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湖北省宜昌市夷陵中学2015-2016学年高二数学下学期期中复习试题(新)


2015-2016 学年度高二下学期数学复习试卷
一、选择题 1.下列推理过程是演绎推理的是( ) A.因为所有的金属都能够导电,汞是金属,所以汞能够导电 B.某校高三 1 班 55 人,2 班 54 人,3 班 52 人,由此得到高三所有班人数都超过 50 人 C.由平面中三角形的性质推测空间中四面体的性质 D.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? (an ?1 ?
1 2 1 )( n ? 2) ,由此归纳出 {an } 的通项公式 an ?1

2.命题“存在 x0 ? R, 2x0 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x0 ? R, 2x0 ? 0 C.对任意的 x ? R, 2 x ? 0



B.存在 x0 ? R, 2x0 ? 0 D.对任意的 x ? R, 2 x ? 0 )

3.设曲线 y ? x 2 与直线 y ? x 所围成的封闭区域的面积为 S ,则下列等式成立的是( A. S ? ?0 ( x 2 ? x)dx C. S ? ?0 ( y 2 ? y )dy
1 1

B. S ? ?0 ( x ? x 2 )dx D. S ? ?0 ( y ? y )dy
1

1

4.在△ABC 内部有任意三点不共线的 2017 个点,加上 A、B、C 三个顶点,共有 2020 个点, 把这 2020 个点连线,将△ABC 分割成以这些点为顶点,且互不重叠的小三角形,则小三角 形的个数为( ) A.4037 B.4035 C.4033 D.4032
5? ,部分对应值如表所示. f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象如图 5.已知函数 f ( x) 的定义域为 ? ?1,

所示.下列关于函数 f ( x) 的命题:

2? 上是减函数;③ 若当 x ? [?1, t] 时, f ( x) 的最大值是 2, ① f ( x) 是周期函数;② f ( x) 在 ?0,

则 t 的最大值为 4;④ 当 1 ? a ? 2 时,函数 f ( x) ? a 有 4 个零点.其中真命题的个数是( A.4 B.3 C.2 二、填空题 6.若“ ?x ? R,| x ? a | ? | x ? 1|? 2 ”是假命题,则 a 的取值范围是 D.1 .



7.由胡克定律知,弹簧伸长所需力的大小与弹簧伸长的长度成正比.现已知 10(N) 的力能 使弹簧伸长 0.01(m) ,则拉力将弹簧拉长 0.2(m) 所做的功为 焦耳.

1

三、解答题 8. 如图, 在四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB ∥DC, AD ? DC,AB ? AD ? 1, DC ? SD ? 2 , E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC.

SE (1) 求 EB 的值;

(2) 求钝二面角 A ? DE ? C 的大小.

9.已知函数 f ( x ) ? x ? ln( x ? a ) 在 x ? 1 处取得极值. (1)求 a 的值;

1 (3) 若关于 x 的方程 f ( x) ? 2 x ? x 2 ? b 在 [ , 2] 上恰有两个不等实数根,求 b 的取值范围; 2

2

(3)求证:
ln2 ? 0.6931 )

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? ?? ? ? (n ? N *, 且n ? 2) . (参考数据: 2 ? f (2) 3 ? f (3) n ? f ( n) n(n ? 1)

3

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:演绎推理是从一般到特殊的推理.B、C、D 都是从特殊到一般的推理,只有 A 是 从一般到特殊的推理,是演绎推理. 考点:演绎推理. 2.D 【解析】 试题分析:∵“ ?x0 ? A, P( x0 ) ”的否定为“ ?x ? A, ?P( x) ” ,∴“存在 x0 ? R , 2x ? 0 ”的否
0

定为“对任意的 x ? R, 2 x ? 0 ” . 考点:命题的否定. 3.B 【解析】 试题分析:将曲线方程 y ? x 2 与直线方程 y ? x 联立方程组,解得 x ? 0 或 x ? 1 .结合图形可 知选项 B 正确.

考点:定积分的几何意义. 4.B 【解析】 试题分析:因为三角形的内角和为 1800 ,又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角 3600 , 则 2017 个点的角的总和 2017 ? 3600 ,加上三角形原来的内角和 1800 ,所有三角形的内角总 和为 1800 + 2017 ? 3600 =1800 ? ?1+2017 ? 2? ,所以三角形的个数 1+2017? 2=4035.故答案为:
4035 . 考点:归纳推理.

