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数学建模课后作业实验二


实验二作业
一、微分方程稳定性分析 解: (1)令f x = 矩阵 A= det
λ ?A dx dt

= x = 0,f y =

dy dt

= y = 0,所以此式的平衡点为 P(0,0) 。

1 0 ,λ1 = 1,λ2 = 1 0 1 = λ2 + pλ + q = λ ? λ1 (λ ? λ2 )

p = ? ?11 + ?22 = ? 1 + 1 = ?2,q = ?11 ?22 ? ?21 ?12 = 1 ? 1— 0 ? 0 = 1 λ1 = λ2 > 0,p<0,q<0,p2 = 4q,所以平衡点不稳定

(2)令 f(x)=-x=0,x=0; f(y)=2y=0,y=0; 因此平衡点 p(0,0) 。 矩阵 A= ?1 0 ? λ1 = ?1,λ2 = 2 0 2 p = ? ?11 + ?22 = ? ?1 + 2 = ?1 q = ?11 ?22 ? ?21 ?12 = ?1 ? 2— 0 ? 0 = ?2 λ1 < 0,λ2 > 0,p < 0,q < 0,所以平衡点不稳定。

(3)f(x)=y=0;f(y)=-2x=0,x=0;所以平衡点 P(0,0) 。 矩阵 A= 0 1 ? λ1 = 0 + 1.4i,λ2 = 0 ? 1.4i ?2 0

p = ? ?11 + ?22 = ? 0 + 0 = 0;q = ?11 ?22 ? ?21 ?12 = ?0— 1 ? ?2 ?= 2 所以平衡点不稳定。

(4)令 f(x)=-x=0,x=0;f(y)=-2y,y=0; 平衡点 p(0,0) 。 矩阵 A= ?1 0 ? λ1 = ?1,λ2 = ?2; 0 ?2

p = ? ?11 + ?22 = ? ?1 ? 2 = 3;q = ?11 ?22 ? ?21 ?12 = ?1 ? ?2— 0 ? 0 = 2; 平衡点稳定。

二、种群增长模型 解:由题意可以得出关于 N 的微分方程:f N = 令 f(N)=0?N1=0,N2=
r22 r12 dN dt

= r1 N ? r2 N 2 ;

1

,此为另个平衡点;

另外求: dt 2 = r1 ? 2 r2 N ?2
r22

d2 N

1

1

r1 N ? r2 N 2 = 0 ? N = 4r2 2
1

1

r

2

有方程 N=N1=0;N=N2= r12 ;N=N3=4r2 2 ,可讲第一象限划分为三部分
1

r

2

N1 是不稳定的,N2 是稳定的 三、单种群开发模型

解:令满足 F(x)=

dx x ?( r 1- )x-Ex =0 (1) dt N

的点称为方程的平衡点。 解得的两个平衡点为:
x0 ? N (1 ? E ) , x1 ? 0 r

容易算出两个解 E-r 和 r-E 称平衡点是稳定的是指:对方程(1)的任一个解 x ? x(t ) ,恒有
lim x(t ) ? x *
t ??

(2)

判断平衡点 x*是否稳定,可根据一阶近似方程:
dx ? F ( x) ? F '( x*)( x ? x*) dt

(3)

判断。该方程的一般解为:

x(t ) ? C ? eF ( x*)t ? x *

于是有下述结论: 若 F'(x*)<0 ,则 x*是稳定平衡点;

若 F'(x*)>0 ,则 x*不是稳定平衡点。 应用上述近似判别法,所以有 当 E<r 时, F'(x 0 )<0,F'(x1 )>0 ? x0 是稳定平衡点,x1 不是; 当 E>r 时, F'(x 0 )>0, F'(x1 )<0 ? x0 不是稳定平衡点,x1 是;
E ) ,从而获得 r 持续产量 Ex0, 而当捕捞过度 (即: E>r) 时, 渔场产量将减至 x1=0, 破坏性捕捞, 从而是不可持续的。

结果分析:当捕捞适度(即:E<r)时,可使渔场产量稳定在 x0 ? N (1 ?

进一步讨论:如何控制捕捞强度 E 使得持续产量 Ex0 最大:
h( x0 ) ? Ex0 ? N (1 ? E )E r

dh 2E r ? N (1 ? ) ? 0 ? Em ? dx r 2

结论:最优捕捞率为 E * ?
四、Compertz 模型

r 。 2

解: x ?t ? 变化规律的数学模型为
dx?t ? N ? rx ln ? Ex dt x

记 F ( x)?rx ln

N ? Ex x
N ? Ex ? 0 x

(1) 令 F ?x ? ? 0 ,得 rx ln
x0 ? Ne
? E r

, x1 ? 0 .

则有平衡点为 x0, x1 . 又 F ' ?x? ? r ln

N ? r ? E , F ' ?x0 ? ? ?r ? 0, F ' ?x1 ? ? ? . x

推出平衡点 xo 是稳定的,而平衡点 x1 不稳定.
y

rx ln

N x

y ? Ex

rN

e

y ? f ?x ?
0

N

e

x0

x

(2)最大持续产量的数学模型为:
?max h ? Ex ? N ? s.t.  rx ln ? Ex ? 0, x ? 0. ? x ?

由前面的结果可得 h ? ENe

?

E r

? dh EN ? r dh ? Ne r ? e ,令 ? 0. dE r dE

E

E

得到最大产量的捕捞强度 E m ? r , 从而得到最大持续产量 hm ? rN / e ,
* 此时渔场鱼量水平 x0 ?

N 。 e

五、有限资源竞争模型 解:令 r1=-a1+c1,r2=-a2+c2; N1=r1/c1b1,N2=r2/c2b2; β = α = b2/b1 平衡点为 p0(0,0),p1(N1,0),p2(0,N2),p3( 判断平衡点的稳定性: r1 0 ,p=? ?11 + ?22 = ? r1 + r2 < 0,所以 p0 不稳定。 0 r2 ?r1 ?αr1 N1 N1 p1,矩阵 A= 0 r2 ? βr2 N2 ,p=? ?11 + ?22 = ?(?r1 + r2 ? βr2 N2), p0,矩阵 A= q = ?11 ?22 ? ?21 ?12 = ?r1 r2 ? βr2
a1 a2 N1?α N2 N2?β N1 1 ?αβ

,

1 ?αβ

);

N1 N1 ? 0 = ?r1 r2 ? βr2 N2 N2

当c1 < c2时,p>0,q>0,所以 p1 稳定,所以当 t? ∞,x2 t → 0;

p2, 矩 阵 A=

r1 ? αr1 ?βr2

N2 N1

0 ?r2

,当

a1 c1

>

a2 c2

时 , p>0,q>0, 所 以 p2 稳 定 , 所 以 当 t ?

∞,x1 t → 0; 3)线性方程组: L1: 1 ? N1 ? L2:1 ? N2 ?
x2 x1 α x2 N1 β x1 N2

=0 =0

t? ∞,x2 t → 0;t? ∞,x1 t → 0; 六、蝴蝶效应与混沌解 解: ()function xdot=a4_1(t,x) xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)]; 输入:[t,x]=ode45(@a4_1,[0 10],[0 0 1e-10]) 求的解为: ans = 0 0.1362 0.2724 0.4086 0.5448 0.5756 0.6065 0.6373 0.6681 0.6990 0.7298 0.7606 0.7915 0.8436 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.8958 0.9479 1.0000 1.0354 1.0708 1.1062 1.1416 1.1770 1.2124 1.2478 1.2832 1.3221 1.3609 1.3998 1.4386 1.4716 1.5047 1.5377 1.5707 1.5980 1.6253 1.6525 1.6798 1.7054 1.7309 1.7564 1.7820 1.8069 1.8319 1.8569 1.8819 1.9066 1.9314 1.9562 1.9810 2.0053 2.0296 2.0539 2.0783 2.1024 2.1265 2.1507 2.1748 2.1986

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0003 0.0005 0.0008 0.0015 0.0027 0.0049 0.0088 0.0154 0.0273 0.0486 0.0869 0.1525 0.2680 0.4743 0.8366

