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浙江省慈溪中学2013届高三第一次月考考试数学理试题


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??

浙江省慈溪中学 2013 届高三第一次月考考试 数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1、复数 z 满足 iz ? A. 1
? ? 2、已知向量 a ,b

2 1? i

,则复数 z 的虚部是 ( B. ? 1 C.

) D. ? i 夹角的余弦值为( D. ?
3 2

满足

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a ,b



A.

1 2

B. ?

1 2

C.
?8

3 2

3、已知数列 ? a n ? 是等差数列, a 3 A. S 3 4、已知双曲线 A.
5
x a
2 2

, a4

? 4 ,则前 n

项和 S n 中最大的是(

) D. S 6

B. S 4 或 S 5
? y b
2 2

C. S 5 或 S 6 的渐近线方程为 y C.
5

? 1 ? a ? 0 ,b ? 0 ?

? ?2 x

,则其离心率为( D.
5



B.

5 2



3



5 2

5、某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 l 本,则 不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 6、某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个 圆弧,则该几何体的体积为( A. 6 ? 3? B. 2 ? 3? ) cm 2
3 2

C. 6 ?

?

D. 2 ?

3 2

?

7、若 p : ( x 2 ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ? 2 ,则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( B. ? x
? ?

8、函数 f ( x ) ? lg(sin 2 x ? cos 2 x ) 的定义域 A. ? x
? ? 2k? ? 3? 4
k? ?

)
?
4
k? ?

? x ? 2k? ?

?

? ,k ? Z ? 4 ?

2k? ?

? x ? 2k? ?

5?

? ,k ? Z ? 4 ?

C. ? x ?
?

?
4

? x ? k? ?

?
4

? ,k ? Z ? ?

D. ? x ?
?

?
4

? x ? k? ?

3? 4

? ,k ? Z ? ?

?2x ? y ≥ 2 ? 9、已知 x ,y 满足 ? x ? y ≤ 2 ? ? y ≥ a ? x ? 1?

,且 z

? x? y

能取到最小值,则实数 a 的取值范围是( C. ? 1 ≤
a? 2



A. a

? ?1

B. a ≥ 2

10、设非空集合 S ? ? x m ? x ? n ? 满足:当 x ? S 时,有 x 2 ? S ,给出如下三个命题:

?

??
③若 n ?
1 2 , 则?

①若 m ? 1, 则 S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确命题的是( A.① B.①② )

1 2

,则

1 4

? n ? 1;

2 2

? m ? 0.

C.②③

D.①②③

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。把答案填在答题卡相应位置
a ? ? 11、 已知 a ? 0 ,二项式 ? x ? ? 展开式中常数项为 1120 , 则此展开式中各项系数的和等 x? ?
8





12、如图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(? x ? ? )( x ? R , ? ? 0) 图象的 最高点, M 、 N 是图象与 x 轴的交点,若 P M ? P N ? 0 ,则
?=
???? ???? ?

.

13、如图所示程序图运行的结果是



14、一个盒子里装有 4 张卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个盒子里则 装有分别标有 3,4,5,6 四个数的 4 张卡片. 从两个盒子里各任取一张 卡片.则取出的两张卡片上的数不同的概率为 15、若直线 2 ax ? by ? 2 ? 0 ( a ? 0 , b ? 0 )被圆
x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,则
2 2

1 a

?

3 b

的最小值为

16、数列{ a n }中, a 1 = a 2 =1, a n + 2 = a n + 1 + a n ,它的通项公式为 a n =
1 ?? 1+ 5 ? ? ?? ? ? 2 5 ?? ? ?
n

?1? 5 ? ? ? ? ,根据上述结论,可以知道不超过实数 ?? ? ? 2 ? ? ? ?
n

1 ? 1+ 5 ? ? ? ? ? 2 5 ? ?

12

的最大整

数为 17、在棱长为 1 的正方体 A BC D ? A1 B1C 1 D1 中,若点 P 是棱上一点,则满足 P A ? P C 1 ? 2 的点 P 的个数为 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 18、本题满分 14 分 ) ( 在锐角 ? A B C 中, 已知内角 A、 C 所对的边分别为 a、 c, B、 b、 且满足 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B。 (1)求 B 的大小; B 2

?

??

(2)如果 b ? 2 ,求 ? A B C 的面积 S ? A B C 的最大值.

19、 (本题满分 14 分 )如图,在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,所有的棱长都为 2, ? A1 A C ? 60 ? . (1)求证: A1 B ? A C ; (2)当三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的体积最大时, 求平面 A1 B1C 与平面 A B C 所成的锐角的余弦值.
A B
C

A1 B1

C1

20、 (本题满分 14 分 )已知函数 F ( x ) ? (1)求 F (
1 2010 )? F( 2 2010 )?? ? F(

3x ? 2 2x ?1

,(x ?

