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2018版高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和一课件新人教版_图文

学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.

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知识梳理

知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式

(1)公式:Sn=???a1?11--qqn?=a11--aqnq?q≠1?,

? ?

na1

?q=1?.

(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略q=1的情况.

自主学习
答案

2.等比数列前n项和公式的使用 公比 q≠1 时,公式 Sn=a1(11--qqn)适用于已知 a1,q 和项数 n,而公式 Sn=a11--aqnq更适用于已知 a1,q 和末项 an,使用时依据条件灵活选用.

思考 设f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N*),则f(n)等于( B )

A.27(8n-1)

B.27(8n+1-1)

C.27(8n+2-1)

D.27(8n+3-1)

解析 f(n)=2+24+27+…+23n+1=2?11--88n+1?

=27(8n+1-1).

答案

知识点二 错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法 一般地,等比数列{an}的前n项和可写为: Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① 用公比q乘①的两边,可得 qSn=a1+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,② 由①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn, 整理得 Sn=a1(11--qqn)(q≠1).

2.我们把上述方法叫 错位相减法 ,一般适用于数列{an·bn}前n项和的 求解,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且q≠1.

答案

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题型探究

题型一 等比数列基本量的计算

例1 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn;

解 由题意知?????aa11??11+ +qq+ ?=q32?0=,155,

解得?????aq1==55,,

??a1=180, 或???q=-65.

从而

Sn=14×5n+1-54或

1 Sn=

080×[1-?-56?n]

11

.

重点突破
解析答案

??a1+a1q2=10, 解 方法一 由题意知???a1q3+a1q5=54, 方解法得二?????aq1==由128,(,a1+从a3)而q3=S5=a4+a1?a116--,q得q5?q=3=32118.,从而 q=12. 又a1+a3=a1(1+q2)=10,
所以 a1=8,从而 S5=a1?11--qq5?=321.

解析答案

(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q. 解 因为a2an-1=a1an=128, 所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根. 从而?????aa1n= =26, 4 或?????aan1= =26, 4. 又 Sn=a11--aqnq=126,所以 q 为 2 或12.

反思与感悟

跟踪训练1 在等比数列{an}中, (1)若 a1= 2,an=16 2,Sn=11 2,求 n 和 q;



由 Sn=a11--aqnq得 11

2=

2-16 2q 1-q ,

∴q=-2,

又由 an=a1qn-1 得 16 2= 2(-2)n-1, ∴n=5.

解析答案

(2)已知S4=1,S8=17,求an. 解 若q=1,则S8=2S4,不合题意,∴q≠1, ∴S4=a1?11--qq4?=1,S8=a1?11--qq8?=17, 两式相除得11- -qq84=17=1+q4, ∴q=2或q=-2, ∴a1=115或 a1=-15,
∴an=115·2n-1 或-15·(-2)n-1.

解析答案

题型二 错位相减法求和 例2 设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1 =1,a3+b5=21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式; 解 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q. 由题意有 q>0 且?????11+ +24dd+ +qq42= =2113, , 解得?????dq= =22., ∴an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=2n-1.
解析答案

(2)求数列{abnn}的前 n 项和 Sn.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 求数列{nxn}的前n项和.
解析答案

题型三 等差、等比数列的综合问题 例3 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+ bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式;
解析答案

解 (1)由题意知,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当 n=1 时,a1=S1=11,符合上式. 所以 an=6n+5.设数列{bn}的公差为 d, 由?????aa12==bb12++bb23,,即?????1117==22bb11++d3,d, 可解得 b1=4,d=3. 所以 bn=3n+1.

(2)令 cn=((abn+n+12))n+n 1,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
解 由(1)知 cn=((63nn++63))n+n 1=3(n+1)·2n+1.. 又 Tn=c1+c2+…+cn.得 Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1]. 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]. 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3×????4+4(11--22n)-(n+1)×2n+2????=-3n·2n+2. 所以 Tn=-3n·2n+2.
反思与感悟

解析答案

跟踪训练3 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an及其前n项和Sn; 解 设{an}的公比为q,依题意得

??a1q=3 ???a1q4=81

,解得?????aq1==31



因此,an=3n-1,Sn=1????11--33n????=3n-2 1.

解析答案

?1? (2)设 bn=1+log3an,求数列??bn·bn+1??的前 10 项和 T10.
解 由(1)知bn=1+log3an=1+(n-1)=n, 则bnb1n+1=n?n1+1?=1n-n+1 1, 所以 T10=1×1 2+2×1 3+…+10×1 11 =1-12+12-13+…+110-111 =1-111=1110.

解析答案

易错点 应用等比数列前n项和公式时忽视分类讨论致误 例4 等比数列1,2a,4a2,8a3,…的前n项和Sn=________.

误区警示

解析答案

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当堂检测

12345

1.已知等比数列{an}的首项a1=3,公比q=2,则S5等于( A )

A.93

B.-93

C.45

D.-45

解析 S5=a1?11--qq5?=3?11--225?=93.

解析答案

12345

2.在等比数列{an}中,已知a1+a2+a3=6,a2+a3+a4=-3,则a3+a4

+a5+a6+a7等于( )

11

19

A. 8

B.16

9

3

C.8

D.4

解析答案

12345
3.设等比数列{an}的公比 q=3,前 n 项和为 Sn,则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4=a1?11--334?=40a1,又 a2=3a1, ∴Sa42=430.
解析答案

12345
4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5=a2·q3,∴q3=2943=27. ∴公比q=3,从而a1=3, ∴S4=a1?11--qq4?=3?11--334?=120.
解析答案

12345
5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ________,S5=________.
解析答案

课堂小结
1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n, q,Sn,其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即q≠1和q= 1时是不同的公式形式,不可忽略q=1的情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为q,求 数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减的方法求和.
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本课结束