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空间向量与立体几何试题与答案


空间向量与立体几何测试题
1.已知向量 a ? ( x, y,1), b ? (3,2, z ) ,且 a // b ,则 xz ? yz 的值是( (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 )

2.已知向量 a ? (0,1,?1), b ? (1,0,2) ,若向量 k a ? b 与向量 a ? b 互相垂直,则 k 的值 是( (A) )

3 2

(B) 2

(C) )

5 4

(D)

7 4

3.下面命题正确的个数是( ①若 p ? 2x ? 3 y ,则

p 与 x 、 y 共面;

②若 MP ? 2MA ? 3MB ,则 M、P、A、B 共面; ③若 OA ? OB ? OC ? OD ? 0 ,则 A、B、C、D 共面; ④若 OP ? (A)1

1 5 1 OA ? OB ? OC ,则 P、A、B、C 共面; 2 6 3
(B)2 (C)3 (D)4

OB ? (2,1,2) , OP ? (1,1,2) , 4. 已知 OA ? (1,2,3) , 点 Q 在直线 OP 上运动, 则当 QA ? QB
取得最小值时,点 Q 的坐标为( (A) ( )

4 4 8 , , ) 3 3 3

(B) (

1 2 3 , , ) 2 3 4

(C)

1 3 1 ( , , ) 2 4 3

(D) (

4 4 7 , , ) 3 3 3

5.如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把 ?ABD 和 ? ACD 折成互相垂直 的两个平面后,某学生得出下列四个结论: ① BD ? AC ? 0 ;
D A A

② ?BAC ? 60 ? ; ③三棱锥 D ? ABC 是正三棱锥;
B D C

B C

④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是( (A)①② ) (B)②③ (C)③④ (D)①④

1

6.已知 a =(2,-1,3) , b =(-1,4,-2) , c =(7,5,λ ) ,若 a 、 b 、 c 三向量共 面,则实数 λ 等于( (A) )

62 7

(B)

63 7

(C)

64 7

(D)

65 7

7.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 , E 是 A1 B1 的中点,则 E 到平面 ABC1 D1 的距离 ( (A) )

3 2

(B)

3 3

(C)

1 2

(D) 2
2

8. 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,则下列四个命题: ① P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1PC 的体积不变; ② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③ P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线 其中真命题的编号是( (A)①③④ ) (D)①②③

(B)③④ (C)①③

9. 已知空间三点 O(0,0,0), A(?1,1,0), B(0,1,1) , 在直线 OA 上有一点 H
D1

满足 BH ? OA ,则点 H 的坐标为

C1 B1 N



A1 D A

M 、 N 分别是 CD 、 CC1 的中 10. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是____________。 11. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 _______ cm .
3

M B

C

12. 若 a ? (2,3,?1) , b ? (?2,1,3) ,则以 a, b 为邻边的平行四边形的面 积为 .

2

13. 如图, ABCD 是边长为 a 的菱形,且 ?BAD ? 60 ? , ?PAD 为正三角形,且面 PAD ⊥ 面 ABCD 。 (1)求 cos AB, PD 的值;
F P

(2)若 E 为 AB 的中点, F 为 PD 的中点,求 EF 的值; (3)求二面角 P ? BC ? D 的大小.

A E B

D

C

14. 正方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1 的棱长为 2 ,且 AC 与 BD 交于点 O , E 为棱 DD1 中点, 以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,如图所示。 (1)求证: B1 O ? 平面 EAC ; (2)若点 F 在 EA 上且 B1 F ? AE ,试求点 F 的坐标; (3)求二面角 B1 ? EA ? C 的正弦值.
B B1 F A O C D A1 C1 E

z
D1

y

x

3

15. 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8 ,对角线 B1 C ? 10 , D 为 AC 的 中点。 (1)求证: AB1 // 平面 C 1 BD ; (2)求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的余弦值; (3)求直线 AC1 与平面 C 1 BD 所成的角的正弦值.
A1 C1 B1

A

D B

C

?C ? 90 ? ,AC ? BC ? 1 , 16. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 AA1 ? 3 , 底面 ? ABC 中,
①求直线 A1 B1 与平面 A1 BC 所成的角的正弦值; ②求二面角 A ? A1 B ? C 的余弦值; ③求点 B1 到平面 A1 BC 的距离.

4

17. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 ,BC=1, PA=2,E 为 PD 的中点, (1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)在侧面 PAB 内找一点 N,使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.

5

18. 如图, AA 1 的母线, BC 是底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA 1 、 BB 1 为圆柱 OO 1、

CB1 的中点, DE ? 面CBB1 .
(1)证明: DE // 面ABC ; (2)求四棱锥 C ? ABB 1A 1 与圆柱 OO 1 的体积比; (3)若 BB1 ? BC ,求 CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值.

A1

O1
B1
D E
A

C O
B

6

选修 2-1 第三章《空间向量与立体几何》训练卷参考答案 1-8.BDCA BDDA 9. (? , ,0) ; 10.

1 1 2 2

? ; 2

11. 6 ;

12. 6 5 ;

13.解: (1)选取 AD 中点 O 为原点, OB , AD , OP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 坐标系 O ? xyz ,则 A(0,?

a 3a 3a a ,0), B( ,0,0), P (0,0, ), D(0, ,0) ,……2 分 2 2 2 2

∴ AB ? (

3a a a 3a , ,0), PD ? (0, ,? ) , ……3 分 2 2 2 2

则 cos AB, PD ?

AB ? PD | AB || PD |

=
(

3 a a 3 ? 0 ? ? ? 0 ? (? a) a 2 2 2 3 a a)2 ? ( )2 ? 02 ? 2 2 a 3 0 2 ? ( ) 2 ? (? a)2 2 2

=

1 .……4 分 4

(2)∵ E , F 分别为 AB 、 PD 的中点,∴ E (

3a a a 3a ,? ,0), F (0, , ) 4 4 4 4

则 EF ? (

10a 3 a a 3 2 .……7 分 a ? 0) 2 ? ( ? ? ) 2 ? ( 0 ? a) = 4 4 4 4 4

(3)∵ PB ? (

3a 3a 3a a ,0,? ), BC ? (0, a ,0), BD ? ( ? , ,0) 2 2 2 2

? 3a 3a x? z ? 0 ?x ? z ?n ? PB ? 0 ? 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ?? 2 2 ?y ? 0 ? ?n ? BC ? 0 ? ay ? 0
可设 z ? 1 ,则 n ? (1,0,1) ……10 分

依题意可知平面 BCD 的法向量为 m ? (0,0,1) , ∴ cos m, n ? 易知:平面 PBC 与平面 BCD 所成的角为锐角 ∴二面角 P ? BC ? D 的大小为 45 ? . ……12 分

m?n m?n

?

1 2

?

2 ……11 分 2

14.解: (1)证明:由题设知各点坐标为 A(0,0,0), B(2,0,0), C (2,2,0), D(0,2,0), E (0,2,1), B1 (2,0,2) 1 分 ∵ O 是正方形 ABCD 的中心,∴ O(1,1,0), B1O ? (?1,1,?2), AC ? (2,2,0), AE ? (0,2,1)

? ? B1 O ? AC ? ( ?1,1,?2) ? ( 2,2,0) ? ?1 ? 2 ? 1 ? 2 ? ( ?2) ? 0 ? 0 ∴? ? ? B1 O ? AE ? ( ?1,1,?2) ? (0,2,1) ? ?1 ? 0 ? 1 ? 2 ? ( ?2) ? 1 ? 0
∴ B1O ? AC, B1O ? AE ,

……3 分

即 B1O ? AC, B1O ? AE ,
7

∴ B1 O ? 平面 ACE

……4 分

(2)由 F 点在 AE 上,根据空间向量知识,可设点 F 的坐标为 F (0,2? , ? ) ,……5 分 则 B1 F ? (?2,2? , ? ? 2) ∵ B1 F ? AE ∴? ? ……6 分 ……7 分

∴ B1 F ? AE ? (?2,2? , ? ? 2) ? (0,2,1) ? 5? ? 2 ? 0 即 F (0, , )

2 5

4 2 5 5

……8 分

(3)由(1)知 B1 O ? 平面 ACE ,? B1O ? (?1,1, ?2) 是平面 ACE 的一个法向量

AE ? (0,2,1) , AB1 ? (2,0, 2) ,
设 n ? ( x, y, z) 是平面 AEB1 的一个法向量,则

?x ? ?z ? ?n ? AE ? 2 y ? z ? 0 ? 1 ?? ? 1 ,令 x ? 1 ,则 n ? (1, , ?1) 2 y?? z ?n ? AB1 ? 2 x ? 2 z ? 0 ? ? ? 2
? cos B1O, n ? B1O ? n B1O ? n ? 3 2 ? 6 6

3 6? 2

……9 分

设二面角 B1 ? EA ? C 为 ? ,依题意,如图可知 ? 为锐角, 所以二面角 A ? A1 B ? C 的余弦值为

6 6

……10 分

cos ? ?

30 6 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 6 6

……11 分

故二面角 B1 ? EA ? C 的正弦值为

30 . ……12 分 6

15.解:以 D 点为原点, DB 为 x 轴, DC 为 y 轴,如图建立空间 直角坐标系,则 D(0,0,0), A(0,?4,0), B(4 3 ,0,0), B1 (4 3 ,0,6), C1 (0,4,6) ,

AB1 ? (4 3 ,4,6), DB ? (4 3 ,0,0), DC1 ? (0,4,6), BC1 ? (?4 3 ,4,6), AC1 ? (0,8,6) ,…2 分
(1)设平面 C 1 BD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

?x ? 0 ? ? n ? DB ? 4 3 x ? 0 ? 3 ?? ? 3 ,可设 z ? 1 ,则 n ? (0,? ,1) ,……5 分 z y ? ? z 2 ? ? ? n ? DC 1 ? 4 y ? 6 z ? 0 2 ?
A1 8 B1

C1

3 ? n ? AB1 ? 4 3 ? 0 ? 4 ? (? ) ? 6 ? 1 ? 0 2

即 AB1 ? n

? AB1 // 平面 C 1 BD ; ……7 分
(2) cos AB1 , BC1 ?