1 2

).

2009 2010

) 的值;

(2)已知数列 { a n }满 足 a1 ? 2, a n ? 1 ? F ( a n ) ,求证数列 ? (3)已知 b n ?
2n ? 1 2
n

?

? ? 是等差数列; ? an ? 1 ? 1

,求数列 { a n b n } 的前 n 项和 S n .

21、 (本题满分 15 分 )已知椭圆 C :
F (0,? 3 )

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

经过点 (

1 2

,

3)

,一个焦点是



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 与 y 轴的两个交点为 A1 、 A 2 ,点 P 在直线 y ? a 2 上,直线 PA 1 、 PA 2 分别与椭 圆 C 交于 M 、 N 两点.试问:当点 P 在直线 y ? a 2 上运动时,直线 MN 是否恒经过定点 Q ?证明 你的结论.

22(本题满分15分 )已知函数 f ? x ? ? (1)求函数 g ? x ? ? (2)若 ? x
f

ln x



? x ? 1 ? ? x 的最大值;
?x? ?
f

? 0 ,不等式 f

ax ? x ? 1 恒成立,求实数 a
2

的取值范围;

(3)若 x1

? x2 ? 0

,求证:

? x1 ? ?

f

? x2 ?

x1 ? x 2

?

2 x2 x1 ? x 2
2 2



?

??

浙江省慈溪中学 2013 届高三第一次月考考试
数学(理)答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.)
11 1 12
?
4

13

10

14

13 16

15

4?2 3

16、

144

17、

6

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18 、 (1) 解 : 2sinB(2cos2 B - 1) = - 3 cos2B?2sinBcosB = - 3 cos2B 2 ? tan2B = - 3

2π π ……4 分 ∵0<2B<π,∴2B= ,∴B= ……6 分 3 3 (2)由 tan2B=- 3 π ? B= 3

∵b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ……10 ∵△ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4 ……14

∴△ABC 的面积最大值为 3

?

??

19、

另解:当三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的体积最大时,点 A1 到平面 A B C 的距离最大,此时 A1 O ? 平面 A B C .以

O B , O C , O A1 所 在 的 直 线 分 别 为 x , y , z

轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 得

O (0, 0, 0), A (0, ? 1, 0), B ( 3 , 0, 0), C (0,1, 0), A1 (0, 0, 3 ), C 1 (0, 2, 3 ) . ??? ? ???? ? ? 由 A B ? A1 B1 得 B1 ( 3 ,1, 3 ) ,设平面 A1 B1C 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ? ???? ???? ? ???? ? ? ? n ? A1 C ? 0 ? y ? 3 z ? 0 ? ,? 而 A1 B1 ? ( 3 ,1, 0), A1C ? (0,1, 3 ) ,则 ? ? ????? ,取 n ? ( ? 1, ? n ? A1 B 1 ? 0 ? 3 x ? y ? 0 ? ? ???? 而 A1 O ? 平面 A B C ,则平面 A B C 的一个法向量为 O A1 ? (0, 0, 3 ) ? ???? ? ???? n ? O A1 3 5 ? 于是 c o s ? n , O A1 ? ? ? ????? ? , 5 5? 3 n ? O A1
故平面 A1 B1C 与平面 A B C 所成锐角的余弦值为

3 ,1)

5 5



(1)因为 F ? x ? ? F ? 1 ? x ? ?
1 2010

3x ? 2 2x ?1
2 2010

?

3 ?1 ? x ? ? 2 2 ?1 ? x ? ? 1
2009 2010 1 2010

? 3

------------------------------2分 .

所以设 S= F ( S= F (

)? F(

)?? ? F(

) …………(1)

2009 2010

)? F(

2008 2010

)?? ? F(

)

………(2) .

(1)+(2)得:
2S ? {F ( 1 2010 )? F( 2009 2010 )} ? { F ( 2 2010 )? F( 2008 2010 )} ? ? { F ( 2009 2010 )? F( 1 2010 )}

= 3 ? 2009 ? 6027 ,

所以 S=

6027 2

. ------------------------------5 分

?

??
?1 ? an ? 1 2an ? 1

(2)由 a n ? 1 ? F ? a n ? 两边同减去 1,得 a n ? 1 ? 1 ?
2 ? an ? 1? ? 1 an ? 1

3an ? 2 2an ? 1

-----7分 .

所以

1 a n ?1 ? 1

?

2an ? 1 an ? 1

?

? 2?

1 an ? 1

,

所以

1 a n ?1 ? 1

?

? 1 ? 1 ? 2 ,? ? 1 为首项的等差数列. 10分 ? 是以 2 为公差以 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?
1 ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2 n ? 1 ? an ? 1 ?
n 2
n ?1

(3)因为

1 an ? 1

1 2n ? 1

?

