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河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学(文)试题


河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测 数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分 第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页, 考试时间为 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作 答,在试题卷上答题无效
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
·2007·

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第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.集合 A={0,1,2} ,B={ x ? 1 ? x ? 2 } ,则 A ? B ? A. {0} 2.如果复数 A. ? B. {1} C. {0,1} D. {0,1,2}

2 3

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于 1 ? 2i 2 B. C. 2 D.2 3

3.函数 f ? x ? ? A. ?0,???

2x ? 1 定义域为 log 2 x
C. ?0,1? D. ?0,1? ? ?1,???

B. ?1,???

4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 设 F1 , F2 是双曲线x ?
2

y2 ?1 的 两 个 焦 点 , P 是 双 曲 线 上 的 一 点 , 且 24

3 PF ? 4 PF2 , 则 PF ? 1 1
A.8 B. 6 C.4 D.2 6.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是 A.2 B. 1 C.-1 D.

1 2

?x ? y ? 1 ? 0 ? x?2 y 7.若实数 x, y满足? x ? y ? 0 则z ? 3 的最小值是 ?x ? 0 ?
A.0 B. 1 C.

3

D. 9

8.在△ABC 中,若 AB2 ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB, 则△ABC 是 A.等边三角形 B. 锐角三角形 9.函数 y ? 2 sin ? x ? A. x ? C. 钝角三角形 D. 直角三角形

? ?

??
?
4
2

?? ? ? cos? ? x ? 图象的一条对称轴是 4? ?4 ?
C. x ?

?
8

B. x ?

?
2

D. x ? ?

10.如图,过抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C, 若∣BC∣=2∣BF∣,且∣AF∣=3,则此抛物线方程为 A. y 2 ? 9 x B. y 2 ? 6 x C. y 2 ? 3x D. y 2 ? 3x

11. 双曲线

x2 y2 b2 ?1 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的离心率是 2,则 的最小值为 3a a2 b
C.

A.

3 3

B. 1

2 3 3

D. 2

12.定义在 ?? 1,1? 上的函数 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ;当 x ? ?? 1,0?时f ?x ? ? 0. ? ? ?

? x? y ?

若 p ? f? ?? f? A.R>Q>P

?1? ?5?

?1? ?1? ?, Q ? f ? ?, R ? f ?0? ;则 P,Q,R 的大小关系为 ? 11? ?2?
C. P>R>Q D. Q>P>R 第Ⅱ卷

B. R>P>Q

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.若直线 l1 : ax ? 2 y ? 0和l 2 : 2 x ? ?a ? 1?y ? 0 垂直,则实数 a 的值为 14.定义在 R 上的函数 f ?x ? 是增函数,则满足的取值范围是 . .

15.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若向量 p= 4, a 2 ? b 2 ? c 2 , q=

?

? ?

3, S 满足 p∥q,则∠C=

?

. .

16.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
a

18. (本小题满分 12 分) 第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行, 当地某学校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者。 将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) :若身高在 180cm 以上 (包 括 180cm)定义为“高个子” ,身高在 180cm 以下(不包括 180cm)定义为“非高个子”. (Ⅰ)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位数; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面 SAD⊥平面 ABCD,E 是线段 AD 上一点,AE=ED= 3 ,SE⊥AD. (Ⅰ)证明:平面 SBE⊥平面 SEC; (Ⅱ)若 SE=1,求三棱锥 E-SBC 的高.

20. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 顶 点 A ?? 1,0? , B ?1,0? , 动 点 D , E 满 足 : ① DA ? DB ? DC ? 0 ; ②

EC ? 3 EA ? 3 EB ,③ DE与AB 共线.
(Ⅰ)求△ABC 顶点 C 的轨迹方程; (Ⅱ)若斜率为 1 直线 l 与动点 C 的轨迹交与 M,N 两点,且 OM ? ON ? 0 ,求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ?x ? ? ln x ? p?x ? 1?, p ? R . (Ⅰ)当 p ? 1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间;
2 (Ⅱ)设函数 g ?x? ? xf ?x? ? p 2x ? x ? 1 , ?x ? 1?, 求证:当 p ?