5. D 【解析】 试题分析:画出原函数的大致图象,得:①为假,∵在 [ ?1, 0] 与 [4,5] 上单调性相反,但原函 数图象不一定对称;②为真,∵在 [0, 2] 上导数为负,故原函数递减;③为假,∵当 t ? 5 时, 也满足 f ( x ) 的最大值是 2 ;④为假,∵ f ( x) ? a 可能有 2 个、 3 个或 4 个零点.

4

考点:导数与单调性. 【方法点晴】 通过 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象不能判断函数是否具有周期性, 故①为假;f ?( x) 的图象可以反映出 f ?( x) 的取值情况,然后根据 f ?( x) ? 0 原函数单调递增, f ?( x) ? 0 原函数 单调递减,可以得到原函数在每一个区间上的单调性, f ( x) 在 [0, 2] 上导数为负,故原函数 递减,②为真;利用单调性可知 x ? [?1,5] 与 x ? [?1, 4] 的最大值相同,故 t 的最大值为 4 不正 确,③为假;通过 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象不能确定函数 f ( x) ? a 的零点个数,④为假. 6. (??, ?3) ? (1, ??) 【解析】 试题分析: ∵“ ?x ? R,| x ? a | ? | x ? 1|? 2 ”的否定“ ?x ? R, | x ? a | ? | x ? 1 |? 2 ”为真 ,∴
| x ? a | ? | x ? 1|?| a ? 1|? 2 ,得 a ? ?3或a ? 1 .

考点:1、命题的否定;2、解不等式. 7. 20 【解析】 1 ) ( . 1 0 试题分析: 设弹簧伸长的长度为 x(m) , 则拉力 F ( x) ? kx(N) . 由 F0
0.2

?

得 k ? 1000(N / m) ,

∴ F ( x) ? 1000 x ,∴拉力将弹簧拉长 0.2(m) 所做的功 W ? ?0 1000 xdx ? 500 x 2 |0.2 0 ? 20(J) . 考点:定积分在物理中的应用. 【方法点晴】先建立弹簧伸长的长度为 x(m) 与拉力 F 之间的函数关系式,运用待定系数法 求出 k 值,得到弹簧伸长的长度为 x(m) 与拉力 F 之间的函数关系式,然后利用定积分的知 识拉力将弹簧拉长 0.2(m) 所做的功即为函数在 ? 0, 0.2? 上的定积分的值,故拉力将弹簧拉长
0.2(m) 所做的功 W ? ? 1000 xdx ? 500 x 2 |0.2 0 ? 20(J) .
0 0.2

8. (1)

SE (2) 120? . ?2; EB
SE 的值; (2)利用空间向量法先 EB

【解析】 试题分析: (1)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求

求出锐二面角,再求钝二面角 A ? DE ? C 的大小. 试题解析:分别以 DA, DC , DS 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), S (0,0, 2) . ??? ? ??? ? (1)∵ E ? SB ,∴ BE ? ? BS , ? ? (0,1) ,得 E (1 ? ? ,1 ? ? , 2? ) .设平面 SBC 的法向量为 m ?

5

??? ? ?m ? SB ? 0, ? x1 ? 1, ( x1 , y1 ,1) ,由 ? ??? 得? ∴ m ? (1,1,1) .设平面 EDC 的一个法向量为 n ? ( x2 , y2 ,1) , ? ? ?m ? BC ? 0 ? y1 ? 1, ???? 2? ? ? , SE 1 2? ?n ? DC ? 0, ? x2 ? 由 ? ???? 得? ?2. BE ,∴ ,0,1) .由 m ? n ? 0 得 ? ? ,∴ BS ? 3 ? ?1 ∴ n ? ( EB 3 ? ?1 ? ? ? n ? DE ? 0 y ? 0, ? 2

(2)求得平面 ADE 的一个法向量为 a ? (0, ?1,1) .∵ cos ? a,n ?? 面角 A ? DE ? C 的大小为 120? . 考点:1、空间点线面的位置关系;2、求二面角.
5 9. (1) a ? 0 ; (2) b ? [ ? ln 2, 2) ; (3)证明见解析. 4

