的极大值,而 f (? 2 ) ? ? 3 3 27

d ? 0。
3 2 2 4 3 2 又 (a3 , (因为数列各项为正数) 。所以 ) ? a2 ? a4 ? a3 ? a2 ? a4

2 (a2 ? d )3 ? a2 (a2 ? 2d )2 ? d 2 ? a2d ? a2 ? 0 ,解得 d ?

1? 5 a2 , (d ? 0) 。 2

所以 d ?

1? 5 1? 5 (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 0 ,这与(a)矛盾。所以不存在这样的 2 1? 5

2 3 4 依次构成等比数列。 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 n n? k n?2k n ?3k (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列,那么: , a2 , a3 , a4
n?2k n?k n ?3k a3 a2 a4 ,而 ? ? n?k n?2k a1n a2 a3

q?

(

a a a2 n k a k ) a2 ? ( 3 )n? k a3 ? ( 2 )n ? ( 3 )n? 2k …………(a) a1 a2 a1 a2 a3 n? k k a a a k ) a3 ? ( 4 )n ? 2k a4 ? ( 3 )n ?k ? ( 4 )n ?3k …….(b) a2 a3 a2 a3
(a1 ? a3 ) 2 , ( an ? 0 且各项不等) 4

(

2 n?2 k n?2k n 2k 由于 a2 ,而 a1a3 ? ? a1n a3 ? (a1n a3 )a3

a1 ? a3 2 n 2 k 2n 2k 2k 2k ) a3 ? a2 ga3 ,所以 a2 ? a3 ? a2 ? a3 ? d ? 0 。 2 a a d d 1 1 2x ?1 令 2 ? 1? 则 3 ? 1? , 同理, ? 1 ? x ,( x ? 0) , ? 1? ? 1? ? a1 1 a1 a1 a2 a2 x ? 1 1? 1? x d a4 d 1 1 3x ? 1 。代入(a),(b)得: ? 1? ? 1? ? 1? ? a1 1 2x ?1 a3 a3 2? 2? x d
所以 a2 ga2 ? (
2n 2k

2 x ? 1 n?2k ? n (1 ? x ) ? ( ) ...........(c) ? ? x ?1 ,等式两边取对数变形得: ? 2 x ? 1 3 x ? 1 n ? k n ? 3 k ?( ) ?( ) ...........(d ) ? 2x ?1 ? x ?1

2x ?1 ? n ln( x ? 1) ? (n ? 2k ) ln( )...........(e) ? ? x ?1 ? ?(n ? k) ln( 2 x ? 1) ? ( n ? 3k ) ln( 3 x ? 1)...........(f) ? x ?1 2x ?1 ?
由(e) (f)得到新函数:

f ( x) ? 3ln( x ? 1) ln(2 x ? 1) ? ln(2 x ? 1) ln(3x ? 1) ? 4ln( x ? 1) ln(3x ? 1) ,求导得到:

f '( x) ?

2[?3( x ? 1)2 ln( x ? 1) ? 3(2 x ? 1)2 ln(2 x ? 1) ? (3x ? 1) 2 ln(3x ? 1)] ,令 g ( x) ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)

? ?3( x ? 1)2 ln( x ? 1) ? 3(2x ? 1)2 ln(2 x ? 1) ? (3x ?1)2 ln(3x ?1) ,求二阶导数得:
g ''( x) ? 6[4ln(2 x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 3ln(3x ? 1)] ,令 h( x) ? 4ln(2 x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 3ln(3x ? 1) ,则 h '( x) ?

?2 ?0, ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)

而 g ''(0) ? g '(0) ? g (0) ? 0 ,故 f ( x ) 单调递减,又 f (0) ? 0 ,所以 f ( x ) 除了 x ? 0 外无零点,而这与题目条件不符。
n n? k n?2k n ?3k 所以:不存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列。 , a2 , a3 , a4


赞助商链接
相关文章:
2015江苏高考数学试题详细解析
2015江苏高考数学试题详细解析 - 2015江苏高考数学试题详细解析(无图) 一.填空题: (70 分) 1. 已知集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2, 4,5? ,则集合 A...
2015年江苏高考数学真题及答案(精校版)_图文
2015江苏高考数学真题及答案(精校版)_高考_高中教育_教育专区。2015江苏高考数学真题及答案(江苏考试院版精校版),2015江苏高考数学真题及答案(精校版江苏考试...
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 分) (2015?江苏)已知集合 A={1,2,3...
2015年江苏省高考数学试卷解析
2015江苏省高考数学试卷解析 - 2015江苏省高考数学试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 分) (2015?江苏)已知集合...
2015江苏高考数学卷(word解析版)
2015江苏高考数学卷(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2015江苏高考数学 ...事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题-第 20 题,...
2015年江苏高考数学卷分析(总体分析)_图文
2015年江苏高考数学卷分析(总体分析)_高考_高中教育_教育专区。2015江苏高考数学试卷分析 2015 年高考数学(江苏卷)试题分析 一、考试形式及试卷结构(一)考试形式...
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015江苏省高考数学试卷答案与解析 - 2015江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1. (5 ...
2015年江苏高考数学试题及答案
2015江苏高考数学试题及答案_高考_高中教育_教育专区。2015江苏高考数学试题及答案解析 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学试题及答案 一、填空...
2015年江苏高考数学卷分析
2015江苏高考数学分析 - 这是对于2015江苏省高考数学的一份详细分析解读,其中还略微涉及了2016届及17届的备考方案。
2015年江苏高考数学试题及答案完整版.doc_图文
2015江苏高考数学试题及答案完整版.doc - http://www.233.com/gaokao/ 江苏 一、填空题 1.已知集合 A ? ?1 ,, 2 3? , B ? ?2,, 4...
更多相关标签: