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中考数学一模试卷(Word版,含答案解析)

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2016 年上海市宝山区中考数学一模试卷
一.选择题 1.如图,在直角△ ABC 中,∠C=90°,BC=1,tanA= ,下列判断正确的是( )

A.∠A=30° B.AC=

C.AB=2

D.AC=2

2.抛物线 y=﹣4x2+5 的开口方向( A.向上 B.向下 C.向左 D.向右

)

3. D、 E 在△ ABC 的边上, AE: BE=1: 2, BC=6, 如图, 如果 ED∥BC, 那么

的模为(

)

A.﹣2 B.﹣3 C.2

D.3

4.已知⊙O 是以坐标原点 O 为圆心,5 为半径的圆,点 M 的坐标为(﹣3,4) ,则点 M 与 ) ⊙O 的位置关系为( A.M 在⊙O 上 B.M 在⊙O 内 C.M 在⊙O 外 D.M 在⊙O 右上方 5.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠A=26°,以点 C 为圆心,BC 为半径的圆分别交 AB、 AC 于点 D、点 E,则弧 BD 的度数为( )

A.26° B.64° C.52° D.128° 6.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )

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A.ac>0

B.当 x>﹣1 时,y<0

C.b=2a D.9a+3b+c=0

二.填空题 7.如果: ,那么: =__________.

8.两个相似比为 1:4 的相似三角形的一组对应边上的中线比为__________. 9. D、 E 分别是△ ABC 的边 AB、 AC 上的点, 如图, 则使△ AED∽△ABC 的条件是__________.

10.如图,△ ABC 中,∠C=90°,若 CD⊥AB 于 D,且 BD=4,AD=9,则 CD=__________.

11.计算:2(3 +4 )﹣5 =__________.

12.如图,菱形 ABCD 的边长为 10,sin∠BAC= ,则对角线 AC 的长为__________.

13.抛物线 y=﹣2(x﹣3)2+4 的顶点坐标是__________.

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14.若 A(1,2) ,B(3,2) ,C(0,5) ,D(m,5)是抛物线 y=ax2+bx+c 图象上的四点, 则 m=__________.
2 15. y1) B y2) 已知 A (4, 、 (﹣4, 是抛物线 y= (x+3) ﹣2 的图象上两点, 则 y1__________y2.

16.已知⊙O 中一条长为 24 的弦的弦心距为 5,则此圆的半径长为__________. 17.如图,在等边△ ABC 内有一点 D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ ABD 绕 A 点逆时针旋 转,使 AB 与 AC 重合,点 D 旋转至点 E,则∠CDE 的正弦值为__________.

18.如图,抛物线 y=x2﹣2x﹣3 交 x 轴于 A(﹣1,0) 、B(3,0) ,交 y 轴于 C(0,﹣3) , M 是抛物线的顶点,现将抛物线沿平行于 y 轴的方向向上平移三个单位,则曲线 CMB 在平 移过程中扫过的面积为__________(面积单位) .

三.解答题(8+8+8+8+10+10+12+14) 19.计算: ﹣ .

20.已知某二次函数的对称轴平行于 y 轴,图象顶点为 A(1,0) ,且与 y 轴交于点 B(0, 1) (1)求该二次函数的解析式; (2)设 C 为该二次函数图象上横坐标为 2 的点,记 = , = ,试用 、 表示 . 21.如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图,已知自动扶梯 AC 的坡度为 1:2,AC 的 长度为 5 米,AB 为底楼地面,CD 为二楼侧面,EF 为二楼楼顶,当然有 EF∥AB∥CD,
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E 为自动扶梯 AC 的最高端 C 的正上方,过 C 的直线 EG⊥AB 于 G,在自动扶梯的底端 A 测得 E 的仰角为 42°,求该商场二楼的楼高 CE. (参考数据:sin42°= ,cos42°= ,tan42°= )

22.如图,以 AB 为直径的⊙O 与弦 CD 相交于点 E,若 AC=2 BD 的长度. (保留 π)

,AE=3,CE=

,求弧

23.如图,D 为△ ABC 边 AB 上一点,且 CD 分△ ABC 为两个相似比为 1: 三角形; (不妨如图假设左小右大) ,求: (1)△ BCD 与△ ACD 的面积比; (2)△ ABC 的各内角度数.

的一对相似

24.如图,△ ABC 中,AB=AC=6,F 为 BC 的中点,D 为 CA 延长线上一点,∠DFE=∠B. (1)求证: = ;

(2)若 EF∥CD,求 DE 的长度.

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25. (1)已知二次函数 y=(x﹣1) (x﹣3)的图象如图,请根据图象直接写出该二次函数图 象经过怎样的左右平移,新图象通过坐标原点? (2)在关于二次函数图象的研究中,秦篆晔同学发现抛物线 y=ax2﹣bx+c(a≠0)和抛物线 y=ax2﹣bx+c(a≠0)关于 y 轴对称,基于协作共享,秦同学将其发现口诀化“a、c 不变,b 相反”供大家分享,而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c 相反,b 不变”,并按此法误 写,然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称,请你写出小胡同学所写的与原抛物 y= (x﹣1) (x﹣3)的对称图形的解析式,并研究其与原抛物线的具体对称情况; (3)抛物线 y=(x﹣1) (x﹣3)与 x 轴从左到右交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,M 是 其对称轴上一点,点 N 在 x 轴上,当点 N 满足怎样的条件,以点 N、B、C 为顶点的三角形 与△ MAB 有可能相似,请写出所有满足条件的点 N 的坐标; (4)E、F 为抛物线 y=(x﹣1) (x﹣3)上两点,且 E、F 关于 D( ,0)对称,请直接写 出 E、F 两点的坐标.

26. (14 分)如图点 C 在以 AB 为直径的半圆的圆周上,若 AB=4,∠ABC=30°,D 为边 AB 上一动点,点 E 和 D 关于 AC 对称,当 D 与 A 重合时,F 为 EC 的延长线上满足 CF=EC 的 点,当 D 与 A 不重合时,F 为 EC 的延长线与过 D 且垂直于 DE 的直线的交点, (1)当 D 与 A 不重合时,CF=EC 的结论是否成立?试证明你的判断. (2)设 AD=x,EF=y 求 y 关于 x 的函数及其定义域; (3)如存在 E 或 F 恰好落在弧 AC 或弧 BC 上时,求出此时 AD 的值;如不存在,则请说 明理由. (4)请直接写出当 D 从 A 运动到 B 时,线段 EF 扫过的面积.

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2016 年上海市宝山区中考数学一模试卷
一.选择题 1.如图,在直角△ ABC 中,∠C=90°,BC=1,tanA= ,下列判断正确的是( )

A.∠A=30° B.AC= 【考点】解直角三角形. 【专题】探究型.

C.AB=2

D.AC=2

【分析】根据在直角△ ABC 中,∠C=90°,BC=1,tanA= ,可以得到 AC、BC 的长,同时 tanA= ,tan30°= ,可以判断∠A 是否等于 30°,从而可以得到问题的答案. ,

【解答】解:∵在直角△ ABC 中,∠C=90°,BC=1,tanA= ,tanA=

∴AC=



∴AB= ∵tanA= ,tan30°= ∴∠A≠30°, 故选 D. ,



【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是明确题意,找出各边之间的关系,进而判断 选项是否正确. 2.抛物线 y=﹣4x2+5 的开口方向( A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 )

【考点】二次函数的性质. 【专题】探究型. 【分析】根据抛物线 y=﹣4x2+5,可知二次项系数是﹣4,从而可以得到该函数的开口方向. 【解答】解:∵抛物线 y=﹣4x2+5,﹣4<0, ∴该抛物线的开口向下, 故选 B. 【点评】 本题考查二次函数的性质, 解题的关键是由二次项系数可以判断抛物线的开口方向.
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3. D、 E 在△ ABC 的边上, AE: BE=1: 2, BC=6, 如图, 如果 ED∥BC, 那么

的模为(

)

A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3 【考点】*平面向量. 【分析】由 ED∥BC,可证得△ AED∽△ABC,然后根据相似三角形的对应边成比例,求得 ED:BC=1:3,则可得 =﹣ ,又由 BC=6,即可求得 的模.

【解答】解:∵ED∥BC, ∴△AED∽△ABC, ∴ED:BC=AE:AB, ∵AE:BE=1:2, ∴AE:AB=1:3, ∴ED:BC=1:3, ∴ =﹣ ,

∵BC=6, ∴| |= | |=2.

故选 C. 【点评】 此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质. 注意利用相似三角形的 性质,求得 = 是解此题的关键.

4.已知⊙O 是以坐标原点 O 为圆心,5 为半径的圆,点 M 的坐标为(﹣3,4) ,则点 M 与 ) ⊙O 的位置关系为( A.M 在⊙O 上 B.M 在⊙O 内 C.M 在⊙O 外 D.M 在⊙O 右上方 【考点】点与圆的位置关系;坐标与图形性质. 【分析】根据勾股定理,可得 OM 的长,根据点与圆心的距离 d,则 d>r 时,点在圆外; 当 d=r 时,点在圆上;当 d<r 时,点在圆内. 【解答】解:OM= OM=r=5. 故选:A. 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为 r,点到圆心的距离 为 d,则有:当 d>r 时,点在圆外;当 d=r 时,点在圆上,当 d<r 时,点在圆内. 5.如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠A=26°,以点 C 为圆心,BC 为半径的圆分别交 AB、 AC 于点 D、点 E,则弧 BD 的度数为( ) =5,

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A.26° B.64° C.52° D.128° 【考点】圆心角、弧、弦的关系. 【分析】先利用互余计算出∠B=64°,再利用半径相等和等腰三角形的性质得到 ∠CDB=∠B=64°,则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD,然后根据圆心角的度数等于 它所对弧的度数求解. 【解答】解:∵∠C=90°,∠A=26°, ∴∠B=64°, ∵CB=CD, ∴∠CDB=∠B=64°, ∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°, ∴ 的度数为 52°. 故选:C. 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 6.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )

A.ac>0

B.当 x>﹣1 时,y<0

C.b=2a D.9a+3b+c=0

【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】A、由抛物线的开口方向,抛物线与 y 轴交点的位置即可确定 a、c 的符号; B、根据抛物线与 x 轴的交点,可得出 y<0 时,x 的取值范围; C、根据抛物线的对称轴直接得出答案; D、根据抛物线与 x 轴的交点和抛物线的对称轴,即可得出抛物线与 x 轴的另一个交点,然 后把 x=3 代入方程即可求得相应的 y 的符号. 【解答】解:A、由抛物线的开口向上,得 a>0,抛物线与 y 轴负半轴相交,得 c<0,则 ac<0,故本选项错误; B、根据抛物线与 x 轴的交点,可得出 y<0 时,﹣1<x<3,故本选项错误; C、根据抛物线的对称轴 x=﹣ =1,直接得出 b=﹣2a,故本选项错误;

D、根据抛物线与 x 轴的一个交点(﹣1,0)和抛物线的对称轴 x=1,即可得出抛物线与 x 轴的另一个交点(3,0) ,然后把 x=3 代入方程即 9a+3b+c=0,故本选项正确; 故选 D.
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【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由 抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定. 二.填空题 7.如果: ,那么: = .

【考点】分式的基本性质. 【专题】计算题. 【分析】由已知可知,2a=3b,再代入所求式进行化简. 【解答】解:∵ ∴2a=3b, ∴ = = = . ,

故答案为 . 【点评】本题的关键是找到 a,b 的关系. 8.两个相似比为 1:4 的相似三角形的一组对应边上的中线比为 1:4. 【考点】相似三角形的性质. 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可. 【解答】解:∵两个相似三角形的相似比为 1:4, ∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为 1:4, 故答案为:1:4. 【点评】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对 应角平分线的比都等于相似比是解题的关键. 9. D、 E 分别是△ ABC 的边 AB、 AC 上的点, 如图, 则使△ AED∽△ABC 的条件是∠AED=∠B 或∠ADE=∠C 或 .

【考点】相似三角形的判定. 【专题】压轴题;开放型. 【分析】 由本题图形相似已经有一个公共角, 再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比 例即可. 【解答】解:∵∠A=∠A,当∠AED=∠B, ∴△AED∽△ABC, ∵∠A=∠A,当∠ADE=∠C, ∴△AED∽△ ABC,

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∵∠A=∠A,当 ∴△AED∽△ABC,



故答案为:∠AED=∠B 或∠ADE=∠C 或



【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况. 10.如图,△ ABC 中,∠C=90°,若 CD⊥AB 于 D,且 BD=4,AD=9,则 CD=6.

【考点】射影定理. 【分析】根据射影定理得到等积式,代入已知数据计算即可. 【解答】解:∵∠C=90°,CD⊥AB, ∴CD2=BD?AD=36, ∴CD=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查的是射影定理的应用,掌握直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边 上射影的比例中项是解题的关键. 11.计算:2(3 +4 )﹣5 = +8 . 【考点】*平面向量. 【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案. 【解答】解:2(3 +4 )﹣5 =6 +8 ﹣5 = +8 . 故答案为: +8 . 【点评】此题考查了平面向量的运算法则.注意掌握去括号法则是解此题的关键.

12.如图,菱形 ABCD 的边长为 10,sin∠BAC= ,则对角线 AC 的长为 16.

【考点】菱形的性质. 【分析】根据菱形的性质可知 AC⊥BD,解三角形求出 BO 的长,利用勾股定理求出 AO 的 长,即可求出 AC 的长. 【解答】解:如图所示: ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,AO=CO,

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在 Rt△ AOB 中,∵AB=10,sin∠BAC= , ∴sin∠BAC= = ,

∴BO= ×10=6, ∴AB2=OB2+AO2, ∴AO= ∴AC=2AO=16. 故答案为:16. = =8,

【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识;解答本题的关键是 掌握菱形的对角线互相垂直平分,此题难度不大. 13.抛物线 y=﹣2(x﹣3)2+4 的顶点坐标是(3,4) . 【考点】二次函数的性质. 【分析】已知解析式为顶点式,可直接根据顶点式的坐标特点,求顶点坐标,从而得出对称 轴. 【解答】解:y=﹣2(x﹣3)2+4 是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(3,4) . 故答案为: (3,4) . 【点评】此题主要考查了二次函数的性质,关键是熟记:顶点式 y=a(x﹣h)2+k,顶点坐 标是(h,k) ,对称轴是 x=h. 14.若 A(1,2) ,B(3,2) ,C(0,5) ,D(m,5)是抛物线 y=ax2+bx+c 图象上的四点, 则 m=4. 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据对称点 A(1,2) ,B(3,2)得到抛物线的对称轴为直线 x=2,然后根据对称 点 C(0,5) ,D(m,5)得出 =2,即可求得 m 的值.

【解答】解:∵A(1,2) ,B(3,2)是抛物线 y=ax2+bx+c 图象上的点, ∴抛物线的对称轴为直线 x= =2,

∵C(0,5) ,D(m,5)是对称点, ∴ =2,

解得 m=4 故答案为 4.
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【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:根据对称点(x1,m) 、 (x2,m)得到 抛物线的对称轴为直线 x= .

15.已知 A(4,y1) 、B(﹣4,y2)是抛物线 y=(x+3)2﹣2 的图象上两点,则 y1>y2. 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】先求得函数 y=(x+3)2﹣2 的对称轴为 x=﹣3,再判断 A(4,y1) 、B(﹣4,y2) 离对称轴的远近,从而判断出 y1 与 y2 的大小关系. 【解答】解:由 y=(x+3)2﹣2 可知抛物线的对称轴为直线 x=﹣3, ∵抛物线开口向上,而点 A(4,y1)到对称轴的距离比 B(﹣4,y2)远, ∴y1>y2. 故答案为>. 【点评】 此题主要考查了二次函数图象上点的特征, 利用已知解析式得出对称轴进而利用二 次函数增减性得出是解题关键. 16.已知⊙O 中一条长为 24 的弦的弦心距为 5,则此圆的半径长为 13. 【考点】垂径定理;勾股定理. 【分析】 利用垂径定理得到 C 为 AB 的中点, 由 AB 的长求出 AC 的长, 在直角三角形 AOC 中,由 AC 与 OC 的长,利用勾股定理求出 OA 的长即可. 【解答】解:如图所示, ∵OC⊥AB, ∴AC=BC= AB=12, 在 Rt△ AOC 中,AC=12,OC=5, 根据勾股定理得:AO= 即此圆的半径长为 13; 故答案为:13. = =13,

【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理;熟练掌握垂径定理,由勾股定理求出 AO 是解 本题的关键. 17.如图,在等边△ ABC 内有一点 D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ ABD 绕 A 点逆时针旋 转,使 AB 与 AC 重合,点 D 旋转至点 E,则∠CDE 的正弦值为 .

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【考点】旋转的性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据等边三角形的性质得 AB=AC,∠BAC=60°,再根据旋转的性质得 AD=AE, CE=BD=6, ∠DAE=∠BAC=60°, 于是可判断△ ADE 为等边三角形, 所以 DE=AD=5, 作 CH⊥DE 于 H,如图,设 DH=x,则 HE=DE﹣DH=5﹣x ,利用勾股定理得到 42﹣x2=62﹣(5﹣x)2,解得 x= ,则可计算出 CH= 正弦的定义求解. 【解答】解:∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60°, ∵△ABD 绕 A 点逆时针旋转,使 AB 与 AC 重合,点 D 旋转至点 E, ∴∠DAE=∠BAC=60°,AD=AE,CE=BD=6, ∵△ADE 为等边三角形, ∴DE=AD=5, 作 CH⊥DE 于 H,如图,设 DH=x,则 HE=DE﹣DH=5﹣x 在 Rt△ CDH 中,CH2=CD2﹣DH2=42﹣x2, 在 Rt△ CEH 中,CH2=CE2﹣EH2=62﹣(5﹣x)2, ∴42﹣x2=62﹣(5﹣x)2,解得 x= , 在 Rt△ CDH 中,CH= = , ,然后根据

∴sin∠CDH=

=

=



即 sin∠CDH= 故答案为 .



【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线 段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.解决本题的关键是求 C 点到 DE 的距离.
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18.如图,抛物线 y=x2﹣2x﹣3 交 x 轴于 A(﹣1,0) 、B(3,0) ,交 y 轴于 C(0,﹣3) , M 是抛物线的顶点,现将抛物线沿平行于 y 轴的方向向上平移三个单位,则曲线 CMB 在平 移过程中扫过的面积为 9(面积单位) .

【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】由图象可知曲线 CMB 在平移过程中扫过的面积=平行四边形 OCBD 的面积,求得 四边形 OCBD 的面积即可. 【解答】解;∵曲线 CMB 在平移过程中扫过的面积=平行四边形 OCBD 的面积, ∴曲线 CMB 在平移过程中扫过的面积= OC?OB+ OC?BD= ×3×3+ ×3×3=9, 故答案为 9. 【点评】题考查了二次函数图象与几何变换,由图象可知曲线 CMB 在平移过程中扫过的面 积=平行四边形 OCBD 的面积是解题的关键. 三.解答题(8+8+8+8+10+10+12+14) 19.计算: ﹣ .

【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解. 【解答】解:原式= ﹣

= = = + +

﹣ ﹣ .

【点评】 本题考查了特殊角的三角函数值, 解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 20.已知某二次函数的对称轴平行于 y 轴,图象顶点为 A(1,0) ,且与 y 轴交于点 B(0, 1) (1)求该二次函数的解析式;
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(2)设 C 为该二次函数图象上横坐标为 2 的点,记 = , = ,试用 、 表示 . 【考点】*平面向量;待定系数法求二次函数解析式. 【分析】 (1)由图象顶点为 A(1,0) ,首先可设该二次函数的解析式为:y=a(x﹣1)2, 又由与 y 轴交于点 B(0,1) ,可利用待定系数法求得答案; (2)首先求得点 C 的坐标,然后根据题意作出图形,易求得 ,然后由三角形法则,求得 答案. 【解答】解: (1)设该二次函数的解析式为:y=a(x﹣1)2, ∵与 y 轴交于点 B(0,1) , ∴a=1, ∴该二次函数的解析式为:y=(x﹣1)2; (2)∵C 为该二次函数图象上横坐标为 2 的点, ∴y=(2﹣1)2=1, ∴C 点坐标为: (2,1) , ∴BC∥x 轴, ∴ =2 =2 , ∴ = + = +2 .

【点评】此题考查了平面向量的知识、待定系数法求函数的解析式以及点与二次函数的关 系.注意结合题意画出图形,利用图形求解是关键. 21.如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图,已知自动扶梯 AC 的坡度为 1:2,AC 的 长度为 5 米,AB 为底楼地面,CD 为二楼侧面,EF 为二楼楼顶,当然有 EF∥AB∥CD, E 为自动扶梯 AC 的最高端 C 的正上方,过 C 的直线 EG⊥AB 于 G,在自动扶梯的底端 A 测得 E 的仰角为 42°,求该商场二楼的楼高 CE. (参考数据:sin42°= ,cos42°= ,tan42°= )

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】根据 AC 的坡度得出 AG=2CG,由勾股定理得出 CG2+AG2=AC2,求出 CG、AG, 再由三角函数得出 EG,即可得出结果. 【解答】解:根据题意得:AG=2CG, ∵∠AGE=90°,
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∴由勾股定理得:CG2+AG2=AC2, 即 CG2+(2CG)2=(5 )2, 解得:CG=5(米) , ∴AG=10 米, ∵tan∠EAG= ,

∴EG=AG?tan42°, ∴CE=EG﹣CG=AG?tan42°﹣CG=10× ﹣5=4 ﹣5(米) ;

答:该商场二楼的楼高 CE 为(4 ﹣5)米. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、坡度、勾股定理、三角函数;由勾股定理 求出 AG 是解决问题的关键. 22.如图,以 AB 为直径的⊙O 与弦 CD 相交于点 E,若 AC=2 BD 的长度. (保留 π) ,AE=3,CE= ,求弧

【考点】垂径定理;勾股定理;弧长的计算. 【分析】连接 OC,先根据勾股定理的逆定理得出△ ACE 是直角三角形,再由垂径定理得出 CE=DE, , 由三角函数求出∠A=30°, 由圆周角定理求出∠BOC, 由弧长公式得出 的长度= 的长度= π 即可. ,

【解答】解:∵AC=2 ,AE=3,CE= ∴AE2+CE2=AC2, ∴△ACE 是直角三角形,∠AEC=90°, ∴CD⊥AB,sin∠A= ,∠A=30°, 连接 OC,如图所示: ∴ 则∠BOC=2∠A=60°,OC= = = ,

=2,



的长度=

的长度=

= π.

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【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的逆定理、三角函数、弧长公式等知识;熟练掌 握勾股定理的逆定理,由垂径定理得出 是解决问题的关键. 23.如图,D 为△ ABC 边 AB 上一点,且 CD 分△ ABC 为两个相似比为 1: 三角形; (不妨如图假设左小右大) ,求: (1)△ BCD 与△ ACD 的面积比; (2)△ ABC 的各内角度数. 的一对相似

【考点】相似三角形的性质;解直角三角形. 【分析】 (1)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答; (2)根据锐角三角函数的概念解答即可. 【解答】解: (1)∵△BCD 和△ CAD 的相似比为 1: , ∴△BCD 和△ CAD 的面积比为 1:3; (2)∵△BCD∽△CAD, ∴∠BDC=∠ADC=90°, tanA= = = ,

∴∠A=30°, tanB= = ,

∴∠B=60°, ∴∠ACB=90°. 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质, 掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方以及 锐角三角函数的概念是解题的关键. 24.如图,△ ABC 中,AB=AC=6,F 为 BC 的中点,D 为 CA 延长线上一点,∠DFE=∠B. (1)求证: = ;

(2)若 EF∥CD,求 DE 的长度.

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【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】 (1)根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC,由等腰三角形的性质得到∠C=∠B,证 得△ CDF∽△BFE,根据相似三角形的性质得到 ;

(2)根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC,∠C=∠EFB,根据等腰三角形的性质得到 ∠B=∠C,等量代换得到∠FDC=∠C,推出 DF=CF,得到 BF=DF,推出△ DF≌△BFE,根 据全等三角形的性质得到结论. 【解答】 (1)证明:∵∠DFB=∠DEF+∠EFB=∠C+∠FDC, ∴∠EFB=∠FDC, ∵AB=AC, ∴∠C=∠B, ∴△CDF∽△BFE, ∴ ;

(2)解:∵EF∥CD, ∴∠EFD=∠FDC,∠C=∠EFB, ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠FDC=∠C, ∴DF=CF, ∴BF=DF, ∴EF= AC=3,∠DFE=∠BFE, 在△ DFE 与△ BFE 中, , ∴△DF≌△BFE, ∴DE=BE=3. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质, 熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 25. (1)已知二次函数 y=(x﹣1) (x﹣3)的图象如图,请根据图象直接写出该二次函数图 象经过怎样的左右平移,新图象通过坐标原点? (2)在关于二次函数图象的研究中,秦篆晔同学发现抛物线 y=ax2﹣bx+c(a≠0)和抛物线 y=ax2﹣bx+c(a≠0)关于 y 轴对称,基于协作共享,秦同学将其发现口诀化“a、c 不变,b 相反”供大家分享,而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c 相反,b 不变”,并按此法误
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写,然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称,请你写出小胡同学所写的与原抛物 y= (x﹣1) (x﹣3)的对称图形的解析式,并研究其与原抛物线的具体对称情况; (3)抛物线 y=(x﹣1) (x﹣3)与 x 轴从左到右交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,M 是 其对称轴上一点,点 N 在 x 轴上,当点 N 满足怎样的条件,以点 N、B、C 为顶点的三角形 与△ MAB 有可能相似,请写出所有满足条件的点 N 的坐标; (4)E、F 为抛物线 y=(x﹣1) (x﹣3)上两点,且 E、F 关于 D( ,0)对称,请直接写 出 E、F 两点的坐标.

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)首先求得抛物线与 x 轴的交点,即可求得平移的方向和距离; (2)根据“a、c 相反,b 不变”,即可求得对应的函数解析式,然后确定顶点即可判断; (3)△ MAB 中 M 是在抛物线的对称轴上,则△ MAB 为等腰三角形,则△ NBC 是等腰三 角形,同时根据∠OBC=45°,即已知等腰△ NBC 的一个角的度数,据此即可讨论,求解; (4)设 E 的坐标是(a,a2﹣4a+3) ,由点 E 与 F 关于点 D( ,0)对称,则可得 F 的坐标, 然后根据点 E 和点 F 的纵坐标互为相反数即可列方程求解. 【解答】解: (1)二次函数 y=(x﹣1) (x﹣3)与 x 轴的交点是(1,0)和(3,0) . 抛物线向左平移 1 个单位长度或 3 个单位长度即可使新图象经过坐标原点; (2)y=(x﹣1) (x﹣3)=x2﹣4x+3. ∵小胡同学听成了 a 与 c 相反,b 不变. ∴y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣(x+2)2+1,顶点坐标是(﹣2,1) , 故与原抛物线关于原点对称; (3)∵△MAB 中 M 是在抛物线的对称轴上, ∴MA=MB,即△ MAB 为等腰三角形, 又∵△MAB 与△ NBC 相似, ∴△NBC 是等腰三角形. ∵N 在 x 轴上, ∴∠CBN=45°或 135°. 当∠CBN=135°时,即 N 点在 B 的右侧且 BC=BN,则 N 的坐标是(3+3 ,0) ; 当∠CBN=45°时,即 N 在点 B 的左侧, 若△ MAB 的底角为 45°,此时三角形为等腰直角三角形,则 N 的坐标是(0,0)或(﹣3, 0) ; 若△ MAB 的顶角是 45°时,在△ NBC 中,BC=BN=3 ,则 N 的坐标是(3﹣3 ,0) ; 2 (4)设 E 的坐标是(a,a ﹣4a+3) , 由点 E 与 F 关于点 D( ,0)对称,则可得 F(3﹣a,a2﹣2a) ,

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∴点 E 和点 F 的纵坐标互为相反数,即 a2﹣4a+3+a2﹣2a=0, 解得:a1= ,a2= , (舍去) , ) ,F 的坐标是( ,﹣ ) .

∴E 的纵坐标是(

【点评】本题考查了二次函数与等腰三角形的性质,相似三角形的性质,正确理解△ NBC 是等腰三角形是本题的关键. 26. (14 分)如图点 C 在以 AB 为直径的半圆的圆周上,若 AB=4,∠ABC=30°,D 为边 AB 上一动点,点 E 和 D 关于 AC 对称,当 D 与 A 重合时,F 为 EC 的延长线上满足 CF=EC 的 点,当 D 与 A 不重合时,F 为 EC 的延长线与过 D 且垂直于 DE 的直线的交点, (1)当 D 与 A 不重合时,CF=EC 的结论是否成立?试证明你的判断. (2)设 AD=x,EF=y 求 y 关于 x 的函数及其定义域; (3)如存在 E 或 F 恰好落在弧 AC 或弧 BC 上时,求出此时 AD 的值;如不存在,则请说 明理由. (4)请直接写出当 D 从 A 运动到 B 时,线段 EF 扫过的面积.

