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(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法(学)


专题十一
学一学------基础知识结论 空间向量与垂直关系 1.空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a =(a1,a2,a3),直线 m 的方向向量为 b=(b1, b2 , b3) , 则 l ⊥ m ? 线面垂直

立体集合中的向量方法

面 面 垂直 若平面 α 的法向量 u=(a1, b1,c1),平面 β 的法向量为 v = (a2 , b2 , c2) ,则 α⊥ β?

设直线 l 的方向向量是 a= (a1,b1,c1),平面 α 的法向 量 u=(a2,b2,c 2),则 l⊥α ? a / /u

a ? b_
2.空间中垂直关系的证明方法 线线垂直

u?v

线面垂直 ①证明直线的方向 向量与平面的法向 量是共线向量.

面面垂直 ①证明两个平 面的法向量垂 直. ②证明二面角 的平面角为直 角._.

①证明两直线的方向向量的数 量积为 0.

②证明两直线所成角为直角.

②证明直线与平面内的相交直线垂直.

空间向量与空间角 1.空间中的角 角的分类 向量求法 设两异面直线所成的角为 θ,它们的方向向量 异面直线 所成的角 为 a,b,则 cos θ= 直线与平 面所成 的角 范围

cos? a, b? ?

a ?b a?b


?0,π? ? 2?

设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ, l 的方向向量 为 a ,平 面 α 的 法向量为 n , 则 sin θ =

cos? a, n? ?

a?n a?n

?0,π? ? 2?

设二面角 α—l—β 的平面角为 θ,平面 α、β 的 法 向 量 为 n1 , n2 , 则 |cos θ| = 二面角

cos? n1 , n2 ? ?
_________

n1 ? n2 n1 ? n2

[0,π]

学一学------方法规律技巧
1

1.利用空间向量求异面直线所成的角

(0, ] 2 ,构造两条直线的方向向量 a, b ,先求 a, b 夹角的余弦值 cos? a, b? ,设异 异面直线所成的角范围是
面直 线所成的角为 ? ,则有

?

cos ? ? cos? a, b?



例 1.如图,三棱锥 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC, D 是 PB 上一点,且 CD⊥平面 PAB. (1)求证:AB⊥平面 P CB; (2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小;

2.直线和平面所成的角

[0, ] 2 ,构造直线的方向向量 a ,和计算平面的法向量 b ,再计算 a, b 夹 直线和平面所成的角的范围是
角的余弦值 cos? a, b? ,设直线和平面所成的角为 ? ,则 例 2. 在三棱柱

?

sin ? ? cos? a, b?



ABC ? A1B1C1 中, ABB1 A1 为矩形,AB ? 1 ,AA1 ? 2 ,D 为 AA1 的中点,BD 与 AB1 侧面 ABB1 A1 .

交于点 O , CO ? 侧面 (1)证明:

BC ? AB1 ;

CD (2)若 OC ? OA ,求直线 1 与平面 ABC 所成角的正弦值.

2

3 55 【答案】(1)详见解析; (2) 55

3.二面角求法 二面角的平面角的范 围是 [0, ? ] ,先求两个半平面的法向量 a, b ,再计算法向量的夹 角 cos? a, b? ,设二面 角的大小为 ? ,则 cos? ? ? cos?a, b? ,然后再观察二面角是锐二面角还是钝二面角决定符号.

1 AD ? DB 3 例 3. 如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,点 D 为线段 AB 上一点,且 ,点 C 为圆 O 上一点,
且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D,PD=DB. (1)求证: PA ? CD ;
3

(2)求二面角 C ? PB ? A 的余弦值.

∴二面角 C ? PB ? A 的余弦值为

15 . 5

4


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