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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数


第5讲
一、选择题

两角和与差及二倍角的三角函数
)

1.计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于( 1 A.2 2 C. 2 解析 答案 3 B. 3 3 D. 2 1 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° =sin 30° =2. A ). 4 D.-3

1+cos 2α 1 2.若 sin 2α =2,则 tan 2α 等于 ( 5 A.4 5 B.-4 4 C.3

1+cos 2α 2cos2α cos α 1 解析 = = sin 2α 2sin αcos α sin α =2, ∴tan α=2,∴tan 2α= 答案 D π? 1 1 ? 3. 已知 cos α=3, cos(α+β)=-3, 且 α、 β∈?0,2?, 则 cos(α-β)的值等于( ? ? 1 A.-2 1 C.-3 解析 π? ? ∵α∈?0,2?,∴2α∈(0,π). ? ? 1 B.2 23 D.27 ) 2tan α 4 4 = =- ,故选 D. 3 1-tan2α 1-4

1 7 ∵cos α=3,∴cos 2α=2cos2α-1=-9, 4 2 ∴sin 2α= 1-cos22α= 9 , π? ? 而 α,β∈?0,2?,∴α+β∈(0,π), ? ?

2 2 ∴sin(α+β)= 1-cos2?α+β?= 3 , ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) ? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. ? ? ? ? 答案 D ( ).

π? 4? 4.已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为 ? ? 2 A. 3 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3

4 16 7 解析 ∵sin θ+cos θ=3,∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ= 9 ,∴sin 2θ=9,又 π 0<θ<4,∴sin θ<cos θ.∴sin θ-cos θ=- ?sin θ-cos θ?2=- 1-sin 2θ=- 2 3. 答案 B π? 1 1 ? 5. 已知 cos α=3, cos(α+β)=-3, 且 α, β∈?0,2?, 则 cos(α-β)的值等于 ? ? 1 A.-2 1 B.2 1 C.-3 23 D.27 ( ).

π? 1 ? 解析 ∵cos α=3,α∈?0,2?, ? ? 2 2 4 2 7 ∴sin α= 3 ,∴sin 2α= 9 ,cos 2α=-9. 1 2 2 又 cos(α+β)=-3,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 3 . ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) ? 7? ? 1? 4 2 2 2 23 =?-9?×?-3?+ 9 × 3 =27. ? ? ? ? 答案 D 7π? 4 ?π ? ? 6.已知 cos?6-α?+sin α=5 3,则 sin?α+ 6 ?的值是( ? ? ? ? )

2 3 A.- 5 4 C.5 解析

2 3 B. 5 4 D.-5

? 3 ? 1 ?π ? 由 条件知 cos?6-α?+sin α=? cos α+ sin α?+sin α ? ? 2 ?2 ?

? 3 ? 1 = 3? sin α+ cos α? 2 ?2 ? π? 4 3 ? = 3sin?α+6?= 5 . ? ? π? 4 ? ∴sin?α+6?=5. ? ? 7π? 3 1 ? ∴sin?α+ 6 ?=- 2 sin α-2cos α ? ? ? 3 ? 1 =-? sin α+ cos α? 2 ?2 ? π? 4 ? =-sin?α+6?=-5. ? ? 答案 D

二、填空题 7. 设 f(x)= 1+cos 2x ? π? +sin x+a2sin?x+4?的最大值为 2+3, 则常数 a=________. π ? ? ? ? - x ? ? 2sin 2 ? ? 1+2cos2x-1 ? π? 2 ?x+4? + sin x + a sin 2cos x ? ?

解析 f(x)=

? π? =cos x+sin x+a2sin?x+4? ? ? ? π? ? π? ? π? = 2sin?x+4?+a2sin?x+4?=( 2+a2)sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? 依题意有 2+a2= 2+3,∴a=± 3. 答案 ± 3 ? π π? 8.方程 x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为 tan A,tan B,且 A,B∈?-2,2?,则 ? ? A+B=________. 解析 由题意知 tan A+tan B=-3a<-6,tan A· tan B=3a+1>7,∴tan A<0,

tan B<0, tan(A+B)= tan A+tan B -3a = =1. 1-tan Atan B 1-?3a+1?

