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高三文科数学 9月 月考试卷(新课标)


2013.9.27

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,共 60 分,在每小题给出的四个 选 项中,只有一个是符合题目要求的)
1. 定义集合 为 ( A. 2 C ) B. 4 C. 8 D. 16 ,若 则 的子集个数

2.函数

的定义域为 (

B



A.(

,1)

B.(

,+∞)

C.(1,+∞) D. (

,1)∪(1,+∞) A )

3.已知 p:(a-1)2≤1;q:任意 x∈R,ax2 -ax+1≥0,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知函数

为 R 上的单调函数,则实数 的取值范围是 ) B. C ) B. C. D.



A A.

5. 下列命题中,真命题是(

A.

C.
6. 已知函数 A. 7. 已知 函数

的充分条件

D.
, 则下列结论一定成立的是 B ) (

B. 的 周 期 为 2, 当 ,则函数 时,

C.

D. , 如果 A )

的所有零点之和为( D.8 ,若对于任意

A.2 10. 函数

B.4

C.6

∈[-1,1],恒有



则 x 的范围是 ( A.x>0 11. 设函数 差数列,且 A. 可正可负

D ) C.1<x<3 时, D。 x<4 是减函数,若数列 的值 C. 恒为零 ( B ) 是等

B. x<1 或 x>3

是定义在 R 上的奇函数,且当 <0, 则 B. 恒为负值

D. 恒为正值

1 12. 已知函数 f(x)=2x-log2 x,实数 a,b,c 满足 a<b<c,且满足 f (a) f (b) f (c)<0,若实 数 x0 是函数 y=f(x)的一个零点,则下列结论一定成立的是( A.x0 >c 二、填空题: B.x0 <c C.x0 >a D.x0 <a B )

(共 4 小题,每小题 5 分,答案填在答题卷相应的位置)

13. 已知函数 ①.

有两个零点 x1,x2,则正确的序号是----<1
②. ③. ④.

14. 已知 f(x)是奇函数, f(2-x)=f(x), x∈[2,3]时, 且 当 f(x)=log2 (x-1), 则 ___. 15.设集合 函数



_

则 x0 取值区间是

.

1 1 16. 给出定义:若 m-2<x≤m+2(其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作{x} =m,在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x-{x}|的四个命题: 1 ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为2; 1 ②函数 y=f(x)在2上是增函数; ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; k ④函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2(k∈Z)对称. 其中正确命题的序号是__ (1)(2) (4) 三、解答题:(共 6 小题,70 分写出详细过程,推理步骤) x2-4x+3<0, 17. (10 分)已知 p:2x2 -9x+a<0,q:x2-6x+8<0,且 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

18.(12 分) 已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,满足 f(x)+f(y)=f(x+y)+2,当 x>0 时,f(x)>2. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; 2 (2)当 f(3)=5 时,解不等式:f(a -2a-2)<3.

19. (12 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[-2,2]上的最大值、最小值分别是 M、m,集 合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1,2},且 f(0)=2,求 M 和 m 的值; (2)若 A={1},且 a≥1,记 g(a)=M+m,求 g(a)的最小值

2

19. [解答] (1)由 f(0)=2 可知 c=2, 又 A={1,2},故 1,2 是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的两实根,

∴,解得 a=1,b=-2, ∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2]. 当 x=1 时 f(x)min=f(1)=1,即 m=1; 当 x=-2 时 f(x)max=f(-2)=10,即 M=10. (2)由题意知方程 ax2+(b-1)x+c=0 有两相等实根 x=1, ∴,即 c=a, ∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为
c b=1-2a, 1

c

x= 2a =1-2a.
又 a≥1,故 1-2a∈,1, ∴M=f(-2)=9a-2,m=f 2a =1-4a, ∴g(a)=M+m=9a-4a-1. 又 g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的, ∴当 a=1 时,g(a)min= 4 .
31 1 2a-1 1 1 1

2a-1

20. (12 分) 已知函数 (1) 若 (2) 若 ,求 x 的值 对于 恒成立,求实数 m 的取值范围

20. (12 分) 解析: : ( 1) 由 于 g( x) 为 奇 函 数 , 且 定 义 域 为 R,

∴ g( 0) =0, 即

∵ f ( x )= log 4 (4 x +1)+ mx , x x ∴ f (? x )= log 4 (4 ? +1)? mx = log 4 (4 +1)?( m +1) x , ∵ f( x) 是 偶 函 数 , ∴ f( -x) =f( x) , 得 mx=-( m+1) x 恒 成 立 , 故 m = ? ,

综 上 所 述 , 可 得 m+n= ( 2) 又 ∵ g ( x )=

,…(4 分)

= 2 x ?2 ? x 在 区 间 [1, +∞ ) 上 是 增 函 数 , ∴ 当 x≥ 1 时 , g ( x ) m i n = g (1)= …(3 分)

由题意,得

因 此 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是 : { a |?1<a<3

21.(12 分)已知函数 ⑴讨论函数 的单调区间;



⑵若函数



上的最小值是

求 的值.