2n 2n ? 1 .

因为 b n ?
Sn =
1 2 1 2
0

2n ? 1 2 2 2
1

n

,所以 a n b n ?
? ??? ? 2 3 2
3

-------------------12分 (3) (4)

? 1 2
1

? 2

3 2
2

n
n ?1

Sn=

?

2

2

?

? ??? ?

n 2
n

由(3)-(4)得
1 2 Sn= 1 2
0

?

1 2
1

?

1 2
2

?

1 2
3

? ??? ? 2

1
n ?1

?

n 2
n

=2 ?
2

1
n ?1

?

n 2
n

所以 S n = 4 ?

2? n 2
n ?1

-----------------------------14分

21、I)方法 1:椭圆的一个焦点是 F ? ( 0 , 3 ) ,

(II)当点 P 在 y 轴上时, M 、 N 分别与 A1 、 A 2 重合, 若直线 MN 通过定点 Q ,则 Q 必在 y 轴上,设 Q ( 0 , m ) ,………………(6 分) 当点 P 不在 y 轴上时,设 P (t , 4 ) , A1 ( 0 , 2 ) 、 A 2 ( 0 , ? 2 ) , M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) 直线 PA 1 方程 y
y ? 2 t x ? 2
? 2 t x ? 2

, PA 2 方程 y
? 1 得 (1 ? t ) x
2

?

6 t

x ? 2



代入

y

2

? x

2

2

? 2 tx ? 0 ,

4

?
2t 1? t
2

??

解得 x 1 ∴ QM
y ? 6 t

? ?

, y1
, y

?

2 t

x1 ? 2 ?
2

2t

2

? 2
2

1? t )

, ……………(9 分)

? (?
x ? 2 ?

2t 1? t
2

( 2 ? m )t

? 2 ? m
2

1? t
2


2

代入
6t

? x ?

2

? 1 得 (9 ? t ) x
2

? 6 tx ? 0
2

4
9 ? t

解得 x 2 ∴ QN

2

, y2
,

6 t

x2 ? 2 ?

18 ? 2 t 9 ? t
2 2

, ………………(11 分)

? (

6t 9 ? t
2

18 ? 9 m ? ( 2 ? m ) t 9 ? t
2

),

∵ QM // QN , ∴ (?
2t 1? t
2

)(

18 ? 9 m ? ( 2 ? m ) t 9 ? t
2

2

)? (

6t 9 ? t
2

)(

( 2 ? m )t

2

? 2 ? m
2

1? t

)? 0



∴ (1 ? m )( 3 ? t 2 ) ? 0 , m ? 1 , ∴当点 P 在直线 y ? a 2 上运动时,直线 MN 恒经过定点 Q ( 0 ,1) .……(15 分) 解: (1) g ? x ? ?
ln ? x ? 1 ? ? x ? x ? ? 1 ? ,则 g ? ? x ? ?
1 x ?1 ?1? ?x x ?1

.…………2 分

当 x ? ? ? 1, 0 ? 时, g ? ? x ? ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? ? 1, 0 ? 上单调递增; 当 x ? ? 0, ? ? ? 时, g ? ? x ? ?
0

,则 g ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减, ………………………4 分

所以, g ? x ? 在 x ? 0 处取得最大值,且最大值为 0.
ln x ? a ? ? ? x (2)由条件得 ? ?a ? x ? 1 ? x ?

在 x ? 0 上恒成立.

………………………6 分

设h?x? ?

ln x x

,则 h ? ? x ? ?

1 ? ln x x
2


0

当 x ? ?1, e ? 时, h ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? e , ? ? ? 时, h ? ? x ? ? 要使 f ? x ? ?
ax

,所以, h ? x ? ?

1 e



恒成立,必须 a
? 1 x

?

1 e


x ?1
2

………………………8 分 恒成立,必须 a ?
2

另一方面,当 x ? 0 时, x

? 2

,要使 ax ?
?1 ?e ,2 ? ? ?



所以,满足条件的 a 的取值范围是 ?



………………………10 分
2
? 2 x2 x1 ? x 2
2 2

x1 x2

(3)当 x1

? x2 ? 0

时,不等式

f

? x1 ? ?

f

? x2 ?

? 2

x1 ? x 2

等价于 ln

x1 x2

? (

x1 x2

.……12
2

) ?1

?
2t ? 2 t ?1
2

??
?t
2

令t

?

x1 x2

,设 ? ? t ? ?

ln t ?

? t ? 1?

,则 ? ? ? t ? ?

? 1? ? t ? 1? t ? t ? 1?
2 2

2

? 0



? ? ?t ?

在 ?1, ?? ? 上单调递增,? ? ? t ? ? ? ?1 ? ? 0 , ……………………………15 分

所以,原不等式成立.


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