【考点】圆的综合题. DF 交 BC 于 N. ED⊥AC, 【分析】 (1) 设 DE 交 AC 于 M, 由轴对称图形的性质可知 EM=DM, 然后可证明 AC∥DF,由平行线分线成比例定理可知 ;

(2)①当 D 与 A 不重合时.先证明四边形 CNDM 是矩形,从而得到 MD∥BC,由平行线 的性质可知∠ADM=∠ABC=30°,由特殊锐角三角函数可知 ED= ﹣x)=2﹣ ,DN= = (4

,然后由平行线分线段成比例定理可知 DN=NF,从而得到 DF=2DN=4﹣x,

y=2AC=4; ②当 D 与 A 重合时, 最后在 Rt△ EFD 中, 由勾股定理可求得 y 与 x 的函数关系式; (3)①当点 E 在弧 AC 上时.由题意可知∠CAD=60°,由点 E 与点 D 关于 AC 对称可知: ∠EAD=120°,故此点 E 不在弧 AC 上,故当且仅当点 D 与点 A 重合是,点 E 也与点 A 重 合时,成立;②当点 F 在 上时,如图 3 所示,连接 BF、AF.由题意可知∠FDB=60°, 由(2)可知 DF=2DN,DB=2DN,故此 DF=DB,从而可证明△ DFB 为等边三角形,于是 得到 DB=DF,然后再证明 AD=DF,从而可知点 D 与点 O 重合,于是得到 AD= =2;

(4)由(2)可知∠EAD=2∠CAD=120°,故此点 E 运动的轨迹为一条线段,由(3)可知 ∠FBD=60°,故此点 F 运动的轨迹也是一条线段,然后画出图形,最后利用三角形的面积公 式即可求得答案. 【解答】解: (1)成立. 如图 1 所示:设 DE 交 AC 于 M,DF 交 BC 于 N.
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∵点 E 与点 D 关于 AC 对称, ∴EM=DM,ED⊥AC. 又∵DE⊥DF, ∴AC∥DF. ∴ .

∴CE=CF. (2)①当 D 与 A 不重合时. ∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°, ∴四边形 CNDM 是矩形. ∴MD∥BC. ∴∠ADM=∠ABC=30°. ∵在 Rt△ AMD 中,∠ADM=30°, ∴MD= = .

∴ED= . 在 Rt△ BDN 中,∠DBN=30°, ∴DN= = (4﹣x)=2﹣ .

∵MD∥BC, ∴ .

∴DN=NF. ∴DF=2DN=4﹣x. 在 Rt△ EDF 中,由勾股定理可知 EF=y= = =2 (0<x≤4) ;

②当 D 与 A 重合时,如图 2 所示;

∵CF=EF,
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∴y=2AC=4. (3)①当点 E 在弧 AC 上时. ∵∠CAD=60°,点 E 与点 D 关于 AC 对称, ∴∠EAD=∠DAM=60°. ∴∠EAD=120°. ∵当点 E 在弧 AC 上时,∠EAD≤90°, ∴此种情况不成立. 故当且仅当点 D 与点 A 重合是,点 E 也与点 A 重合时,成立. ∴AD=0. ②当点 F 在 上时,如图 3 所示,连接 BF、AF.

∵∠DBN=30°,∠BND=90°, ∴∠FDB=60°. ∵由(2)可知 DF=2DN,DB=2DN, ∴DF=DB. ∴△DFB 为等边三角形. ∴∠DBF=60°,∠DFB=60°. ∴∠AFD=30°. ∵AB 是圆 O 的直径, ∴∠AFB=90°. ∵∠CFA=∠CBA=30°, ∴∠CFB=120°. ∴∠CFB+∠FBD=180°. ∴∠CF∥DB. ∴∠FAD=∠CFA=30°. ∴∠FAD=∠AFD=30°. ∴AD=DF=DB. ∴点 D 与点 O 重合. ∴AD= =2.

综上所述,AD=0 或 AD=2. (4)如图 4 所示;E、F 的初始位置为 E1、F1,E1 与 A 点重合,E、F 的终止位置为 E2、 F2,F2 与 B 点重合.

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∵由(2)可知∠EAD=2∠CAD=120°, ∴点 E 运动的轨迹为线段 AE1. ∵由(3)可知∠FBD=60°, ∴点 F 运动的轨迹为线段 BF2. ∴阴影部分的面积即为所求,S=2× ×AC?BC=2× ×2 ×2=4 .

【点评】本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了轴对称图形的性质、平行线 分线段成比例定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定,根据∠EAD 和 ∠FBD 为固定值,判断点 E、F 运动的轨迹都是一条线段是解题的关键.

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