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2.3.4 平面向量共线的坐标表示 学案(人教A版必修4)


2.3.4

平面向量共线的坐标表示
自主学习

知识梳理 1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有________________. (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有__________.即两向量的相应坐标成比例. → → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈__________时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈__________时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上. 自主探究

设 P(x,y)为线段 P1P2 上的一点,P1(x1,y1),P2(x2,y2). → → 当P1P=λPP2 (λ≠-1)时,求 P 点的坐标.

对点讲练 知识点一 平面向量共线的坐标运算 例 1 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是 同向还是反向?

回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断, 特别是 利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配. → → 变式训练 1 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是否共线?如果共 线,它们的方向相同还是相反?

知识点二 平面向量的坐标运算 例2 坐标. → → 已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP|=2|PB|,求点 P 的

回顾归纳 在求有向线段分点坐标时, 不必过分强调公式记忆, 可以转化为向量问题后 解方程组求解,同时应注意分类讨论. → → 变式训练 2 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向,|AB|=2 13,求点 B 的坐 标.

知识点三 利用共线向量求直线的交点 例3 如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

回顾归纳 本例中的两个方法, 在充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面 给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法. 而且更为重要的是给我们提 供了求直线与直线交点的向量方案. → 变式训练 3 平面上有 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)三点,点 C 在直线 AB 上,且AC= 1→ → 1→ BC,连接 DC,点 E 在 CD 上,且CE= ED,求 E 点坐标. 2 4

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. x2 y2 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三 点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思 想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据. 课时作业 一、选择题 → → 1.已知三点 A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,则 D 点坐标是( ) A.(1,0) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 2.若三点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x 的值为( ) 9 A.-1 B.3 C. D.5 2 3.已知向量 m=(-7,2+k),n=(k+13,-6),且 m∥n,则 k 的值等于( ) A.1 B.-2 C.-16 D.1 或-16 4.已知 A、B、C 三点在一条直线上,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6, 则 C 点的纵坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 D.13 二、填空题 5. 设向量 a=(1,2), b=(2,3). 若向量 λa+b 与向量 c=(-4, -7)共线, 则 λ=________. → → → 6.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果 A、B、C 三点共线,则实数 k=________. 7.已知点 A(-1,-3),B(1,1),直线 AB 与直线 x+y-5=0 交于点 C,则点 C 的坐标 为________. 三、解答题 → → → 8.已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),试求 λ 为何值时,点 P 在 第三象限内?

9.线段 AB 的端点坐标分别为 A(-1,1),B(-2,0),且|AC|= 2|CB|,当 A、B、C 三 点共线时,求 C 点的坐标.

2.3.4
知识梳理

平面向量共线的坐标表示 答案

x1 y1 (2) = x2 y2 2.(0,+∞) (-∞,-1) (-1,0) 自主探究 → → → → → 解 OP=OP1+P1P=OP1+λPP2 → → → → → → =OP1+λ(OP2-OP)=OP1+λOP2-λOP → → 1 λ → OP1+λOP2 ∴OP= = (x1,y1)+ (x ,y ) 1+λ 1+λ 1+λ 2 2 1 1 λ λ =?1+λx1,1+λy1?+?1+λx2,1+λy2? ? ? ? ? ?x1+λx2,y1+λy2?. =? ? 1+ λ ? ? 1+λ ?x1+λx2,y1+λy2?. ∴P? 1+λ ? ? 1+λ ? 对点讲练 例 1 解 方法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2) =(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ, 使 ka+b=λ(a-3b). 由(k-3,2k+2)=λ(10,-4), ? ?k-3=10λ, ∴? ? ?2k+2=-4λ. 1 解得 k=λ=- . 3 1 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b), 3 3 1 ∵λ=- <0,∴ka+b 与 a-3b 反向. 3 方法二 由方法一知 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4),∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=- . 3 1 2 1 ? 此时 ka+b=? ?-3-3,-3+2?=-3(a-3b), 1.(1)x1y2-x2y1=0