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0009 0.0013 0.0019 0.0026 0.0036 0.0050 0.0069 0.0093 0.0126 0.0170 0.0230 0.0310 0.0416 0.0559 0.0751 0.1007 0.1349 0.1809 0.2425 0.3234 0.4311 0.5747 0.7662 1.0192 1.3550 1.8010 2.3926 3.1621

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0009 0.0013 0.0019 0.0028 0.0041 0.0057 0.0079 0.0109 0.0150 0.0203 0.0275 0.0372 0.0503 0.0676 0.0908 0.1220 0.1639 0.2198 0.2946 0.3948 0.5293 0.7058 0.9408 1.2541 1.6718 2.2230 2.9542 3.9231 5.2030 6.8534

2.2225 2.2463 2.2701 2.2863 2.3024 2.3186 2.3348 2.3466 2.3585 2.3704 2.3823 2.3942 2.4060 2.4179 2.4298 2.4406 2.4514 2.4623 2.4731 2.4822 2.4913 2.5005 2.5096 2.5205 2.5313 2.5422 2.5531 2.5674 2.5817 2.5960 2.6104 2.6271 2.6437 2.6604 2.6771 2.6932 2.7092 2.7253 2.7414 2.7598 2.7782 2.7966 2.8150 2.8368

1.4525 2.5079 4.3122 6.1704 8.7473 12.2147 16.6979 20.6659 25.1231 29.9027 34.7417 39.2990 43.1859 46.0940 47.8463 48.4066 48.0848 47.0513 45.5228 44.0185 42.4220 40.8164 39.2632 37.5330 35.9649 34.5707 33.3464 31.9688 30.8207 29.8625 29.0596 28.2806 27.6375 27.1051 26.6634 26.3116 26.0262 25.8027 25.6371 25.5147 25.4640 25.4834 25.5690 25.7485

4.1732 5.4897 7.1767 8.5577 10.1413 11.9096 13.8042 15.2207 16.5877 17.8249 18.8404 19.5415 19.8376 19.6700 19.0325 18.0687 16.7894 15.2642 13.5716 12.0758 10.5604 9.0610 7.6058 5.9562 4.4220 3.0159 1.7429 0.2662 -0.9989 -2.0725 -2.9783 -3.8558 -4.5737 -5.1614 -5.6488 -6.0471 -6.3906 -6.6921 -6.9636 -7.2503 -7.5172 -7.7694 -8.0113 -8.2860

9.0036 11.7474 15.1235 17.7450 20.5404 23.3142 25.7373 27.0400 27.6795 27.4415 26.1729 23.7933 20.4254 16.3169 11.7818 7.6107 3.7097 0.2789 -2.5720 -4.5041 -6.0294 -7.1871 -8.0306 -8.7070 -9.1041 -9.2975 -9.3500 -9.2851 -9.1358 -8.9548 -8.7761 -8.5949 -8.4561 -8.3661 -8.3276 -8.3365 -8.3856 -8.4701 -8.5840 -8.7425 -8.9219 -9.1125 -9.3035 -9.5147

2.8585 2.8802 2.9019 2.9275 2.9531 2.9787 3.0043 3.0314 3.0585 3.0857 3.1128 3.1453 3.1778 3.2103 3.2428 3.2703 3.2979 3.3255 3.3530 3.3886 3.4242 3.4597 3.4953 3.5286 3.5618 3.5951 3.6284 3.6573 3.6862 3.7150 3.7439 3.7763 3.8087 3.8411 3.8734 3.9007 3.9279 3.9552 3.9824 4.0175 4.0525 4.0876 4.1227 4.1550

26.0061 26.3294 26.7007 27.1709 27.6393 28.0657 28.4132 28.6624 28.7670 28.7196 28.5317 28.1594 27.6677 27.1071 26.5417 26.1005 25.7174 25.4167 25.2178 25.1320 25.2658 25.6247 26.1760 26.8105 27.4782 28.0904 28.5649 28.8117 28.8781 28.7614 28.4840 28.0315 27.4773 26.8764 26.2924 25.8542 25.4868 25.2130 25.0512 25.0257 25.2294 25.6618 26.2821 26.9576

