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高三数学(理)二轮复习:专题一集合与常用逻辑用语

专题一 集合与常用逻辑用语 (见学生用书 P1) (见学生用书 P1) 1.常用数集的专用符号 自然数集 N,正整数集 N*或 N+,整数集 Z,有理数集 Q,实数 集 R. 2.集合的关系 (1)集合与元素的关系 如果 a 是集合 A 的元素,那么可表示为 a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,那么可表示为 a?A. (2)集合与集合的关系 若 A 是 B 的子集,则可表示为 A?B; 若 A 是 B 的真子集,则可表示为 A?B. (3)集合相等 定义:如果两个集合中的元素完全相同,则两集合相等; 表示方法:集合 A 与集合 B 相等可表示为 A=B; 如果集合 A 与集合 B 满足 A?B 且 B?A,则 A 与 B 相等. 3. 集合 A 和 B 的交集是指由属于 A 并且属于 B 的所有元素组成 的集合,用符号表示为 A∩B,用描述法表示为 A∩B={x|x∈A,且 x∈B},用 Venn 图表示为 . 4. 集合 A 和 B 的并集是指由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的 集合, 用符号表示为 A∪B, 用描述法表示为 A∪B={x|x∈A, 或 x∈B}, 用 Venn 图表示为 . 5.设集合 I 为全集,集合 A 是它的一个子集,A 的补集是指由 属于集合 I,但不属于集合 A 的所有元素组成的集合,用符号表示为 ?IA,用描述表示为?IA={x|x∈I,但 x?A},用 Venn 图表示为 . 6.A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A,?I(A∩B)=(?IA)∪(?IB), ?I(A∪B)=(?IA)∩(?IB). 7.四种命题及其关系 8.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 9.逻辑联结词 命题中的或、且、非叫逻辑联结词. 命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p q p∧q p∨q 綈 p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 10.全称量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号?表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对 M 中任意一个 x, 有 p(x)成立”可用符号简记为: ?x∈M,p(x),读作:“对任意 x∈M,都有 p(x)成立”. 11.存在量词 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量 词,并用符号?表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记 为:?x0∈M,p(x0),读作:“存在一个 x0∈M,使 p(x0)成立”. 12.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,綈 p(x0) ?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈 p(x) (见学生用书 P2) 考点一 集合及其运算 考点精析 1.集合的元素具有确定性、互异性、无序性,在求解集合问题 时,要特别注意这三个性质在解题中的应用.即在分析问题时,要看 能否利用“三性”找到解题的切入点;题目解答出来后,再检验其元 素是否满足“三性”. 2.含参数的集合问题是本部分的一个重要考向,解题时应根据 集合元素的互异性多挖掘题目中的隐含条件,并注意分类讨论思想、 数形结合思想在解题中的运用. 3.集合问题多与函数、方程、不等式等知识联系在一起,因此 要注意不同知识之间的融会贯通,要善于从函数、方程、不等式的角 度去理解用描述法表示的集合,从而借助函数、方程、不等式的知识 与方法去解决问题. 4.在解题中要特别注意空集的特殊性,它往往导致我们在解题 中出现错误,所以要善于总结空集在解题中的特殊性,避免因忽视空 集而出现错误. 例 1-1(2015· 北京卷)若集合 A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3}, 则 A∩B=( ) A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2} C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3} 考点:集合的交集运算. 分析:集合 A、B 已知,直接在数轴上将集合 A、B 表示出来, 数形结合求出 A∩B. 解析:在数轴上将集合 A、B 表示出来,如图所示. 由交集的定义可得,A∩B 为图中阴影部分, 即{x|-3<x<2}. 答案:A 点评: 本题主要考查了集合的交集运算, 利用数轴进行集合的交、 并、补运算是常用方法. 例 1-2(2015· 陕西卷)设集合 M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则 M∪N=( ) A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1] 考点:并集及其运算. 分析:分别求出集合 M、N 的元素,利用集合的基本运算即可得 到结论. 解析:M={x|x2=x}={0,1}, N={x|lg x≤0}={x|0<x≤1}, 所以 M∪N=[0,1],故选 A. 答案:A 点评:本题主要考查集合的基本运算,利用条件求出集合 M、N 是解决本题的关键. 例 1-3 已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等, 若 N∩?IM=?,则 M∪N=( ) A.M B.N C.I D.? 考点:集合间的关系. 分析:本题可利用韦恩图解决,由题可知 N 是 M 的真子集. 解析:由 N∩?IM=?,作韦恩图可知 N?M,则 M∪N=M,故 选 A. 答案:A 点评:本题主要考查集合间的关系,用韦恩图可直观解决. 例 1-4(2014· 长沙二模)若三个非零且互不相等的实数 a、b、c 1 1 2 满足a+b=c ,则称 a、b、c 是调和的;若满足 a+c=2b,则称 a、b、 c 是等差的.若集合 P 中元素 a、b、c 既是调和的,又是等差的,则 称集合 P 为“好集”. 若集合 M={x||x|≤2 014, x∈Z}, 集合 P={a, b,c

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