? π π? ? π ? ∵A,B∈?-2,2?,∴A,B∈?-2,0?, ? ? ? ? 3π ∴A+B∈(-π,0),∴A+B=- 4 . 3π 答案 - 4 9.已知:0° <α<90° ,0° <α+β<90° ,3sin β=sin(2α+β),则 tan β 的最大值 是__ ______. 解析 由 3sin β=sin(2α+β)得 3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得 sin(α+

β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α, ∴tan β=tan(α+β-α)= = tan?α+β?-tan α 1+tan?α+β?tan α

tan α 1 , 2 = 1 1+2tan α tan α+2tan α

1 1 2 ∵tan α+2tan α≥2 2,∴tan β 的最大值为 =4. 2 2 答案 2 4

10.在△ABC 中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1.则 C 等于________. 解析 将两式两边分别平方相加,得

25+24(sin Acos B+cos Asin B)=25+24sin(A+B)=37, 1 ∴sin(A+B)=sin C= ,∴C=30° 或 150° . 2 11 当 C=150° 时,A+B=30° ,此时 3sin A+4cos B<3sin 30° +4cos 0° = 2 ,这 与 3sin A+4cos B=6 相矛盾,∴C=30° . 答案 30°

三、解答题 11.如图,在直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、β,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、 2 2 5 B 的横坐标分别为 10 , 5 . (1)求 tan(α+β)的 值; (2)求 α+2β 的值. 解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知:

2 2 5 cos α= 10 ,cos β= 5 . 7 2 ∵α 为锐角,∴sin α>0,故 sin α= 1-cos2α= 10 ,[来源:学,科,网] 5 同理 sin β= 1-cos2β= 5 , sin α sin β 1 ∴tan α=cos α=7,ta β=cos β=2. tan α+tanβ ∴tan(α+β)= = 1-tan αtan β 1 7+2

1=-3. 1-7×2

(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β] = tan?α+β?+tan β =-1. 1-tan?α+β?tan β

π π ∵0<α<2,0<β<2, 3 3π ∴0<α+2β<2π.∴ α+2β= 4 . π? π? ? ? 12.已知函数 f(x)=sin?2x+3?+sin?2x-3?+2cos2x-1,x∈R. ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-4,4?上的最大值和最小值. ? ? π π π π 解 (1)f(x)=sin 2x· cos3+cos 2x· sin3+sin 2x· cos3-cos 2x· sin3+cos 2x=sin 2x π? ? +cos 2x= 2sin?2x+4?. ? ?

2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π. ? π π? ?π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?-4,8?上是增函数, 在区间?8,4?上是减函数. 又 f?-4?= ? ? ? ? ? ? ?π? ?π? ? π π? -1,f?8?= 2,f?4?=1,故函数 f(x)在区间?-4,4?上的最大值为 2,最小 ? ? ? ? ? ? 值为-1. π? π? 3 3 5 ? ? ?π π? 13.已知 sin α+cos α= 5 ,α∈?0,4?,sin?β-4?=5,β∈?4,2?. ? ? ? ? ? ? (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 解 (1)由题意得(sin α+cos α)2=5, 9 4 即 1+sin 2α=5,∴sin 2α=5. π? 3 ? 又 2α∈?0,2?,∴cos 2α= 1-sin22α=5, ? ? sin 2α 4 ∴tan 2α=cos 2α=3. π? π? 3 π ? ?π π? ? (2)∵β∈?4,2?,β-4∈?0,4?,sin?β-4?=5, ? ? ? ? ? ? π? 4 ? ∴cos?β-4?=5, ? ? π? π? ? π? 24 ? ? 于是 sin 2?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?=25. ? ? ? ? ? ? π? 24 ? 又 sin 2?β-4?=-cos 2β,∴cos 2β=-25, ? ? 7 ?π ? 又 2β∈?2,π?,∴sin 2β=25, ? ? 又 cos2α= 1+cos 2α 4 π? ? =5,α∈?0,4?, 2 ? ?

2 5 5 ∴cos α= 5 ,sin α= 5 . ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β 2 5 ? 24? 5 7 11 5 = 5 ×?-25?- 5 ×25=- 25 . ? ?

ωx 14.函数 f(x)=6cos2 2 +

3sin ωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A

为图象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 ? 10 2? (2)若 f(x0)= 5 ,且 x0∈?- 3 ,3?,求 f(x0+1)的值. ? ? 解 (1)由已知可得,f(x)=3cos ωx+ π? ? =2 3sin?ωx+3?, ? ? 又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ω =8,ω=4. 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= 5 , ?πx0 π? 8 3 由(1)有 f(x0)=2 3sin? 4 +3?= 5 , ? ? ?πx0 π? 4 即 sin? 4 +3?=5. ? ? πx0 π ? π π? ? 10 2? 由 x0∈?- 3 ,3?,知 4 +3∈?-2,2?, ? ? ? ? ?πx0 π? 所以 cos? 4 +3?= ? ? ?4? 3 1-?5?2=5. ? ? 3sin ωx

?πx0 π π? 故 f(x0+1)=2 3sin? 4 +4+3? ? ? ??πx0 π? π? + ?+ ? =2 3sin?? ?? 4 3? 4? ? ?πx0 π? π ?πx0 π? π? +3?cos +cos? 4 +3?sin ? =2 3?sin? 4 ? 4 ? ? 4? ? ? ?4 2 3 2? 7 6 =2 3×? × + × ?= 5 . 5 2 5 2 ? ?


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