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(高三复习)三角函数式的求值、化简与证明(3)求值(修改后) 罗


南昌八中 罗贤佐

1、同角三角函数的基本关系:
2 2

sin ? sin α ? cos α ? 1 tan ? ? cos ?

tan ? cot ? ? 1

2、诱导公式:
可概括为:奇变偶不变,符号看象限。

3、两角和与差的三角函数: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 tan ? tan ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ?

sin ? sin ?

4、二倍角公式:

sin 2? ? 2sin ? ? cos ?
2 2

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ?

5、变形公式 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ); 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 2 sin ? ? ; cos ? ? . 2 2 6、辅助角公式
a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ), a b 其中 cos ? ? , sin ? ? . 2 2 2 2 a ?b a ?b

三角函数的求值问题类型
主要有三种类型,即给角求值、 给值求值、给值求角。

(一) 给角求值
? 如果所给角是特殊角,可以利用诱导公式 化简求值; ? 一般所给角都是非特殊角,从表面上看无 从下手,但通过仔细观察,特殊角和非特 殊角总有一定的关系,解题时,利用观察 得到的关系,结合正确地选用三角函数公 式,以便把非特殊角的三角函数相约或相 消,从而转化为特殊角的三角函数而得解。

典例分析
例1. 求
tan 20? ? tan 40?+ 3 tan 20? tan 40?

的值.

解析:本题注意两个方面,一是角的关系即 二是公式 20? ? 40? ? 60?
tan ? ? tan ? tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?

的变形应用.

解:原式? tan(20? ? 40?) (1 ? tan 20? tan 40?)

+ 3 tan 20? tan 40? ?

3

练习:求tan15°tan25°+tan25°tan50° +tan50°tan15°的值; 1

例2 求值:

cos20? cos40? cos60? cos80?

解析:注意角的倍半关系,考虑到倍角公式

通过添加项,灵活处理.

sin 2 ? sin2α=2sinαcosα 即 cos ? ? 2sin ?

1 2sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 解法一: 原式= 2 2sin 20?

2sin 40? cos40? cos80? 2sin 80? cos80? sin160? 1 ? ? ? 4 ? 4 3 4 2 sin 20? 2 sin 20? 2 sin 20? 2

解法二:利用换元思想,构造对偶式,从而求解 令

x ? cos20? cos40? cos60? cos80? y ? sin 20? sin 40? sin 60? sin80?

两式两边相乘并都乘以

2

4 xy

? sin 40? sin80? sin120? sin160? ? sin 40? sin80? sin 60? sin 20?
?y

2

4

得:

所以

1 x? 4 2

小结: (1).一般地,形如
2 n ?1

cos ? cos 2? cos 2 ? ??? cos 2 ? (n ? N ? ) 的求值问题,
可以通过乘以
2n sin ? 2n sin ?

后,分子连续使用倍角

公式化简,这样便可产生连续反应,从而求值. (2).方法二的技巧性较强,它对于解决此类 问题,以及形如
2? n? cos cos ? ? ? cos 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
2? 3? 4? 5? cos cos cos cos cos 11 11 11 11 11

?

的求值妙不可言!你想体会一下其中的快乐吗?
那就试试吧!求值:
?

1 5 2

例3.求 cos40°+cos60°+cos80°+cosl60°的值 解析:将问题转化成为 20°角的三角函数问题 . 1 解:原式= cos ? 60? ? 20? ? ? ? cos ? 60? ? 20? ? ? cos ?180? ? 20? ? 2 1 3 1 1 3 ? ? cos 20? ? sin 20 ? ? cos 20? ? sin 20? ? cos 20? 2 2 2 2 2 1 ? 2 小结:(1).求非特殊角的三角函数值,关键是 找出已知角和某个特殊角的转化关系,或者挖 掘出它们与同一个角的关系,通过相消或相约 而求解.

(2).小试一下吧!求下列各式的值:
1. tan6°· tan42°· tan66°· tan78°

1 (点拨:利用公式 tan ? tan(60? ? ? ) tan(60? ? ? ) ? tan3?
通过添加项求解。)

2.

2 cos10? ? sin 20? cos 20?

3

(点拨:利用 10° =30°-20°减少不同的角,化异为同)

(二 )

给值求值

给值求值的关键是找出已知式与欲求式 之间的差异(它包括角的差异,运算及函数的 差异).一般可以适当变换已知式,求得另外函 数式的值,以备应用;同时也要注意变换欲求 式,便于将已知式求得的函数值代入,从而求 解.对于角的差异,要注意”配角”思想的应 用,常常在进行角的变换时,要注意各角之 间的和、差、倍、半及互补、互余关系.

典例分析

3? ? ? 解析:注意到 ( ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? ) 欲求 4 4 2 sin(? ? ? ) 即求 ? cos(? ? ? ? ? ) 这只需求出
3? cos( ? ? ) 和 sin( ? ? ? ) 的值.因此,“整体 4 4

? 3 3? ? cos( ? ? ) ? 例4.已知 4 ? ? ? 4 0 ? ? ? 4 4 5 3? 5 sin( ? ? ) ? 求 sin(? ? ? ) 的值. 4 13
?