? 48 ? 16 ? 36 1 , ? 100 25 1 ;……10 分 25

? 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的余弦值为

(3)设直线 AC1 与平面 C 1 BD 所成的角为 ? , 根据直线与平面所成角公式有: sin ? ?

AC1 ? n n ? AC1

?

6 13 65

……13 分

? 直线 AC1 与平面 C 1 BD 所成的角的正弦值为

6 13 .……14 分 65
z
A1 B1 C B C1

16.解:以 C 为原点如图所示建立空间直角坐标系,由已知可得 直棱柱各顶点坐标如下: A(1,0,0), B(0,1,0), C (0,0,0),

A1 (1,0, 3 ), B1 (0,1, 3 ) C1 (0,0, 3 ) ,故 A1 B ? (?1,1,? 3 ) ,
H

A1C ? (?1,0,? 3 ) , B1 A1 ? (1,?1,0),
①设直线 A1 B1 与平面 A1 BC 所成角 ? , 则 cos A1 B1 , n ? A1 B1 ? n ? A1 B1 ? n

……2 分

x

A

y

3 6 ? 4 2?2

? sin ? ? cos A1 B1 , n ?

6 ……4 分 4

所以直线 A1 B1 与平面 A1 BC 所成的角的正弦值为

6 4

……5 分

? ? m ? A1 B ? ? x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0 ? z1 ? 0 ?? ②设平面 AA1 B 法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ? x 1 ? y1 ? m ? A A ? ? x ? y ? 0 1 1 1 ?
可设 x ? 1 ,则 m ? (1,1,0) , ……7 分

? cos m, n ?

m?n m?n

?

? 3 2?2

??

6 4

……9 分

依题意,如图可知平面 AA1 B 与平面 A1 BC 所成的角为锐角, 所以二面角 A ? A1 B ? C 的余弦值为

6 4

……10 分

9

? ? ? n ? A1 B ? ? x ? y ? 3 z ? 0 ?y ? 0 ③设平面 A1 BC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ?? ? ? ? x ? ? 3z ? n ? A1 C ? ? x ? 3 z ? 0
可设 z ? 1 ,则 n ? (? 3 ,0,1) ,
?d ? B1 A1 ? n n ? (1,?1,0) ? ( ? 3 ,0,1) 2

……12 分
? 3 2

所以点 B1 到平面 A1 BC 的距离为

3 .……14 分 2

17. 解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0,0,0) 、 B( 3 ,0,0) 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、 P(0,0,2) 、E(0, 1 ,1) ,
2

……2 分 ……3 分

从而 AC ? ( 3 ,1,0), PB ? ( 3 ,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为θ ,则 cos ? ? ∴AC 与 PB 所成角的余弦值为 3
7 14

AC ? PB | AC | ? | PB |
……7 分

?

3 2 7

?

3 7 , 14

……6 分

.

1 (2)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,O,z) ,则 NE ? (? x, ,1 ? z ) , 2
由 NE⊥面 PAC 可得, …… 9 分
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? ? 3 ( ? x , ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? z ? 1 ? 0, ? ?x ? ? ? 2 ∴? 即? 化简得 6 ……12 分 ? 1 ? 3 x ? ? 0. ? ?( ? x , 1 ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ?z ? 1 ? 2 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, .……14 分 6 6

18. 解: (1)证明:连结 EO , OA .? E , O 分别为 B1C , BC 的中点,∴ EO // BB1 .……2 分 又 DA// BB1 ,且 DA ? EO ?

1 BB1 .∴四边形 AOED 是平行四边形, 2
∴ DE // 面ABC . ……4 分

即 DE // OA, DE ? 面ABC .……3 分

(2)由题 DE ? 面CBB1 ,且由(1)知 DE // OA .∴ AO ? 面CBB1 ,∴ AO ? BC , ∴ AC ? AB . ……6 分
10

因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA ? AB ,且 AA 1 ? CA , ∴ CA ? 面AA 1 B1 B ,即 CA 为四棱锥的高. ……7 分

设圆柱高为 h ,底半径为 r ,则 V柱 ? ?r 2 h , V锥 ? ∴ V锥 : V柱 ?

2 . ……9 分 3?

1 2 h( 2r ) ? ( 2r ) ? hr 2 3 3 z A1

(3)由(1)(2)可知,可分别以 AB, AC, AA 1 为坐标轴建立空间直 角标系,设 BB1 ? BC ? 2 ,则 A1 (0,0,2) , C (0, 2 ,0) ,

O1

B1
D
A

E

O(

2 2 , ,0) ,从而 AO ? ( 2 , 2 ,0) , CA1 ? (0,? 2,2) , 2 2 2 2

y
C
O

由题, AO 是面 CBB1 的法向量,设所求的角为 ? .…12 分 则 sin ? ?| cos ? AO, CA1 ?|?

x B

| AO ? CA1 | | AO || CA1 |

?

6 . 6

? CA1 与面 BB1C 所成角的正弦值为

6 ……14 分 6

11


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