-8.5451 -9.6948 -8.7833 -9.8281 -8.9950 -9.9010 -9.2022 -9.8961 -9.3486 -9.7856 -9.4231 -9.5723 -9.4217 -9.2711 -9.3393 -8.8848 -9.1803 -8.4674 -8.9591 -8.0574 -8.6973 -7.6905 -8.3650 -7.3447 -8.0478 -7.1291 -7.7793 -7.0588 -7.5856 -7.1262 -7.4918 -7.2766 -7.4670 -7.5048 -7.5122 -7.7985 -7.6239 -8.1410 -7.8517 -8.6256 -8.1582 -9.1118 -8.5161 -9.5401 -8.8786 -9.8478 -9.1787 -9.9740 -9.4005 -9.9106 -9.5086 -9.6533 -9.4879 -9.2316 -9.3655 -8.7802 -9.1567 -8.3046 -8.8827 -7.8541 -8.5719 -7.4717 -8.2191 -7.1587 -7.8985 -6.9905 -7.6417 -6.9763 -7.4722 -7.1011 -7.4059 -7.2958 -7.4115 -7.5647 -7.4884 -7.8942 -7.6314 -8.2671 -7.8966 -8.7806 -8.2347 -9.2807 -8.6153 -9.7041 -8.9893 -9.9871 -9.2843 -10.0729

4.1873 4.2196 4.2519 4.2801 4.3082 4.3364 4.3646 4.3956 4.4267 4.4577 4.4887 4.5157 4.5427 4.5697 4.5967 4.6316 4.6665 4.7014 4.7363 4.7687 4.8011 4.8335 4.8660 4.8938 4.9217 4.9496 4.9775 5.0086 5.0397 5.0707 5.1018 5.1282 5.1546 5.1811 5.2075 5.2424 5.2774 5.3123 5.3473 5.3801 5.4129 5.4458 5.4786 5.5064

27.6474 28.2621 28.7230 28.9503 28.9918 28.8484 28.5452 28.0756 27.5104 26.9016 26.3068 25.8397 25.4420 25.1375 24.9452 24.8835 25.0608 25.4817 26.1106 26.8212 27.5644 28.2440 28.7711 29.0456 29.1263 29.0105 28.7218 28.2467 27.6594 27.0150 26.3768 25.8797 25.4466 25.1010 24.8627 24.7359 24.8578 25.2414 25.8599 26.6006 27.4044 28.1663 28.7835 29.1242

-9.4923 -9.5803 -9.5366 -9.3935 -9.1651 -8.8738 -8.5487 -8.1890 -7.8626 -7.5989 -7.4193 -7.3402 -7.3354 -7.4045 -7.5431 -7.8094 -8.1571 -8.5563 -8.9573 -9.2852 -9.5268 -9.6442 -9.6210 -9.4883 -9.2622 -8.9650 -8.6260 -8.2396 -7.8822 -7.5869 -7.3780 -7.2785 -7.2536 -7.3041 -7.4261 -7.6827 -8.0331 -8.4493 -8.8810 -9.2520 -9.5408 -9.7023 -9.7127 -9.5986

-9.9634 -9.6615 -9.2013 -8.7216 -8.2258 -7.7629 -7.3745 -7.0644 -6.8964 -6.8774 -6.9930 -7.1856 -7.4562 -7.7915 -8.1751 -8.7131 -9.2479 -9.7152 -10.0468 -10.1759 -10.0965 -9.8044 -9.3318 -8.8323 -8.3064 -7.8065 -7.3781 -7.0214 -6.8148 -6.7674 -6.8646 -7.0433 -7.3032 -7.6322 -8.0149 -8.5756 -9.1503 -9.6743 -10.0746 -10.2723 -10.2468 -9.9823 -9.5061 -8.9886

5.5342 5.5620 5.5898 5.6211 5.6525 5.6838 5.7152 5.7410 5.7668 5.7927 5.8185 5.8537 5.8888 5.9239 5.9590 5.9916 6.0242 6.0567 6.0893 6.1171 6.1449 6.1728 6.2006 6.2313 6.2620 6.2927 6.3234 6.3488 6.3742 6.3996 6.4250 6.4610 6.4969 6.5328 6.5687 6.5999 6.6310 6.6622 6.6933 6.7205 6.7476 6.7748 6.8019 6.8320

