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吉林省长春市十一中2015-2016学年高二上学期期中考试 数学(理)


体验 探究 合作 展示

长春市十一高中 2015-2016 学年度高二上学期期中考试 数学试题(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.若直线 l 经过点 A(1, 3) 和 B (1,0) ,则直线 l 的倾斜角为( A. 0
?



B. 60?
2

C. 90?

D.不存在 )

2.抛物线 y ? ax (a ? 0) 的准线方程是( A. x ?

a 4

B. x ? ?

1 4a

C. y ?

a 4

D. y ? ?

1 4a


x2 y 2 1 ? ? 1 的离心率为 ,则 m =( 3.若焦点在 x 轴上的椭圆 2 m 2
A. 3 B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3


4.过点 A(1,2) 且与原点距离最大的直线方程是(

A. 3 x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0 5.点 A( ?1,0) 和点 B (1,1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. ? 2 ? a ? 1 6.已知双曲线 ( ) A. 0 条 B. a ? ?2 或 a ? 1 C. ? 1 ? a ? 2 D. a ? ?1 或 a ? 2 )

x2 ? y2 ? 1, 过点 O(0,0) 作直线 l 与双曲线仅有一个公共点, 这样的直线 l 共有 4
C. 4 条 D.无数条
2 2

B. 2 条

7.经过直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 上的点 P ,向圆 O : x ? y ? 1引切线,切点为 A ,则切线长

PA 的最小值为(
A. 2

) C. 3 D. 2 3

B. 2 2

8.已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的一条渐近线与直线 l : x ? 3 y ? 0 垂直,且 C 的一个焦点

到 l 的距离为 3 ,则 C 的标准方程为( A.

)

y2 x2 ? ?1 9 3

B.

x2 y2 ? ?1 9 3

C.

y2 x2 ? ?1 4 6

D.

x2 y2 ? ?1 4 6
经 后

9.如图,已知 A(4,0) , B(0,4) ,从点 P(2,0) 射出的光线 直线 AB 反射后再射到直线 OB 上, 最后经直线 OB 反射 又回到 P 点,则光线所经过的路程是( A. 6 B. 2 10 C. 3 3 ) D. 2 5

10.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,点 M ( x0 , y0 ) 是直线 x ? y ? 2 ? 0 上一点,若圆 O 上存在一点 N , 使得 ?NMO ? A. ?? 2,0?

?
6

,则 x0 的取值范围是( C. ?2,4?
2 2

) D. (?1,3)

B. (0,3)

11.已知点 A(4,3) , P 是双曲线 x ? y ? 2 右支上一点, F 为双曲线的右焦点,则

PA ? PF 的最小值是(
A. 2 5 ? 3

) C. 3 2 ? 2 D. 2 5 ? 2

B. 3 5 ? 2 2

12.已知 a ? b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ?1, C ,双曲线 的方程为 2 a 2 b2 a 2 b2


C1 与 C2 的离心率之积为
A. 2 B. 3

3 ,则双曲线 C2 的离心率为( 2
C.

5 2

D.

6 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 y 2 ? 5x 上的两点 A , B 到焦点的距离之和是 10 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离 是 .

?x ? 2 y ? 0 ? 14. 设 z ? x ? y , 其 中 实 数 x, y 满 足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的 最 大 值 为 12 ,则 z 的 最 小 值 ?0 ? y ? k ?
为 .
2 2

15. 若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C 2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数

m 的取值范围是

.

16.已知点 P 是椭圆 16x ? 25y ? 400 上一点,且在 x 轴上方, F1 , F2 分别是椭圆的左、右
2 2

焦点,直线 PF2 的斜率为 ? 2 2 ,则 ?PF1 F2 的面积为

.

三、解答题:共 6 小题,第 17 小题 10 分,第 18、19、20、21、22 小题各 12 分,共 70 分. 17.已知 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,1), B(3, 2), C (5, 4) . (Ⅰ)求 AB 边上的高所在直线的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 AC 平行,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,求直线 l 与两条坐标 轴围成的三角形的周长.

18.已知圆 C 的半径为 1 ,圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上. (Ⅰ)若圆 C 被直线 x ? y ? 3 ? 0 截得的弦长为
y

2 ,求圆
A

C 的标准方程;
(Ⅱ)设点 A(0,3) ,若圆 C 上总存在两个点到点 A

的距离为
O B x

2 ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

19.如图,已知抛物线 C : x ? 2 py(0 ? p ? 4) ,其上一
2

y A F O B x

点 抛物线

M (4, y0 ) 到其焦点 F 的距离为 5 ,过焦点 F 的直线 l 与

C 交于 A, B 左、右两点.
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)若 AF ?