2

代换”思想方法是解本题的合理选择.

? 3? ? 解: 因为 ? ? ? ,0 ? ? ? 4 4 4 所以 ? ? ? ? ? ? ? 0, 3? ? 3? ? ? ? ? 2 4 4 4 ? 4 3? 12 sin( ? ? ) ? ? ,cos( ? ? ) ? ? 4 5 4 13 3? ? ? sin(? ? ? ) ? ? cos[ ? (? ? ? )] ? ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 2 3? ? 3? ? ? ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 ? ? ? ? (? ) ? 13 5 13 5 65

例5.在 ?ABC

? 2 解法一:因为 sin A ? cos A ? 2 cos( A ? ) ? 4 2 ? 1 所以 cos( A ? ) ? 又 0? A?? 4 2 ? ? 7? A?

解析:注意隐含条件 0 ? A ? ?

2 中, 求 sin A ? cos A ? 2

tan A

的值.

所以 A ?

解法二: 因为

4

?

3 即

12 2 sin A ? cos A ? 2

所以 tan A ? ?2 ? 3 …① 又 0? A??
2? 6 4

两边平方并化简得

…② 所以 2? 6 , cos A ? 由① 、②得 sin A ? 4 所以 tan A ? ?2 ? 3

6 sin A ? cos A ? 2

1 2sin A cos A ? ? 2

小结:本例解法二中,是关于 sin ?

sin ? ? cos ? 和 sin ? cos ?

? cos ?
的知一求二

的运算问题.要注意角的取值范围及三角函 数式的符号,这是本题中求值的关键.

下面请看微课:如何缩小角的范围 其中包含了:例题1:给值求值 例题2:给值求角

下面请看微课:如何缩小角的范围 其中包含了:例题1:给值求值 例题2:给值求角

给值求值
例6.若α、β是锐角,且sinα-sinβ=cosα-cosβ=
1 ,求tan(α-β). 2

1 <0 2

3 [剖析]本题将两式平方相加不难得到cos(? ? ? ) ? 4 但本题关键在于? ? ?的范围分析,由于?、? 是 1 锐角, 所以 ? ? ? ? ? ? , 但还应注意sin? ? sin? ? ? ? 0, 2 2 2 ? sin? ? sin? , ? ? ? . 从而 ?

?

?

?

2 sin ?? ? ? ? ? 0的值.

? ? ? ? ? 0, 故由cos ?? ? ? ?的值只能得到

三 给值求角
给值求角关键是遵循以下两个重要步骤缺一不可
⑴根据题设条件,求出角的某一个三角函数值. 比如,若所求角是第一、二象限角,可求余弦 值或正切值;若所求角是第一、四象限角,可 求正弦值或正切值等等以此类推。

⑵讨论角的取值范围,必要时,还需根据已 知三角函数值缩小角的取值范围,从而确定 角的大小.

1 例7.已知α,β∈(0,π),且tan(αβ)= , 2 1 <0 tanβ= - ,求2αβ的值. 7 解法一:因为:2αβ=α+(αβ) ,而α =(? ? ? ) ? ?
tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? , 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 3 <1 tan(? ? ? ) ? tan ? ? 1. 1 ? tan(? ? ? ) tan ?

tan(2? ? ? ) ? tan[? ? (? ? ? )] ?

解法二:因为:α =(? ? ? ) ? ?, tan(? ? ? ) ? tan ? 1 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? >0 , 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 3 2 tan ? 3 >0 tan 2? - tan ? tan 2α? ? ,故 tan(2? ? ? ) ? ? 1. 2 1 ? tan ? 4 1+ tan 2? tan ?

22

1 .利用已知的范围求所求角的范围。
2.利用函数值的符号缩小角的范围。 3.利用特殊角的函数值缩小角的范围。

23

1 1 tan ? ? 练习. 已知 ? , ? ? (0, 2 ) tan ? ? 3 7 求 ? ? 2? 的值。 解析:由已知先求出所求角的正切值,再进 一步讨论和缩小所求角的取值范围。
tan ? ? tan 2? ?1 所以 tan(? ? 2? ) ? 1 ? tan ? tan 2?
1 2 tan ? 3 tan ? ? ? 所以 tan 2? ? 解:因为 2 3 1 ? tan ? 4
? ? ? ? , ? ? ? 0, ? ? ? 4?

?