29.2613 29.1870 28.9216 28.4458 27.8353 27.1500 26.4615 25.9347 25.4660 25.0790 24.7936 24.5951 24.6554 24.9956 25.5986 26.3462 27.1895 28.0231 28.7353 29.1662 29.3848 29.3747 29.1507 28.7054 28.1039 27.4060 26.6860 26.1190 25.5994 25.1515 24.7961 24.4825 24.4400 24.7027 25.2670 25.9693 26.8035 27.6798 28.4904 29.0540 29.4219 29.5613 29.4704 29.1358

-9.3805 -9.0795 -8.7264 -8.3095 -7.9158 -7.5831 -7.3400 -7.2185 -7.1721 -7.2018 -7.3050 -7.5489 -7.9001 -8.3324 -8.7948 -9.2007 -9.5344 -9.7467 -9.8058 -9.7237 -9.5244 -9.2268 -8.8624 -8.4282 -8.0051 -7.6339 -7.3460 -7.1849 -7.0990 -7.0906 -7.1585 -7.3713 -7.7127 -8.1591 -8.6575 -9.0841 -9.4605 -9.7387 -9.8807 -9.8733 -9.7397 -9.4904 -9.1519 -8.7143

-8.4289 -7.8847 -7.4069 -6.9919 -6.7371 -6.6547 -6.7303 -6.8933 -7.1404 -7.4602 -7.8389 -8.4210 -9.0352 -9.6168 -10.0882 -10.3558 -10.3974 -10.1841 -9.7336 -9.2066 -8.6140 -8.0198 -7.4818 -7.0062 -6.6896 -6.5481 -6.5709 -6.6970 -6.9131 -7.2086 -7.5706 -8.1696 -8.8286 -9.4826 -10.0482 -10.3950 -10.5383 -10.4354 -10.0846 -9.6054 -9.0208 -8.3941 -7.7872 -7.2042

6.8621 6.8923 6.9224 6.9476 6.9728 6.9980 7.0231 7.0567 7.0903 7.1239 7.1574 7.1881 7.2187 7.2494 7.2800 7.3075 7.3349 7.3623 7.3898 7.4162 7.4426 7.4690 7.4954 7.5210 7.5466 7.5722 7.5979 7.6247 7.6515 7.6784 7.7052 7.7379 7.7705 7.8031 7.8358 7.8671 7.8985 7.9298 7.9612 7.9871 8.0130 8.0389 8.0648 8.0937

28.6006 -8.2586 27.9224 -7.8311 27.1814 -7.4695 26.5655 -7.2375 25.9760 -7.0794 25.4399 -7.0002 24.9802 -7.0013 24.5188 -7.1203 24.2762 -7.3698 24.2923 -7.7362 24.5880 -8.1860 25.1007 -8.6341 25.8210 -9.0819 26.6927 -9.4841 27.6231 -9.7920 28.4098 -9.9520 29.0620 -9.9789 29.5101 -9.8636 29.7147 -9.6193 29.6749 -9.2871 29.4183 -8.8904 28.9770 -8.4652 28.4041 -8.0463 27.7751 -7.6758 27.1107 -7.3626 26.4478 -7.1221 25.8192 -6.9642 25.2274 -6.8910 24.7312 -6.9130 24.3574 -7.0285 24.1290 -7.2305 24.0728 -7.5764 24.2943 -8.0158 24.8061 -8.5187 25.5818 -9.0343 26.5174 -9.4891 27.5297 -9.8454 28.4905 -10.0487 29.2745 -10.0687 29.7068 -9.9395 29.9005 -9.6871 29.8469 -9.3341 29.5684 -8.9143 29.0496 -8.4146

-6.7668 -6.5027 -6.4130 -6.4589 -6.6063 -6.8452 -7.1628 -7.6869 -8.2994 -8.9571 -9.6020 -10.1210 -10.4979 -10.6667 -10.5869 -10.2923 -9.8151 -9.2066 -8.5300 -7.8854 -7.3092 -6.8437 -6.5139 -6.3290 -6.2739 -6.3412 -6.5164 -6.7987 -7.1721 -7.6223 -8.1319 -8.8035 -9.4812 -10.0954 -10.5654 -10.8023 -10.7642 -10.4287 -9.8274 -9.1891 -8.4977 -7.8211 -7.2179 -6.6824