1 FB ,求直线 l 的方程. 2

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点, O 是坐标原点. 20.直线 l 过点 M ( 2,1) ,且与椭圆 8 4
(Ⅰ)若点 M 是弦 AB 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过椭圆的左焦点,求数量积 OA ? OB 的值.

x2 ? y 2 ? 1 交于 A, B 两点,记 ?AOB 的面积为 S , O 是坐 21.如图,直线 y ? kx ? b 与椭圆 4

标原点. (Ⅰ)当 k ? 0,0 ? b ? 1 时,求 S 的最大值; (Ⅱ)当 AB ? 2, S ? 1时,求直线 AB 的方程.

22.已知动圆 Q 过定点 A(2, 0) 且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4 . (Ⅰ)求动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P(?2,1) ,动直线 l 和坐标轴不垂直,且与轨迹 C 相交于 A, B 两点,试问:在 x 轴上是否存在一定点 G ,使直线 l 过点 G ,且使得直线 PA , PG , PB 的斜率依次成等差数 列?若存在,请求出定点 G 的坐标;否则,请说明理由. 理科数学答案 一、选择题 1 2 C 二、填空题 13. D

3 B

4 D

5 C

6 A

7 C

8 A

9 B

10 A

11 B

12 D

15 4

14. ? 6

15. (?

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3

16. 8 2

三、解答题 17.解:(Ⅰ)? k AB ?

1 ,∴边 AB 上的高所在直线的斜率为 ?2 2
4分

又∵直线过点 C (5, 4) ∴直线的方程为: y ? 4 ? ?2( x ? 5) ,即 2 x ? y ? 14 ? 0 (Ⅱ)设直线 l 的方程为:

x y a 3 ? ? 1 ,即 y ? ? x?a ? k AC ? a ?1 a a ?1 4 x y 3 a 3 ∴直线 l 的方程为: ? ?1 ?? ? , 解得: a ? ? 4 3 7 a ?1 4 ? 7 7 4 7 3 7
4 7
2

∴直线 l 过点 ( ,0),(0, ? ), 三角形斜边长为 ( ) ? ( ) ?
2

3 7

5 7
6分

∴直线 l 与坐标轴围成的直角三角形的周长为

5 4 3 12 ? ? ? . 7 7 7 7

18.解: (Ⅰ)因为圆心 C 在直线 3x ? y ? 0 上,所以设圆心 C 的坐标为 (a,3a) ,因为圆 C 的 半径为 1,圆 C 被直线 x ? y ? 3 ? 0 截得的弦长为 2 ,所以圆心 C 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距

? 2? a ? 3a ? 3 2a ? 3 2a ? 3 2 2 ? ? 离d ? 1 ?? ,又 d ? ,所以 , ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 ? ?
2

2

解得 a ? 1 或 a ? 2 ,所以圆心 C 的坐标为 (1,3) 或 ( 2,6) . 圆 C 的标准方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 或 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 1 . 6分

(Ⅱ)设圆 A : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,由(Ⅰ)设圆心 C 的坐标为 (a,3a) .由题意,问题等价于 圆 A 和 圆 C 相 交时 , 求圆 心 C 横 坐 标 a 的 取值 范 围, 即: 1 ?

a 2 ? (3a ? 3) 2 ? 3 , 由

a 2 ? (3a ? 3) 2 ? 1 整理得 5a 2 ? 9a ? 4 ? 0 ,解得 a ?
2 理得 5a ? 9a ? 0 ,解得 0 ? a ?

4 2 2 或 a ? 1 ;由 a ? (3a ? 3) ? 3 整 5

9 . 5
6分

所以 0 ? a ?

9 4 或1 ? a ? . 5 5

?16 ? 2 py0 ? 19.解 (Ⅰ) 由题意, , 解得 p ? 2 或 p ? 8 , 由题意 0 ? p ? 4 , 所以 p ? 2 ,y0 ? 4 . ?p ? y ? 5 0 ? ?2
所 5分 (Ⅱ)解方程组 ? 以 抛 物 线 标 准 方 程 为

x2 ? 4 y

.

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y
2

2 ,消去 y ,得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,

2 显然 ? ? 16k ? 16 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k ①

x1 x2 ? ?4 ②

又 AF ?

