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高中数学高考一轮复习:《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计

《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计
这是高三一轮复习,内容是必修 5 第一章解三角形。本章 内容准备复习两课时。 本节课是第一课时。 标要求本章的中心内 容是如何解三角形, 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具, 最 后应落实在解三角形的应用上。 通过本节学习, 学生应当达到以 教材分析 下学习目标:(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理解三角形.(2)能够运用正弦定理、余 弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。 本章内容与三角函 数、向量联系密切。 作为复习课一方面将本章知识作一个梳理, 另一方面通过整 理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。 学生通过必修 5 的学习,对正弦定理、余弦定理的内容已 学情分析 经了解, 但对于如何灵活运用定理解决实际问题, 怎样合理选择 定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题, 学生还需通过 复习提点有待进一步理解和掌握。 知识目标: (1)学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握 正弦、余弦定理的内容及其证明方法;会运用正、余弦定理与三 角形内角和定理,面积公式解斜三角形的两类基本问题。 (2)学生学会分析问题,合理选用定理解决三角形综合问 题。 能力目标: 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力, 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力, 培养 学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
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教学目标

情感目标: 通过生活实例探究回顾三角函数、 正余弦定理, 体现数学来 源于生活,并应用于生活,激发学生学习数学的兴趣,并体会数 学的应用价值,在教学过程中激发学生的探索精神。 教学方法 探究式教学、讲练结合 1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择; 2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 1、重视多种教学方法有效整合; 2、重视提出问题、解决问题策略的指导。 3、重视加强前后知识的密切联系。 4、重视加强数学实践能力的培养。 5、注意避免过于繁琐的形式化训练 6、教学过程体现“实践→认识→实践”。

重点难点

教学策略

设计意图:
学生通过必修 5 的学习,对正弦定理、余弦定理的内容已经了解,但对于如 何灵活运用定理解决实际问题, 怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三 角形综合问题, 学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方 面要将本章知识作一个梳理,另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题, 合理选用并熟练运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实 际应用问题。 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分,有利于学生加深数 学知识的理解和掌握。虽然是复习课,但我们不能一味的讲题,在教学中应体现 以下教学思想: ⑴ 重视教学各环节的合理安排:
设 疑 探 究 拓 展 实 践

循环此流程

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在生活实践中提出问题, 再引导学生带着问题对新知进行探究,然后引导学 生回顾旧知识与方法,引出课题。激发学生继续学习新知的欲望,使学生的知识 结构呈一个螺旋上升的状态,符合学生的认知规律。 ⑵重视多种教学方法有效整合,以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等 多种方法贯穿整个教学过程。 ⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。 ⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究,必须增加足够的预备 知识,做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选,把对学生后继学 习中有需要的知识选择出来,在新知识介绍之前进行复习。 ⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有 不少高度技巧化、 形式化的问题,我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问 题的出现。

二、实施教学过程 (一) 创设情境、揭示提出课题
引例:要测量南北两岸 A、B 两个建筑物之间的距离,在南岸选取相距 A 点

3 km 的 C 点,并通过经纬仪测的 ?BCA ? 45 , ?BAC ? 75 ,你能计算出 A、
? ?

创设情 境,提出 实际应用 问题,揭

B 之间的距离吗?若人在南岸要测量对岸 B、 D 两个建筑物之间的距离, 该如何进 行?
D B

示课题

C

A

(二) 复习回顾、知识梳理
1. 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R( R为外接圆半径 ) sin A sin B sin C

正弦定理的变形: (1) a : b : c ? sin A;sinB:sinC
3

(2) a ? 2R sin A ; b ? 2R sin B ; c ? 2R sin C 学生在探 利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; 究问题时 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其 他的边和角) 发现是解 2.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA; 三角形问 b2=c2+a2-2cacosB; c2=a2+b2-2abcosC. 题,通过 问答将知 识作一梳 理。

cosA=

b2 ? c2 ? a2 ; 2 bc a ?c ?b ; 2ac
2 2 2

cosB=

a2 ? c2 ? b2 cosC=. 2ac
利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 3.三角形面积公式:

(三) 自主检测、知识巩固
? , a ? 10 , c ? 10 3, 则C ? ______ ; 1. ?ABC 中,A ? 30

2. ?ABC中,a : b : c ? 5: 7: 8 , 则B ? _____ ; 3. ?ABC中, sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin B sinC, 则A ? ______ (四) 典例导航、知识拓展
【例 1】 △ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 如果 a2=b (b+c) , 求证:A=2B. 剖析:研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边. 证明:用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入 a2=b(b+c)中, 得 sin2A=sinB(sinB+sinC) sin2A-sin2B=sinBsinC 因为 A、 B、 C 为三角形的三内角, 所以 sin (A+B) ≠0.所以 sin (A-B) =sinB. 所以只能有 A-B=B,即 A=2B.
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评述:利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三 角公式变换求解. 思考讨论:该题若用余弦定理如何解决? 【例 2】已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边, (1) 若△ABC 的面积为,c=2,A=600,求边 a,b 的值; (2) 若 a=ccosB,且 b=csinA,试判断△ABC 的形状。

(五) 变式训练、归纳整理
【例 3】已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边,若 bcosC=(2a-c)cosB (1) 求角 B (2) 设,求 a+c 的值。 剖析:同样知道三角形中边角关系,利用正余弦定理边化角或角化边,从 而解决问题,此题所变化的是与向量相结合,利用向量的模与数量积反映 三角形的边角关系,把本质看清了,问题与例 2 类似解决。 此题分析后由学生自己作答,利用实物投影集体评价,再做归纳整理。 (解答略) 课时小结(由学生归纳总结,教师补充) 1. 2. 3. 4. 5. 解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系 常用正弦定理 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:①化边为角;②化角为 边.并常用正余弦定理实施边角转化。 用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用 向量的模求三角形的边长。 应用问题可利用图形将题意理解清楚,然后用数学模型解决问题。 正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合,综合运用解决实际问 学生通过 题。 课前预热 1.2.3.的 快速作 答,对正 余弦定理

课后作业: 材料三级跳

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的基本运 用有了一 定的回顾

学生探讨

知识的关 联与拓展

正余弦定 理与三角 形内角和 定理,面 积公式的 综合运用

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对学生来 说也是难 点,尤其 是根据条 件判断三 角形形 状。此处 列举例 2 让学生进 一步体会 如何选择 定理进行 边角互 化。

本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦和余弦定理的基 础上而设置的复习内容, 因此本课的教学有较多的处理办法。从解三角形的问题 出发, 对学过的知识进行分类, 采用的例题是精心准备的, 讲解也是至关重要的。 一开始的复习回顾学生能够很好的回答正弦定理和余弦定理的基本内容, 但对于 两个定理的变形公式不知, 也就是说对于公式的应用不熟练。设计中的自主检测 帮助学生回顾记忆公式, 对学生更有针对性的进行了训练。 学生还是出现了问题, 在遇到第一个正弦方程时,是只有一组解还是有两组解,这是难点。例 1、例 2 是常规题,让学生应用数学知识求解问题,可用正弦定理,也可用余弦定理,帮 助学生巩固正弦定理、余弦定理知识。

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本节课授课对象为高三的学生, 上课氛围非常活跃。 考虑到这是一节复习课, 学生已经知道了定理的内容,没有经历知识的发生与推导,所以兴趣不够,较沉 闷。奥苏贝尔指出,影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,我们应当根 据学生原有的知识状况去进行教学。因而,在教学中,教师了解学生的真实的思 维活动是一切教学工作的实际出发点。教师应当"接受"和"理解"学生的真实思 想,尽管它可能是错误的或幼稚的,但却具有一定的"内在的"合理性,教师不应 简单否定, 而应努力去理解这些思想的产生与性质等等,只有真正理解了学生思 维的发生发展过程, 才能有的放矢地采取适当的教学措施以便帮助学生不断改进 并最终实现自己的目标。 由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入,有些学 生往往以一种观赏者的身份参与其中,主动探究意识不强,思维水平没有达到足 够的提升。这些都是不足之处,比较遗憾。但相信随着课改实验的深入,这种状 况会逐步改善。毕竟轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地,是合作交流、探索 创新的主阵地, 是思想教育的好场所。所以新课标下的课堂将会是学生和教师共 同成长的舞台!

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