8.1226 8.1515 8.1804 8.2045 8.2286 8.2527 8.2768 8.3058 8.3349 8.3639 8.3930 8.4220 8.4511 8.4801 8.5092 8.5366 8.5640 8.5914 8.6188 8.6434 8.6680 8.6926 8.7172 8.7424 8.7675 8.7927 8.8178 8.8426 8.8673 8.8920 8.9168 8.9517 8.9867 9.0216 9.0566 9.0860 9.1154 9.1448 9.1743 9.1998 9.2254 9.2510 9.2765 9.3038

28.3689 27.5891 26.7834 26.1358 25.5304 24.9902 24.5353 24.1249 23.8979 23.8829 24.0998 24.5554 25.2419 26.1211 27.1166 28.0677 28.9213 29.5820 29.9844 30.0980 29.9776 29.6454 29.1461 28.5186 27.8152 27.0791 26.3501 25.6711 25.0544 24.5239 24.1007 23.7201 23.6517 23.9413 24.6018 25.4256 26.4335 27.5318 28.5957 29.3817 29.9534 30.2592 30.2842 30.0276

-7.9292 -7.4996 -7.1572 -6.9523 -6.8259 -6.7806 -6.8157 -6.9593 -7.2085 -7.5533 -7.9731 -8.4421 -8.9296 -9.3950 -9.7902 -10.0566 -10.1828 -10.1467 -9.9524 -9.6597 -9.2794 -8.8441 -8.3881 -7.9365 -7.5280 -7.1848 -6.9225 -6.7511 -6.6689 -6.6765 -6.7713 -7.0389 -7.4564 -8.0009 -8.6173 -9.1422 -9.6246 -10.0095 -10.2468 -10.3028 -10.2059 -9.9607 -9.5924 -9.1060

-6.3228 -6.1506 -6.1504 -6.2625 -6.4691 -6.7602 -7.1246 -7.6466 -8.2398 -8.8755 -9.5154 -10.1129 -10.5980 -10.9015 -10.9677 -10.7779 -10.3522 -9.7327 -8.9835 -8.2730 -7.5980 -7.0093 -6.5426 -6.2082 -6.0201 -5.9740 -6.0540 -6.2384 -6.5190 -6.8848 -7.3240 -8.0475 -8.8519 -9.6697 -10.4073 -10.8827 -11.1337 -11.0964 -10.7505 -10.2165 -9.5247 -8.7491 -7.9645 -7.2021

9.3310 9.3583 9.3855 9.4091 9.4327 9.4563 9.4799 9.5080 9.5361 9.5642 9.5923 9.6224 9.6524 9.6825 9.7126 9.7429 9.7732 9.8035 9.8337 9.8582 9.8827 9.9071 9.9316 9.9487 9.9658 9.9829 10.0000

29.5227 28.8275 28.0233 27.2958 26.5660 25.8628 25.2104 24.5284 23.9805 23.5991 23.4141 23.4619 23.7971 24.4312 25.3386 26.4679 27.6847 28.8363 29.7746 30.2825 30.5186 30.4751 30.1778 29.8457 29.4316 28.9543 28.4322

-8.5712 -8.0385 -7.5502 -7.1889 -6.9000 -6.6921 -6.5697 -6.5350 -6.6198 -6.8200 -7.1246 -7.5494 -8.0596 -8.6255 -9.1997 -9.7319 -10.1490 -10.3871 -10.4100 -10.2620 -9.9741 -9.5712 -9.0897 -8.7292 -8.3646 -8.0086 -7.6722

-6.5812 -6.1385 -5.8833 -5.8034 -5.8433 -5.9917 -6.2349 -6.6313 -7.1320 -7.7204 -8.3765 -9.1255 -9.8704 -10.5411 -11.0545 -11.3229 -11.2634 -10.8477 -10.1129 -9.3553 -8.5380 -7.7382 -7.0217 -6.5972 -6.2466 -5.9745 -5.7809

plot(x(:,2), x(:,1)); (1) 参数不变,初值改为 1 1 10

β改为 10

σ改为 50:

ρ改为 2:

七、加分题

解:根据题意:将食物浆与蔬菜下脚及少量纸片混合成原料,加入真菌菌种,在 容器内发酵转化成肥料。为了增加肥料产量,在不购买新设备的条件下,依靠增 加真菌活力的方法加速肥料的生产。实验记录给出了食物浆、蔬菜下脚、碎纸的 量,并给出了投料日期和产出日期,这样我们可以知道肥料生成的时间长短。并 且通过分析温度、湿度及投料比,确定最佳方案生产肥料。于是我们的问题可以 描述为: 1、在什么温度下生成肥料的速率最快; 2、在什么湿度下生成肥料的速率最快; 3、在什么样的投料比下生成肥料的速率最快。 为了解决上面提出问题,需要知道肥料生成的的天数,同时计算出对应天数下 食物浆、蔬菜下脚、碎纸之间的比例。除此之外还要建立温度和湿度的图像,通 过比较来确立最合适的生成机制。 在解决这个问题的过程中主要运用控制变量法。 通过查找资料, 将以北方的温度和湿度为模版, 建立温度和湿度的图像。 首先, 进行模型假设: 1 将容器看作封闭的,不考虑质量的损耗。 2 以北方的温度和湿度为标准。 3 真菌的数量相同,初始活力相同。 4 容器内生化反应过程中的温度不受人为因素控制,但受外界环境的影响。 餐厅没有温度控制方面的投资。 5 反映开始前,真菌和发酵物分别储藏,不发生反应。 6 容器内的真菌分布均匀,且处于发酵的最佳状态。 7 在一定时间内,温度和湿度取平均值。

建立数学模型: 首先确立食物浆和蔬菜下脚的比例, 并以比例为横坐标, 肥料生成时间为纵坐标, 建立坐标系,做出图像。 编号 1 (食物浆/蔬菜下脚) 比例 碎纸 2.77419 0 肥料生成天数 28

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.41772 3.38095 2.47561 2.82143 1.98113 8.06667 3.43750 1.86364 0.95000 1.50980 1.36842

0 0 0 0 0 0 0 9 6 7 6

27 27 26 33 36 35 47 49 49 49 49

60 50 40 30 20 10 0 0.537 1.053 0.662 0.731 0.354 0.505 0.124 0.291 0.36 0.705 0.296 0.404 天数

食物浆与蔬菜下脚比例和肥料生成天数关系

由图可以看出七八月份的产出明显要短,生成速率明显要高,增加碎纸的容 器反而分解速率更低。从图中可以看出编号为 4 的当食物浆与蔬菜下脚比例为 2.5 左右且无碎纸,时间为 7 月 27 日到 8 月 22 日时,产出时间最短,生成速率 最高,说明此时真菌的活性最大。比较编号为 5—8 组和 9—12 组可以看出,添 加碎纸的组产出时间明显增长,说明碎纸片对真菌的活力起减缓作用,因此,在 食物浆与蔬菜下脚比例为 2.5 左右且无碎纸,投料时间为七月下旬时,真菌活性 最大,所需时间最短,速度最快。

然后变换图像,使其横坐标按顺序排列:
60 50 40 30 20 10 0 0.124 0.291 0.296 0.354 0.36 0.404 0.505 0.537 0.662 0.705 0.731 1.053 天数

可以看出,在不考虑温度和湿度的情况下,当比例为 2.47561 时,产出速率 最快。 通过查找资料,找到北方的平均温度和相对湿度,并作出了图像:

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

平均温度(摄氏度) -0.4 0 3.4 8.4 13.4 18 21.5 23.5 21.3 16 9.1 2.7

相对湿度百分率% 63 65 70 73 77 87 94 89 73 64 64 63

做出图像:

100 80 60 40 20 0 -20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 温度 相对湿度