1 1 FB ,所以 (? x1 ,1 ? y1 ) ? ( x2 , y2 ? 1) 即 x2 ? ?2 x1 ③ 2 2
2 1 ,由题意, k ? 4 8
7分
2 2 2 2

由①② ③消去 x1 , x2 ,得 k 2 ?

故直线 l 的方程为 y ?

2 x ?1 . 4
2 2 2 2

20.解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,代入椭圆方程得 x1 ? 2 y1 ? 8 , x2 ? 2 y2 ? 8 , 两 式

( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 0 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , y ? y2 x ?x 所以 k ? 1 ?? 1 2 , x1 ? x2 2( y1 ? y2 )
作 差 得













x0 2 5分 ?? ? ?1 ,所以 l 方程为: x ? y ? 3 ? 0 . 2 y0 2 ?1 1 (Ⅱ)因为 F (?2,0) , M (2,1) ,所以 l 斜率 k ? ,所以 l 方程为: x ? 4 y ? 2 ? 0 , 4 ?x ? 4 y ? 2 ? 0 联立解方程组 ? 2 , 得 9 y 2 ? 8 y ? 2 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所 以 2 ?x ? 2 y ? 8 8 2 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? , x1 x2 ? (4 y1 ? 2)(4 y2 ? 2) ? 16y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 4 9 9 2 8 62 所 以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 17 y1 y2 ? 8( y1 ? y2 ) ? 4 ? 17 ? (? ) ? 8 ? ? 4 ? ? 7 9 9 9
即k ? ? 分 21.解: (Ⅰ)设点 A 的坐标为 ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) ,

x2 ? y 2 ? 1 ,解得 x1, 2 ? ?2 1 ? b 2 , 由 4
所以 S ?

1 b x1 ? x2 ? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2

当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1. 2

5分

? y ? kx ? b ? (Ⅱ)由 ? x 2 得, (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

? ? 16(4k ? b ? 1)
2 2

① , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,x1 ? x2 ? ?

4b 2 ? 4 8kb ,x1 x2 ? 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2

2

16(4k 2 ? b 2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
?



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

b 1? k
2

2S ? 1 ,所以 b 2 ? k 2 ? 1 AB



2 4 2 ③代入②并整理,得 4k ? 4k ? 1 ? 0 解得, k ?

1 3 2 , b ? 代入①式检验, ? ? 0 , 2 2
7分

故直线 AB 的方程是 y ?

2 6 2 6 ,或 y ? ? . x? x? 2 2 2 2
( x ? 2) 2 ? y 2 ,
2

2 2 22.解: (Ⅰ)设 Q ( x, y ) ,根据题意得 | x | ?2 ?

整理得 y ? 4 x ,所以动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程是 y ? 4 x .
2

4分

(Ⅱ)设存在符合题意的定点 G .

设直线的方程为 x ? ny ? m(n ? 0 且 n ? R) ,则 G(m,0) . 将 x ? m ? ny 代入 y ? 4 x ,整理得 y 2 ? 4ny ? 4m ? 0 .由题意得 ? ? 16n2 ? 16m ? 0 ,即
2

n2 ? m ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4n , y1 ? y2 ? ?4m ,

k PA ?

y1 ? 1 y ? 1 4( y1 ? 1) 1 1 4( y2 ? 1) ? 1 ? 2 ?? , k PB ? , k PG ? ,由题意得 2 2 x1 ? 2 y1 y1 ? 8 ?2 ? m m?2 y2 ? 8 ?2 4
2( y1 ? 1) 2( y2 ? 1) 1 ? ? ? 0 ,即: 2 2 y1 ? 8 y2 ? 8 m ? 2

kPA ? kPB ? 2kPG ,即 kPA ? kPB ? 2kPG ? 0 ,所以

2(m ? 2) y1 y2 ( y1 ? y2 ) ?16(m ? 2)( y1 ? y2 ) ? 2[( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ](2 ? m) ? ( y1 y2 )2 ? 32m ? 0
把 y1 ? y2 ? 4n , y1 ? y2 ? ?4m 代入上式,整理得 (m ? 2)n ? (m ? 2)(2 ? m) , 又因为 n ? R ,所以 ?

?(m ? 2)(2 ? m) ? 0 ,解得 m ? 2 ?m ? 2 ? 0
8分

所以存在符合题意的定点 G ,且点 G 的坐标为 (2, 0) .


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