22.解:函数 分 ⑴当 时, ∴

的定义域为



…………1

故函数在其定义域

上是单调递增的. ………

3分 当 a>0 时 , 函数在 (0, 上是单调递减的, (a,+∞) a) 在 上是单调递减的……… 5分

⑵在 ①当

上,分如下情况讨论: 时, ,函数 单调递增,其 最小值为 ,这与函数在

上的最小值是 相矛盾; ②当 时,函数 在 单调递增,其最小值为 ,

同样与最小值是 相矛盾;…………………7 分 ③当 时,函数 在 上有 ,单调递减,在 上有

,单调递增,所以函数 ……9 分 ④当 时,函数 在 上有

满足最小值为

,由

,得

,单调递减,其最小值为



还与最小值是 相矛盾;

⑤当

时,显然函数



上单调递减,其最小值为

,仍

与最小值是 相矛盾;…………………………………………11 分 综上所述, 的值为 ………………12 分

22.(12 分)已知函数 (1)若函数 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

(2)设

21(本小题满分 12 分).已知函数 数的底数),曲线 (Ⅰ)求 k 的值;(Ⅱ)求 (Ⅲ)设 . 在点

为常数,e=2.71828…是自然对 处的切线与 x 轴平行.

的单调区间; ,其中 为 的导函数.证明:对任意

21 解:(I) 3分

,由已知,

,∴

。。。。。。。。

(II)由(I)知, 设 由 当 时 知,当 ,从而 ,则 时

. ,即 ,从而 . 在 , 上是减函数,

综上可知, 8分

的单调递增区间是

,单调递减区间是

。。。。。。。。

(III)由(II)可知,∴ g (x)=-lnx-2

. )单调减

x (0,e ),g(x)单调递增,x (e , +

1+e 即不等式成立。。。。。。。。12 分
C B A

A C
B A D B

(1)(2) (4)

19. [解答] (1)由 f(0)=2 可知 c=2, 2 又 A={1,2},故 1,2 是方程 ax +(b-1)x+c=0 的两实根, ∴,解得 a=1,b=-2, ∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-2,2]. 当 x=1 时 f(x)min=f(1)=1,即 m=1; 当 x=-2 时 f(x)max=f(-2)=10,即 M=10. (2)由题意知方程 ax2+(b-1)x+c=0 有两相等实根 x=1, ∴,即 c=a, ∴f(x)=ax2+(1-2a)x+a,x∈[-2,2],其对称轴方程为
c b=1-2a, 1 c

x= 2a =1-2a.
又 a≥1,故 1-2a∈,1, ∴M=f(-2)=9a-2,m=f 2a =1-4a, ∴g(a)=M+m=9a-4a-1.
1 2a-1 1 1 1

2a-1

又 g(a)在区间[1,+∞)上为单调递增的, ∴当 a=1 时,g(a)min= 4 .
31

22.解:函数 分 ⑴当 时, ∴

的定义域为



…………1

故函数在其定义域

上是单调递增的. ………

3分 当 a>0 时 , 函数在 (0, 上是单调递减的, (a,+∞) a) 在 上是单调递减的……… 5分

⑵在 ①当

上,分如下情况讨论: 时, ,函数 单调递增,其 最小值为 ,这与函数在

上的最小值是 相矛盾; ②当 时,函数 在 单调递增,其最小值为 ,

同样与最小值是 相矛盾;…………………7 分 ③当 时,函数 在 上有 ,单调递减,在 上有

,单调递增,所以函数 ……9 分 ④当 时,函数 在 上有

满足最小值为

,由

,得

,单调递减,其最小值为



还与最小值是 相矛盾;

⑤当

时,显然函数



上单调递减,其最小值为

,仍

与最小值是 相矛盾;…………………………………………11 分

综上所述, 的值为

………………12 分

综上可知, 8分

的单调递增区间是

,单调递减区间是

。。。。。。。。

(III)由(II)可知,∴ g (x)=-lnx-2

. )单调减

x (0,e ),g(x)单调递增,x (e , +

1+e 即不等式成立。。。。。。。。12 分

21 解:(I) 3分

,由已知,

,∴

。。。。。。。。

(II)由(I)知, 设 由 当 时 知,当 ,从而 ,则 时

. ,即 ,从而 . 在 , 上是减函数,


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