与我们通常的理解相近,当处于北方夏季时,温度要高(相对湿度也高) , 用于分解食物的酶活性也高,即此时菌种的活力相对较高。 事实上,如果做出平均气温和湿度的曲线,于上面的曲线比较,也就找出了具有 一般性的最佳生成机制。 综上分析, 要想使增加肥料的产量, 必须使菌种在合理的温度和湿度条件下, 合理的搭配投料比。 由我们的模型知道, 当温度在 21.5~23.5 , 相对湿度在 73%~94% 时,投料比为 0.40394 时肥料的生成速率最快。

一阶常微分方程初值问题

? dy ? ? f ( x, y ) ? dx ? y( x ) ? y 0 ? 0
数值解法是近似计算中很重要的部分。 常微分方程初值问题的数值解法是求方程的解在点列 xn ? xn?1 ? hn (n ? 0,1,?) 上 的近似值 yn ,这里 hn 是 xn ?1 到 xn 的步长,一般略去下标记为 h 。 常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类: (1)单步法:这类方法在计算 yn 时,只用到 xn ?1 、 xn 和 yn ,即前一步的值。因 此,在有了初值以后就可以逐步往下计算。典型方法如龙格 –库塔 ( R ? K ) 方法。 ( 2 )多步法:这类方法在计算 yn ?1 时,除用到 xn ?1 、 xn 和 yn 以外,还要用 ,即前面 k 步的值。典型方法如 Adams 方法。 yn? p ( p ? 1, 2, ?k , ;k ? 0) 经典的 R ? K 方法是一个四阶的方法,它的计算公式是:

h ? ? yn ?1 ? yn ? 6 ( K1 ? 2 K 2 ? 2 K3 ? K 4 ) ? ? K1 ? f ( xn , yn ) ? h h ? ? K 2 ? f ( xn ? , yn ? K1 ) 2 2 ? h h ? ? K3 ? f ( xn ? 2 , yn ? 2 K 2 ) ? ? ? K 4 ? f ( xn ? h, yn ? hK3 )
R ? K 方法的优点是:单步法、精度高,计算过程便于改变步长,缺点是计算量

较大,每前进一步需要计算四次函数值 f 。 数学模型具有弹性,如果有更多更全面的数据,可以找出参数,建立具有一般性 的模型公式。 模型的缺点是没有充分利用生物实验的数据来确立模型公式,再有 模型对温度和湿度的依赖性很大,也无法计算容器内部热量的产生和扩散。

利用四阶龙格-库塔方法求解微分方程的初值问题 问题 1 (1) TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 5, inline('-x-1'))

TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 10, inline('-x-1'))

TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 20, inline('-x-1'))

(2) TestRK4('ode2', 1, [0 1], 5, inline('1./(x+1)'))

TestRK4('ode2', 1, [0 1], 10, inline('1./(x+1)'))

TestRK4('ode2', 1, [0 1], 20, inline('1./(x+1)'))

问题 2 (1) TestRK4('ode3', 3, [1 0], 5, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))

TestRK4('ode3', 3, [1 0], 10, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))

TestRK4('ode3', 3, [1 0], 20, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))

(2)

TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 5, inline('2*x./(1-2*x)'))

TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 10, inline('2*x./(1-2*x)'))

TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 20, inline('2*x./(1-2*x)'))

问题 3 (1) TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 5, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))

TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 10, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))

TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 20, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))

(2) TestRK4('ode6', 1, [0 1], 5, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))

TestRK4('ode6', 1, [0 1], 10, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))

TestRK4('ode6', 1, [0 1], 20, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))

(3) TestRK4('ode7', 1, [0 0], 5, inline('exp(x).*sin(x)'))

TestRK4('ode7', 1, [0 0], 10, inline('exp(x).*sin(x)'))

TestRK4('ode7', 1, [0 0], 20, inline('exp(x).*sin(x)'))

考虑到餐厅的实际情况,给出以下建议: 1. 增加每批处理的混合物的质量,确定合适的比例。 2. 从生物反应方面考虑,增加氧气,充分搅拌,保证容器内混合物充分反 应。 3. 调节温度,是真菌处于最佳状态。 4. 控制碎纸的量。 5. 采用循环利用也是比较好的方法。


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