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高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节双曲线学案理北师大版(数学教案)

第七节 双曲线 [考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景, 了解双曲线在刻画现实世界和解决 实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程, 知道其简单的几何性质(范 围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用. (对应学生用书第 144 页) [基础知识填充] 1.双曲线的定义 (1)平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点 的集合叫作双曲线.这两个定点 F1,F2 叫作双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫作 双曲线的焦距. (2)集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c, 其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. ①当 2a<|F1F2|时,M 点的轨迹是双曲线; ②当 2a=|F1F2|时,M 点的轨迹是两条射线; ③当 2a>|F1F2|时,M 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 图形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a 或 x≤-a,y∈R y≤-a 或 y≥a,x∈R 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b c e= ,e∈(1,+∞) a 线段 A1A2 叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 实虚轴 叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫作双曲线的实 半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长 1 a、b、c 的关系 [知识拓展] 1.三种常见双曲线方程的设法 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) (1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程为 Ax +By =1(AB<0). (2)当已知双曲线的渐近线方程 bx±ay=0, 求双曲线方程时, 可设双曲线方程为 b x -a y =λ (λ ≠0). (3)与双曲线 2- 2=1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ ≠0). 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 y=±x,离心率为 e = 2. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲 线.( ) 2 2 2 2 2 2 x2 y2 a b x2 y2 a b (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( x2 y2 m n ) (3)双曲线 2- 2=λ (m>0, n>0, λ ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0, 即 ± =0.( (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(教材改编)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 B. 6 2 C. 5 2 D.1 ) x2 y2 m n x2 y2 m n x y m n ) x2 y2 ) c a2+3 2 2 D [依题意,e= = =2,所以 a +3=2a,则 a =1,a=1.] a a 3.若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3, 9 16 则|PF2|等于( A.11 B B.9 ) C.5 D.3 x2 y2 [由题意知 a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义||PF1|-|PF2||=|3-|PF2|| =2a=6,∴|PF2|=9.] x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2 5,且双曲线的一条渐近线与直线 2x+y a b 2 =0 垂直,则双曲线的方程为( A. -y =1 4 3x 3y C. - =1 20 5 2 2 ) B.x - =1 4 3x 3y D. - =1 5 20 2 2 2 x2 2 y2 A b 1 ? a ? =2, [由题意可得? a +b =5, ? ?a>0,b>0, 2 2 解得 a=2,则 b=1,所以双曲线的方程为 x2 4 -y =1,故选 A.] 2 2 2 x y 3 5.(2017·全国卷Ⅲ)双曲线 2- =1(a>0)的一条渐近线方程为 y= x,则 a=________. a 9 5 5 [∵双曲线的标准方程为 2- =1(a>0), a 9 x2 y2 3 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x. a 3 又双曲线的一条渐近线方程为 y= x,∴a=5.] 5 (对应学生用书第 145 页) 双曲线的定义及应用 4 (1)已知双曲线 x - =1 的两个焦点为 F1,F2,P 为双曲线右支上一点.若|PF1|= 24 3 2 y2 |PF2|,则△F1PF2 的面积为( A.48 C.12 ) B.24 D.6 (2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线 - =1 的左焦点为 F,点 P 是双曲线右支上 4 12 的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是( A.8 C.10 (1)B (2)B B.9 D.12 [(1)由双曲线的定义可得 ) x 2 y2 1 |PF1|-|PF2|= |PF2|=2a=2, 3 3 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10, 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形, 1 因此 S = |PF1|·|PF2|=24. △PF1F2 2 (2)由题意知,双曲线 - =1 的左焦点 F 的坐标为(-4,0), 设双曲线的右焦点为 4 12 x2 y2

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