1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3 → 变式训练 1 解 AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), → CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). 方法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0, 且(-2)×4<0, → → ∴AB与CD共线且方向相反. → → → → 方法二 ∵CD=-2AB,∴AB与CD共线且方向相反. 例 2 解 设 P 点坐标为(x,y). → → → → → → ∵|AP|=2|PB|,∴AP=2PB或AP=-2PB. → → 当AP=2PB时,(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 1 ? ? ?x=3 ?x-3=-2-2x ∴? ,解得? , ? ?y+4=4-2y ? ?y=0 1 ? ∴P 点坐标为? ?3,0?. → → 当AP=-2PB时, 则(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ?x-3=2+2x ?x=-5 ? ? ∴? ,解得? . ? ? ?y+4=-4+2y ?y=8 ∴P 点坐标为(-5,8). 1 ? 综上,点 P 的坐标为? ?3,0?或(-5,8). → → 变式训练 2 解 设AB=(x,y),因AB与 a 同向, → ∴AB=λa (λ>0),即(x,y)=λ(2,3), ?x=2λ, ? → ∴? 又|AB|=2 13, ? y = 3 λ , ? ∴x2+y2=52.∴4λ2+9λ2=52,λ=2 (λ>0). → 即AB=(4,6).∴点 B 的坐标为(5,4). 例 3 解 方法一 由 O,P,B 三点共线, → → 可设OP=λOB=(4λ,4λ), → → → 则AP=OP-OA=(4λ-4,4λ), → → → AC=OC-OA=(-2,6), → → 由AP与AC共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 3 → 3→ 解之得 λ= ,∴OP= OB=(3,3), 4 4 ∴P(3,3)即为所求. → 方法二 设 P(x,y),则OP=(x,y), → → → 且OB=(4,4),又OP与OB共线,所以 x=y. → → → → 又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),AP与AC共线, 则得(x-4)×6-y×(-2)=0, 解之得 x=y=3.∴P 点坐标为(3,3)

→ 1→ → → 变式训练 3 解 ∵AC= BC,∴2AC=BC, 2 → → → → ∴2AC+CA=BC+CA, → → ∴AC=BA,设 C 点坐标为(x,y). 则(x+2,y-1)=(-3,-3),∴x=-5,y=-2. → 1→ → → ∴C(-5,-2),∵CE= ED,∴4CE=ED 4 → → → → → ∴4CE+4ED=5ED,∴4CD=5ED. ∴设 E 点坐标为(x′,y′), 则 4(9,-1)=5(4-x′,-3-y′). 16 x′=- ? 5 20 - 5 x ′ = 36 ? ∴? ,∴ . 11 ?-15-5y′=-4 ? y′=- 5 16 11 ? ∴E 点坐标为? ?- 5 ,- 5 ?. 课时作业 1.C 2.B 3.D 4.C [设 C 点坐标为(6,y), → → 则AB=(-8,8),AC=(3,y+6). 3 y+6 ∵A、B、C 三点共线,∴ = ,∴y=-9.] 8 -8 5.2 解析 λa+b=(λ+2,2λ+3),c=(-4,-7), λ+2 2λ+3 ∴ = ,∴λ=2. -4 -7 6.-2 或 11 → → 解析 BA=(k-4,7),BC=(6,k-5). ∵A、B、C 三点共线,∴(k-4)(k-5)-6×7=0. 解得 k=-2 或 k=11. 7.(2,3) → → 解析 设AC=λAB=λ(2,4)=(2λ,4λ). → → → ∴OC=OA+AC=(2λ-1,4λ-3). 把 C 点坐标(2λ-1,4λ-3)代入直线 x+y-5=0. 3 解得 λ= .∴C 点坐标为(2,3). 2 8.解 设点 P 的坐标为(x,y), → 则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3), → → AB+λAC=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)] =(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). → → → ∵AP=AB+λAC, ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ). ? ? ?x-2=3+5λ, ?x=5+5λ, ∴? 则? ?y-3=1+7λ, ?y=4+7λ. ? ?

? ? ?

? ?5+5λ<0, 由点 P 在第三象限内,得? ?4+7λ<0, ? ∴当 λ<-1 时,点 P 在第三象限内.

∴λ<-1.

→ → 9.解 设 C(x,y),当 C 为内分点时,AC= 2CB. ∴(x+1,y-1)= 2(-2-x,-y)

?x+1=-2 2- 2x ?x= 2-3 ∴? ,∴? ?y-1=- 2y ?y= 2-1.
∴C( 2-3, 2-1). → → 当 C 为外分点时,AC=- 2CB. ∴(x+1,y-1)=- 2(-2-x,-y).

?x+1=2 2+ 2x ?x=- 2-3 ∴? ,∴? . ?y-1= 2y ?y=- 2-1
∴C(- 2-3,- 2-1).


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