?

?

1 时,有 g ? x ? ? 0成立 . 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. (Ⅰ)求证:四点A,I,H,E共圆; (Ⅱ)若∠C= 50 ,求∠IEH 的度数.
?

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 3t ?y ? t

, ?t为参数? .在极坐标系(与直角坐

标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? ? 4 cos? .
(Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a ? 2 x ? 1?a ? R? . (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f ?x ? 的最大值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f ?x ? ? 0 .

2012 年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学 参考答案

一、选择题 1—12 CADBA CBDBC CB 二、填空题 三、解答题 17.解: (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 则由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得 ? 解得 ?
?a1 ? 1, ?d ? 2. ? a1 ? 4d ? 9, ????2 分 ? 2a1 ? 6d ? 14,

13. ? ;

1 2

14. ?3,??? ;

15.

? 3



16. 43? .

????4 分 ????6 分 ????8 分

所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ?1. (II)由 an ? 2n ?1得 bn ? 2n ?1 ? 22n?1 .

Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ?10 分

?n ?
2

2 ?1 ? 22n ? 1 ? 22

? n2 ?

22n?1 ? 2 . 3

????12 分

18.解: (Ⅰ)8 名男志愿者的平均身高为
168 ? 176 ? 177 ? 178 ? 183 ? 184 ? 187 ? 191 ? 180.5(cm) ;?3 分 8

12 名女志愿者身高的中位数为 175. ????6 分 (Ⅱ)根据茎叶图,有“高个子”8 人, “非高个子”12 人, 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是
1 4 5 1 ? , 20 4

所以选中的“高个子 ”有 8 ? ? 2 人,设这两个人为 A,B; “ 非高个子”有 12 ? ? 3 人, 设这三个人 C,D,E. ??8 分 从这五个人 A,B, C,D,E 中选出两个人共有: (A,B) (A,C) , ,
1 4

(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E), ( 法; D,E ) 十 种 不 同 方

????10 分

其中至少有一人是 “高个子” 的选法有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E),(B,C),(B,D),(B,E)七种. 因此,至少有一人是“高个子”的概率是
7 .????12 分 10

19. (Ⅰ)证明: ? 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD ,
SE ? 平面 SAD , SE ? AD , ? SE ? 平面 ABCD .

????2 分
S

? BE ? 平面 ABCD, ? SE ? BE.

? AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB =3,
??AEB ? 30 , ?CED ? 60 .
? ?

AE=ED= 3
A B G E D

所以 ?BEC ? 90 即 BE ? CE. ????4 分
?

F C

结合 SE ? CE ? E 得 BE⊥平面 SEC,
? BE ? 平面 SBE , ? 平面 SBE⊥平面 SEC. ????6 分

(Ⅱ)如图,作 EF⊥BC 于 F,连结 SF.由 BC⊥SE,SE 和 EF 相交得, BC⊥平面 SEF,由 BC 在平面 SBC 内,得平面 SEF⊥平面 SBC. 作 EG⊥SF 于 G, 则 EG⊥平面 SBC.即线段 EG 的长即为三棱锥 E-SBC 的高.???? 9分 由 SE=1,BE=2,CE= 2 3 得 BC=4,EF= 3 . 在 Rt ?SEF 中, EG ?
ES ? EF 3 ? , SF 2

所以三棱锥 E-SBC 的高为

3 .????12 分 2

20.解:(I)设 C(x,y),由 DA ? DB ? DC ? 0 得,动点 D 的坐标为 ? , ? ; ? ? 3 3
x y ? ?

??? ??? ???? ? ?

?

由 EA ? EB 得,动点 E 在 y 轴上,再结合 DE 与 AB 共线,
y 得,动点 E 的坐标为 ? 0, ? ; ? ? ? 3?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????2 分

??? ? ??? ? y y2 EC ? 3 EA 的, x 2 ? ( y ? )2 ? 3 ? 1 ? 由 ,????4 分 3 9

整理得,

y 2 x2 ? ? 1. 27 3

因为 ?ABC 的三个顶点不共线,所以 y ? 0 .
y 2 x2 故 ?ABC 顶点 C 的轨迹方程为 ? ? 1( y ? 0) .????6 分 27 3

(II)设直线 l 方程为 y ? x ? m , 代入椭圆的方程得10 x2 ? 2mx ? m2 ? 27 ? 0 , 设
x1 ?