1 ,∴ ? a,n ?? 60? ,∴钝二 2

【解析】 试题分析: (1)先求导,函数 f ( x ) ? x ? ln( x ? a ) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ?(1) ? 0 ,求出 a 的
1 1 值; (2)构造函数 b ? g ( x) ? ? x 2 ? 3x ? ln x( ? x ? 2) ,求导,得 g ( x ) 在 [ ,1] 上递增,在 [1, 2] 2 2 1 5 5 , 2 )3 ) 记 上 递 减 . 又 ∵ g ( ) ? ? ln 2, g (1) ? 2, g (2) ? 2 ? ln 2 , ∴ b ? [ ? l n 2 ;( 2 4 4
? 4 ln 2 ? , 0 ∴ h( x) ? x 2 ? 1 ? 4ln x( x ? 2) , 求 导 得 h( x ) 在 [2, ??) 上 递 增 , ∴ h( x ) ? h( 2 )? 3
x 2 ? 1 ? 4ln x ? 0( x ? 2)





1 4 1 1 ? ? 2( ? )( x ? 2) ln x x 2 ? 1 x ?1 x ?1





n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? )(n ? N *, 且n ? 2) ,∴ ? ?? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ln k k ?1 k ? 1 3 2 4 3 5 k ? 2 k ? f (k ) k ?2 ln k

(

1 1 1 1 1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? )?( ? )] ? 2[(1 ? ) ? ( ? )] ? . n?2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1 n ( n ? 1)

试题解析: (1)∵ f ?( x ) ?

x ? a ?1 ,∴由 f ?(1) ? 0 得 a ? 0 . x?a ) ?? , 则 g ?( x ( 2 x? 1 ) ( x 1 x )?
?0?

1 2 ( ) ?? x ? x 3? l nx( ?x ? 2 ) (2) 记 b ?g x 2

1

2

?x? 1 , ∴ g ( x) 在

1 1 5 5 [ ,1] 上递增,在 [1, 2] 上递减.又∵ g ( ) ? ? ln 2, g (1) ? 2, g (2) ? 2 ? ln 2 ,∴ b ? [ ? ln 2, 2) . 2 2 4 4

( 3 ) 记 h( x) ? x 2 ? 1 ? 4ln x( x ? 2) , 则 h?( x ) ?

2 (x 2 ? 2 ) ? 0, ∴ h( x ) 在 [2, ??) 上 递 增 , ∴ x

h( x ) ? h(2) ? 3 ? 4 ln 2 ? 0 ,∴ x 2 ? 1 ? 4ln x ? 0( x ? 2) ,即

1 4 1 1 ? 2 ? 2( ? )( x ? 2) ,∴ ln x x ? 1 x ?1 x ?1

n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? )(n ? N *, 且n ? 2) ,∴ ? ?? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ln k k ?1 k ? 1 3 2 4 3 5 k ? 2 k ? f (k ) k ?2 ln k

(

1 1 1 1 1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? )?( ? )] ? 2[(1 ? ) ? ( ? )] ? . n?2 n n ?1 n ?1 2 n n ?1 n ( n ? 1)

考点:1、导数的应用;2、放缩法证明不等式. 【方法点晴】 (1)先求导,函数 f ( x ) ? x ? ln( x ? a ) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ?(1) ? 0 ,求出 a
1 1 的值; (2) 构造函数 b ? g ( x) ? ? x 2 ? 3x ? ln x( ? x ? 2) , 求导, 得 g ( x ) 在 [ ,1] 上递增, 在 [1, 2] 2 2

6

1 5 5 , 2 )3 ) 记 上 递 减 . 又 ∵ g ( ) ? ? ln 2, g (1) ? 2, g (2) ? 2 ? ln 2 , ∴ b ? [ ? l n 2 .( 2 4 4
? 4 ln 2 ? , 0 ∴ h( x) ? x 2 ? 1 ? 4ln x( x ? 2) , 求 导 得 h( x ) 在 [2, ??) 上 递 增 , ∴ h( x ) ? h( 2 )? 3
x 2 ? 1 ? 4ln x ? 0( x ? 2)





1 4 1 1 ? 2 ? 2( ? )( x ? 2) ln x x ? 1 x ?1 x ?1





1 1 1 ? 2( ? )(n ? N *, 且n ? 2) ,利用放缩法可证. ln k k ?1 k ? 1

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