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高中数学 《导数在研究函数中的应用》教案 新人教A版选修1-1


函数的最大(小)值与导数 备课人 夏军 贾正才
教学目标: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f ( x) 在 闭 区 间 ?a, b? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点 a , b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 教学过程: 一.创设情景 我们知道, 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质, 而不是函数在整个定义域内的
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性质.也就是说,如果 x0 是函数 y ? f ? x? 的极大(小)值点,那么在点 x0 附近找不到比

f ? x0 ? 更大(小)的值.但是,在解决实际问题或研究函数的性质时,我们更关心函数在
某个区间上,哪个至最大,哪个值最小.如果 x0 是函数的最大(小)值,那么 f ? x0 ? 不小 (大)于函数 y ? f ? x ? 在相应区间上的所有函数值. 二.新课讲授 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函数 f ( x) 的图象.图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值, f ( x2 ) 是极大 值.函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值是 f (b) ,最小值是
a x1 O x2 x3 b

y

x

f ( x3 ) .
1.结论:一般地,在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲

线,那么函数 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值.
说明:⑴如果在某一区间上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,则称函数 (可以不给学生讲) y ? f ( x) 在这个区间上连续. ⑵给定函数的区间必须是闭区间,在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与 最小值.如函数 f ( x) ?

1 在 (0,??) 内连续,但没有最大值与最小值; x
1

⑶在闭区间上的每一点必须连续,即函数图像没有间断, ⑷函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件. (可以不给学生讲) 2. “最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个 局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶ 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有 最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
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3.利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值 进行比较,就可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值 三.典例分析 例 1. (课本例 5)求 f ? x ? ?

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1 3 x ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 的最大值与最小值 3

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解: 由例 4 可知,在 ?0 , 3 ? 上,当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为

f (2) ? ?

4 ,又由于 f ? 0? ? 4 , f ? 3? ? 1 3 1 3 4 因此,函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 的最大值是 4,最小值是 ? . 3 3 1 3 上述结论可以从函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 在 ?0 , 3? 上的图象得到直观验证. 3 4 2 例 2.求 函 数 y ? x ? 2x ? 5 在区间 ?? 2,2?上 的最大值与最小值
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解 : 先求导数,得 y ? 4 x ? 4 x
/ 3 / 令 y = 0 即 4 x ? 4 x ? 0 解 得 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1
3

/ 导 数 y 的正负以及 f (?2) , f ( 2) 如下表

X

-2

( -2,-1 )

-1

( -1,0 )

0

( 0,1 )

1

( 1,2 )

2
2

y

/

- 13 ↘

0 4

+ ↗

0 5

- ↘

0 4

+ ↗ 13

y

从上表知,当 x ? ?2 时,函数有最大值 13,当 x ? ?1 时,函数有最小值 4 例 3.已知 f ( x) ? log 3

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x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满 x

足下列两个条件: (1) f ( x) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1,若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由. 解:设 g(x)=

x 2 ? ax ? b x

∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验,a=1,b=1 时,f(x)满足题设的两个条件. 四.课堂练习 1 . 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

)

y
12 10 8 6 4 2

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12

)

4 . 求 函 数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在区间 ?? 2,2?上 的最大值与最小值.
-4 -2

y=x4-2x2+5 O
2 4

5.课本 练习 五.回顾总结 1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于零的点,导数不存在的点, 区间端点; 2.函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分 条件而非必要条件; 3.闭 区 间 ?a, b? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ;开 区 间 ( a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值 4.利用导数求函数的最值方法. 六.布置作业 课本 P99 习题 3.3 A 组 6
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x

3


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