M

? x1 , y1 ?



N

? x2 , y2 ?


2



?2m ? 4m2 ? 40(m ? 27) 2 ?2m ? 4m ? 40(m ? 27) 2 , , x2 ? 20 20

m ? ? x1 ? x2 ? ? 5 , ? 所以 ? (*)????8 分 2 ? x x ? m ? 27 , ? 1 2 10 ?



???? ???? ? OM ? ON ? 0





x1x2 ? y1 y2 ?

0





x1x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 2x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 ,

将式子(*)代入上式,得 m 2 ? 综上,直线 l 的方程为 y ? x ?

27 3 15 ,即 m ? ? . 5 5

3 15 3 15 或y ? x ? .????12 分 5 5

21.解: (I)当 p =1 时, f ( x) = ln x - x + 1 ,其定义域为 ? 0,??? . 所以 f ?( x) ? ? 1 . 由 f ?( x) ? ? 1 ? 0 得 0 ? x ? 1 , 所以 f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? ;单调减区间为 ?1, ?? ? .???5 分 (II)由函数 g ( x) ? xf ( x) ? p(2x2 ? x ?1) ? x ln x ? p( x2 ?1) , 得 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px, 由(I)知,当 p =1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 即不等式 ln x ? x ? 1成立.
1 2 1 x
1 x

????2 分

????7 分

????9分

所以当 p ? ? 时, g?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? ( x ?1) ? 1 ? 2 px ? (1 ? 2 p) x ? 0 , 即 g(x)在 ?1,??? 上单调递减, 从而 g ( x) ? g (1) ? 0 满足题意. ????12 分

22、证明: (Ⅰ)由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE; ????2分

结合 IH⊥AH,得 ?AEI ? ?AHI ? 90?. 所以,四点 A,I,H,E 共圆. ????5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知四点 A,I,H,E 共圆, 得, ?IEH ? ?HAI ; 在
1 2 1 结合 IH⊥AH,得 ?HAI ? 90? ? ?HIA ? ?C ; 2

????7分
?HIA

中, ?HIA ? ?ABI ? ?BAI ? ?B ? ?A ? (?B ? ?A) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C.

1 2

1 2

1 2

1 2

所以 ?IEH ? ?C . 由 ?C ? 50? ,得, ?IEH ? 25?. ????10 分 23.解(Ⅰ)由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ,????2分 结合极坐标与直角坐标的互化公式 ? 得 x2 ? y 2 ? 4 x , 即 ( x ? 2)2 ? y2 ? 4. (Ⅱ)由直线 l 的参数方程 ? ? 得, x ? 3 y ? a ? 0 . ????5分
? x ? a ? 3t (t为参数) 化为普通方程 ?y ? t ?

1 2

? x ? ? cos ? , ? y ? ? sin ?

????7分

结合圆 C 与直线 l 相切,得 解得 a ? ?2或6 .

2?a 1? 3

? 2,

????10 分

?? x ? 1, ( x ? 3) ? 24.解: (Ⅰ)当 a=3 时, f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ??3x ? 5, (1 ? x ? 3) ???? ? x ? 1, ( x ? 1) ?

3分 所以,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 2. 5分 (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 2 x ?1 ,
2 2 两边平方得: ? x ? a ? ? 4 ? x ? 1? ,

????

即 3x2 ? 2(a ? 4) x ? 4 ? a2 ? 0 , 分

????7

得 ? x ? (2 ? a)? (3x ? (2 ? a)) ? 0 . 所以,①当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? 2 ? a, ?
? a?2? ?; 3 ?

②当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? x x ? 1? ; ③当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? ? 分
a?2 ? ,2? a? . ? 3 ?

????10


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