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3.3-4简单的线性规划问题教案


简单的线性规划问题 第四课时 (1)教学目标 (a)知识和技能:能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题 (b)过程与方法:将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个 难点,若要突破这个难点,教师在讲授中要根据学生的认知情况,引导学生建立数学模型; 同时,要给学生正确的示范,利用精确的图形并结合推理计算求解 (c)情感与价值:培养学生学数学、用数学的意识,并进一步提高解决问题的的能力 (2)教学重点、教学难点 教学重点:把实际问题转化成线性规划问题,即建立数学模型,并相应给出正确的解答 教学难点:建立数学模型,并利用图解法找最优解 (3)学法与教学用具 学生在建立数学模型中, 应主要分清已知条件中, 哪些属于约束条件, 哪些与目标函数有关, 列出正确的不等式组。可采用分组讨论,各组竞争,自主总结,部分同学示范画图等方式, 让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律,并在交流中找到自己的思维漏洞 直角板、投影仪 (4)教学设想

1、 设置情境
前面我们已经学习了线性规划问题的有关概念和解法,现在让我们一起来复习一下

2、 新课讲授
例 1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的 蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 的食物 A 含有 0.105kg 的碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂 肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多 少 kg? 食物(kg) A B 碳水化合物(kg) 0.105 0.105 蛋白质(kg) 0.07 0.14 脂肪(kg) 0.14 0.07

分析:①先将数据整理列表, 请学生回答总成本与 A、 B 食物的含量之间的关系, 进一步确立 变量和目标函数 ②分析约束条件, 请学生回答总成本与 A、B 食物的含量变化而变化,这两者的含量 是否任意变化,受什么因素制约?列出约束条件 ③图解法求解 ④老师引导,学生分组讨论后,交流心得,总结出解线性规划应用题的一般步骤 例 2、在上一节例 3 中,若根据有关部门的规定,初中每人每年可收取 1600 元,高中每人 每年可收取学费 2700 元。那么开设初中班和高中班各多少个,每年收取的学费总额最多? 解:设开设初中班 x 个,高中班 y 个,收取的学费总额为 z 万元。 此时,目标函数为 z ? 0.16 ? 45x ? 0.27 ? 40 y , 画出可行域。把 z ? 7.2x ? 10.8 y 变

2 5 2 5 x ? z ,得到斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 z ,随 z 变化的一组平行 3 54 3 54 5 z 最大, 直线。由此观察出,当直线 z ? 7.2x ? 10.8 y 经过可行域上的点 M 时,截距为 54
形为 y ? ?
1

即 z 最大。 解方程组

? x ? y ? 30, ? ?x ? 2 y ? 40

得 M 的坐标为

x ? 20, y ? 10, 所以,z max ? 7.2x ? 10.8 y ? 252
由此可知,开设 20 个初中班和 10 个高中班,收取的学费最多,为 252 万元。 例 3、在上一节例 4 中,若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 10000 元;生产 1 车皮乙种 肥料,产生的利润为 5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的 利润? 解:设生产甲种肥料 x 车皮、乙种肥料 y 车皮,能够产生利润 z 万元。目标函数为

z ? x ? 0.5 y , 画出可行域。
把 z ? x ? 0.5 y 变形为 y ? ?2x ? 2z ,得到斜率为 ?2 ,在 y 轴上的截距为 2 z ,随 z 变化的一组平行直线。 由此观察出, 当直线 y ? ?2x ? 2z 经过可行域上的点 M 时, 截距 2 z 为最大,即 z 最大。 解方程组 ?

?18x ? 15 y ? 66, ? 4x ? y ? 10

得 M 的坐标为

x ? 2, y ? 2, 所以,z max ? x ? 0.5 y ? 3
由此可知,生产甲、乙两种肥料各 2 车皮,能够产生最大的利润,最大利润为 3 万元。 小结: 这两道例题在前面的内容中已经研究过约束条件以及相应的图象, 于是在复习原有知 识的基础上再列出目标函数,利用直线平移法求出最大(最小)截距,进而求解

3、 课堂练习
课本第 2 题

4、归纳总结
解线性规划应用题的一般步骤:设出所求的未知数;列出约束条件;建立目标函数;作出可 行域;运用平移法求出最优解。 (5)评价设计 1、课本第 3、4 题

2、某家具厂有方木材 90 m ,五合板 600 m ,准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每张书 桌需要方木材 0.1 m 、五合板 2 m ,生产每个书橱需要方木料 0.2 m 、五合板 1 m ,出售 一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元,如果只安排生产书桌,可获利润多少? 如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使得利润最大? 答:24000 元,54000 元,56000 元
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2 2 2 2

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