又? tan( ? ? 2? ) ? 1, 注意:本题易出现如下错误 点评:本例正确求解的关键是缩小角的取值范围, 3? ? ?,? 为锐角, ? 0 ? ? ? 2? ? . ?? ? 2? ? ? 或 5? . 再根据函数值,从而获得唯一正解。

tan ? , tan ? ? (0,1) 所以 ? 3? ? 故 ? ? 2? ? ? 0, ? 所以 ? ? 2? ? ? 4 ?
因为
2

4

4

4

小结:
求值问题基本类型与方法:
⑴给角求值:一般所给的角都是非特殊角,解题 时应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系,通 常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法 进行求解。 ⑵给值求值:即给出某些角的三角函数(式)的 值,求另外的一些角的三角函数值,解题关键在 于:变角,使其角相同。 ⑶给值求角:关键也是:变角,把所求的角用含 已知角的式子表示,由所求得的函数值结合该函 数的单调区间求得角。 技巧:缩小角的范围

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南昌八中

罗贤佐

5 3 作业 1.在△ ABC 中, sinA= , cosB= ,求 cosC 的值. 13 5 1 …② 1 作业2. 已知 cos ? ? cos ? ? …①, s in? ? sin ? ? 3 2

cos(? +? )的值. 求 cos(? ? ? )、
2 ? 2 ?

作业3.

求sin 20 ? cos 50?? sin20 cos50?的值。

5 10 sin ? = , sin ? = ,求? +?的度数。 作业4. 已知?、? 都是锐角, 5 10

寄语
同学们,数学是有趣的,又是有意义的,学好 数学的方法很多,但有一点:多做些习题是提 高数学成绩的有效途径,最后就用华罗庚的一 句名言作为结束语吧!

学数学不做题,如入宝山而空返。

谢谢大家再见!

5 3 例 4.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,求 cosC 的值. 13 5
5 12 ,0?<A<180?,∴cosA= ? , 13 13 3 4 ∵cosB= ,0?<B<180?,∴sinB= , 5 5
【错解】∵sinA= ∵cosC=cos[180?–(A+B)]=–cos(A+B)=–cosAcosB+sinAsinB, ∴当 cosA=

12 12 3 5 4 16 时,cosC=– × + × =– ; 13 13 5 13 5 65 12 12 3 5 4 56 当 cosA=– 时,cosC= × + × = . 13 13 5 13 5 65

5 3 例 4.在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,求 cosC 的值. 13 5

5 1 12 【正解】∵sinA= < ,0?<A<180?,∴A<30?或 A>150?,∴cosA= ? , 2 13 13
∵cosB=

3 3 4 < ,0?<B<180?,∴30?<B<90?,∴sinB= , 2 5 5

12 当 A>150?时,A+B>180?,∴A<30?,∴cosA= . 13
∴cosC=cos[180?–(A+B)]=–cos(A+B)

=–cosAcosB+sinAsinB=–

12 3 5 4 16 × + × =– . 13 5 13 5 65

α,β都是锐角, sinα =

, sinβ =

,求 a+β的度数 .

由题设条件 .有 , cos β = .

α<90°,0° <β <90°, α +β <180°, +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = = · >0. ·

=45° . 如果改用两角和的正弦公式,则 +β )=sinα cosβ +cosα sinβ = = · , ·

又 0° <α +β <180°,得 α +β =45°或α +β =135° . < , sinβ = < ,

α <30°, 0° <β <30° . <α +β <60°, =45° . 中,由 0° <α +β <180°,难以确定α +β的度数是 45°还是 135°,所以需要判断α +β更确切的范围,这在解答三角题目时是经常出现的问题,应引起我们的足够重

1 1 解 sin? ? sin? ? ? , cos? ? cos? ? , 2 2 1 两式平方相加得 : 2 ? 2cos? cos? ? 2sin? sin? ? , 2 1 3 即2 ? 2cos(? ? ? ) ? ,? cos(? ? ? ) ? . ?、? 是锐角, 2 4 1 ? ? 且sin? ? sin? ? ? ? 0,? 0 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? 0. 2 2 2 7 2 ? sin(? ? ? ) ? ? 1 ? cos (? ? ? ) ? ? , 4 sin(? ? ? ) 7 ? tan(? ? ? ) ? ?? . cos (? ? ? ) 3

1 因为α,β ∈(0,π),又0<tanα= <1, 3 π π 所以0<α< ,故0<2α< 4 2 1 π π 因为tanβ= - <0 ,所以 <β<π, π< β< 7 2 2 3π 所以 π<2αβ<0,所以2αβ= . 4
点评:

1 π 如仅根据0<tanα= 和α∈(0,π)得0<α< ,即0<2α<π, 3 2 1 π π π 又tanβ= - <0,所以 <β<π, -π< β< - 得 -π<2αβ< , 7 2 2 2 那么在此范围内使得tan? 2αβ ? =1的角有两个: 3π π 和 .就确定不了是哪个角! 4 4

解法二:因为:α =(? ? ? ) ? ?, tan(? ? ? ) ? tan ? 1 tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? , 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 3 2 tan ? 3 tan 2? - tan ? tan 2α? ? ,故 tan(2? ? ? ) ? ? 1. 2 1 ? tan ? 4 1+ tan 2? tan ?

1 π 因α,β ∈(0,π), tan ? ? ? 0得0<α< , 0<2α<? 3 2 3 π 又 tan 2α? ? 0又将2α缩小为0<2α< 4 2 1 π ? 同理tanβ= - <0,得 <β<π, -? <-β<7 2 2

故-?<2αβ<0 ,又 tan(2? ? ? )=1 ? 0 3? 得2αβ =4


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