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§2.1.1 指数指数幂的运算(第1课时)


《§2.1.1 指数指数幂的运算》(第 1 课时)

一、课标要求:
1.掌握根式的概念和性质,并能熟练应用于相关计算中 2.培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力;
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二、教学重难点: 重点:根式的概念性质 难点:根式的概念 三、设计思路:
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指数函数是基本初等函数之一, 应用非常广泛 它是在本章学习完函数概念和两个基本 性质之后较为系统地研究的第一个初等函数 为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展,初中代数中学习了正整数指 数、零指数和负整数指数的概念和运算性质 本节在此基础上学习的运算性质 为下一节学 习分数指数幂概念和性质做准备
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四、教学过程:
一、复习提问: 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? 归纳: 在初中的时候我们已经知道: 若x ? a, 则 x 叫做 a 的平方根.同理, 若x ?a, 则 x 叫做 a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方 根为 ?2 ,负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8 的立方根为―2;零的平方 根、立方根均为零. 二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次方根的概念.
2 3

n 次方根:一般地,若 x n ? a ,则 x 叫做 a 的 n 次方根(throot) ,其中 n >1,且 n
∈N ,当 n 为偶数时, a 的 n 次方根中,正数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示, n a


叫做根式.n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示,其中 n 称为根指数,a 为被开方数. 类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇 数时呢?

? ?n为奇数, a为正数:? ? ?n为偶数, ? ?n为奇数, a为负数:? ? ?n为偶数,

a的n次方根有一个,为n a a的n次方根有两个,为 ? n a
a的n次方根只有一个,为n a a的n次方根不存在.

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 举例:16 的次方根为 ?2 , ?27的5次方根为5 ?27 等等,而 ?27 的 4 次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数, 还要分清 n 为奇数和偶数两种情况.

根据 n 次方根的意义,可得:

( n a )n ? a ( n a )n ? a 肯定成立, n an 表示 a 的 n 次方根,等式 n an ? a 一定成立吗?如果不
一定成立,那么 n an 等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, n an ? a
n

n 为偶数,
3 如 3 (?3) ? 3

n

?a, a ? 0 a n ?| a |? ? ??a, a ? 0

?27 ? ?3, 4 (?8) 4 ?| ?8 |? 8

小结:当 n 为偶数时, n an 化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样 就避免出现错误: 例题:求下列各式的值 (1) (1)
3

( ?8)3

(2)

( ?10) 2

(3)

4

(3 ? ? ) 4

(4)

( a ? b) 2

分析:当 n 为偶数时,应先写 n a n ?| a | ,然后再去绝对值. 思考: a n ? ( n a )n 是否成立,举例说明. 课堂练习:1. 求出下列各式的值
n

(1) 7 (?2) 7

(2) 3 (3a ? 3)3 ( a ? 1)

(3) (3a ? 3) 4
4

2.若 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 1, 求a的取值范围 . 3.计算 3 (?8) ? 4 (3 ? 2) ? 3 (2 ? 3)
3 4 3

三.归纳小结: 1.根式的概念:若 n>1 且 n ? N ,则 x是a的n次方根,n为奇数时,x= n a ,
*

n 为偶数时, x ? ? n a ;
2.掌握两个公式: n为奇数时,( n a ) , n为偶数时, a ?| a |? ?
n n n

?a (a ? 0) ??a (a ? 0)

四.作业:P65 习题 2.1 五、例、习题选

A组 第1题

A
一、选择题 1.在下列各根式中, a 可以取任意实数的是 A C
2n



a ?n ? N ? ?

B D

2 n?1

1 ? a ?n ? N ? ?
2

4 a2

? a?

2.下列各式中,正确的是 A C

?

?4

?

2

? ?4

B D

?

3

?4
3

?

3

? ?4
3

?? 4?

2

? ?4

?? 4?

? ?4 ?4

3.若 a <0 ,则化简 a ? A 1 ? 2a 二、填空题
n

a2 ?
B

a2 的结果为 a
C

1 ? 2a

3a

D a

4.如果 x ? a ( n >1 且 n ? N ) ,那么 x 叫做 a 的_______________. 5.当 n 是____________数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数;当 n 是_______数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为_______数,负数没有________方根. 6.

? a?
n

n

? _________

n

a n ? ________

n

0 ? ________

三、解答题 7.求下列方程的实根: (1) x ? 1
3

(2) x ? ?1
3

(3) x ? a
3

(4) x ? 1 ? 1

8 写出下列等式成立的 x 的取值范围:
3 (1) ? ?

?

1 ? 1 ?? ? ? x?3? x?3
3.A 4.n 次方根 当 n 为偶数时, a

(2)

?x ? 5??x 2 ? 25? ? ?5 ? x ?

x?5

参考答案:
1.B 2.B 6. a , a 7 5.奇 偶 相反 偶次 当 n 为奇数时,0,
1 3

?1?x ? 1?2?x ? ?1?3?x ? a ?4?x1
B 组

? 0, x2 ? ?2

,

8. ?1? {x x ? 3}?2? {x ? 5 ? x ? 5}

一、选择题 1.若 x ? 0, 则 A.0

x ? x2 ?
B. 2-2x

x +1 等于( ) x
C. 2 ? 2x D. ?2x

2.若 x ? A.

1 4 则 1 ? 6 x ? 9 x 2 的结果是( 3,

) C. 1 ? 3x C. D.以上答案均不对 D. 2? ? 5

3x ? 1
3

B. ? 3x ? 1
4

3.若 a ? 3 ?3 ? ? ? , b ? 4 ?2 ? ? ? , 则 a ? b 的结果是( ) A.1 二、填空题 4. y ? B. 5

?1

3x ? 4 ? 4 ? 3x ? 4 ? __________
1? a b? 2 ab ? ??a ? 0, b ? 0?, 则 ? ? __________ _ ? ? 2? b a? x ? x2 ? 1

5.已知 x ?

6. 3 a 6 ? a ? __________ _________ 三、解答题 7.已知 x ? 0, y ? 0, x 8.
3

?

x ? y ?3 y

?

?

x ?5 y 求

?

2 x ? xy ? 3 y x ? xy ? y

的值 求 证





ax3 ? by3 ? cz 3 , x ?1 ? y ?1 ? z ?1 ? 1

ax 2 ? by 2 ? cz 2 ? 3 a ? 3 b ? 3 c

参考答案:
1.D 得x? 2.C 3.A 4 . 4 5. 2b(a ? b),2a?a ? b? 6. ? ? a

7.由 x ? 0, y ? 0, x

?

x ? y ?3 y

?

?

x ?5 y

?

xy ? 3 xy ? 15y

即 x ? 2 xy ? 15y ? 0, 故原式 ?

?

x ?5 y

??

x ? 3 y ? 0, x ? 5 y

?

50 y ? 5 y ? 3 y ?2 25y ? 5 y ? y

8.令 ax3 ? by3 ? cz 3 ? k 则 a ? kx ?3 , b ? ky ?3 , c ? kz ?3 , 3 a ? 3 k x ?1 , 3 b ? 3 k y ?1 , 3 c ? 3 k z ?1 于是左边

? 3 kx ?1 ? ky ?1 ? kz ?1 ? 3 k ,右边 ? 3 k x ?1 ? 3 k y ?1 ? 3 k z ?1 ? 3 k ,所以等式成立


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