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简单的三角函数恒等变换讲解


年级 内容标题 编稿老师

高一

学科

数学

简单的三角函数恒等变换 褚哲

一、学习目标: 1. 了解积化和差、和差化积的推导过程,能初步运用公式进行和、积互化. 2. 能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明. 二、重点、难点: 重点: 三角函数的积化和差与和差化积公式, 能正确运用此公式进行简单的三角函数式 的化简、求值和恒等式的证明. 难点:公式的灵活应用. 三、 考点分析: 三角函数的积化和差与和差化积这两种转化, 对于三角函数式的求值、 化简及恒等变形 都有一定的作用,积化和差公式的推导运用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导运用 了“换元”思想.高中阶段对这两组公式的教学与考查,只是将其作为基本的训练素材,结果 不要求记忆,但同学们要注意体会并能运用它们进行简单的三角变换.

三角函数的积化和差与和差化积公式 1、公式的推导

sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?, (S? ?? ) sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?, (S? ?? ) cos?? ? ?? ? cos ? cos? ? sin ? sin ?,(C??? )

cos?? ? ?? ? cos ? cos? ? sin ? sin ?,(C??? )

?S ? ? ?S ?,?S ? ? ?S ? ?C ? ? ?C ? , ?C ? ? ?C ? 得
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

sin?? ? ?? ? sin?? ? ?? ? 2 sin ? cos ? sin?? ? ?? ? sin?? ? ?? ? 2 cos ? sin ? cos?? ? ?? ? cos?? ? ?? ? 2 cos ? cos ? cos?? ? ?? ? cos?? ? ?? ? ?2 sin ? sin ?

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即 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2

(1)

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? (2) 2 1 cos ? cos ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? (3) 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? (4) 2 cos ? sin ? ?
公式(1) (2) (3) (4)叫做积化和差公式. 其特点为:同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半,异名函数之积化为两 角和与差正弦的和(差)的一半,等式左边为单角 α、β,等式右边为它们的和差角. 在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.为了用起来方便,在 积化和差的公式中,如果令 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,则 ? ? 把这些值代入积化和差的公式(1)中,就有

? ??
2

,? ?

? ??
2

.

sin ?

? ??
2

· cos

? ??
2

1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2? ? 2 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1 ? ?sin ? ? sin ? ? 2 ? ?? ? ?? ∴ sin ? ? sin ? ? 2 sin · cos (5) 2 2
同理可得,

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??

2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos · cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2 sin · sin 2 2

· sin

? ??

(6) (7) (8)

公式(5) (6) (7) (8)叫做和差化积公式. 其特点为:同名函数的和(或差)才可化积;余弦函数的和或差化为同名函数之积;正 弦函数的和 (或差) 化为异名函数之积; 等式左边为单角 θ 与 ? , 等式右边为 的形式. 牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用. 2、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得,进一步明确三角函数中虽然公 式较多,但它们都不是孤立存在的.另外,弄清公式的来源及其内在联系,才能更好地记忆 和使用它们.

??? ??? 与 2 2

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例 1:把下列各式化为和差的形式.

5 ? 12 12 (2) 2 cos 35? ? sin 55?
(1) sin

?

? cos

(3) cos?x ? y ? ? cos?x ? y ? . 思路分析:利用积化和差公式解题. 解题过程: (1)方法 1: sin

? 5 · cos ? 12 12

? ? ? ?

1? ?? 5 ? 5 ?? ?? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ?? ? 2 ? ? 12 12 ? ? 12 12 ?? 1? ? ? ? ?? sin ? sin ? ? ?? ? 2? 2 ? 3 ?? 1? 3? ?1 ? ? ? 2? 2 ? ?

1 3 ? 2 4 ? 5 5 5 5? ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? cos 2 方法 2: sin 12 12 12 12 12
5 ? 3 1 ? cos ? 1 ? cos 1? 6 ? 6 ? 2 ?1? 3 ? 2 2 2 2 4 (2) 2 cos 35? ? sin 55?

? sin ?35? ? 55?? ? sin ?35? ? 55?? ? sin 90? ? sin 20?
(3)方法 1: cos?x ? y ?· cos?x ? y ?

? 1 ? sin 20?

? ?cos x cos y ? sin x sin y ??cos x cos y ? sin x sin y ? ? cos2 x ? cos2 y ? sin 2 x ? sin 2 y 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 y ? cos2 x ? cos2 y ? · 2 2 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 y 1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 y ? ? ? ? 2 2 2 2 1 1 ? cos 2 x ? cos 2 y 2 2 方法 2: cos?x ? y ? ? cos?x ? y ?

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1 ?cos??x ? y ? ? ?x ? y ?? ? cos??x ? y ? ? ?x ? y ??? 2 1 ? ?cos 2 x ? cos?? 2 y ?? 2 1 1 ? cos 2 x ? cos 2 y 2 2 ?
解题后思考: (1)只有牢记积化和差公式,解题时才能正确使用. ( 2) 如求 sin 即 sin

?
8

? sin

3? 的值, 可不用积化和差公式, 用二倍角公式也可求值, 8

?
8

? sin

3? ? ? 1 ? 2 ? sin ? cos ? sin ? 8 8 8 2 4 4

例 2:把下列各式化成积的形式.

1 ; 2 (2) sin x ? cos x .
(1) cos x ? 思路分析:只要将以上两题稍作变形,如将题(1)中的 看作 sin ?90? ? x ? ,即可直接应用公式进行化积. 解题过程: (1) cos x ?

1 ? 换成 cos ,题(2)中的 cosx 2 3

1 ? ? cos x ? cos 2 3

? ?2 sin

x? 2

?
3 ? sin

x?

?
3

2 ?x ?? ?x ?? ? ?2 sin ? ? ? sin ? ? ? ?2 6? ?2 6?
(2)方法 1: sin x ? cos x ? sin x ? sin ?90? ? x ?

? 2 sin 45? ? cos?x ? 45?? ? 2 cos x ? 45o
方法 2: sin x ? cos x ?

?

?

? 2 ? 2 2? sin x ? cos x? 2 ? 2 ?

? 2 ? 2 ? ? 2? cos x ? sin x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?cos 45? ? cos x ? sin 45? ? sin x ? ? 2 cos?x ? 45??
解题后思考: (1)只有同名函数的和(或差)才能化为积的形式,因此题(1)中的 为 cos

1 可化 2

? ,题(2)中的 cos x 可化为 sin ?90? ? x ? . 3
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(2)对于形如 a sin x ? b cos x ,可化为 a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ? 的形式,也能达到实现和 差化积形式的目的. 例 3:求值: (1) sin 20? ? cos 80? ? 3 sin 20? cos80? ;
2 2

(2)csc40° +cot80° . 思路分析: 最常见的方法是降幂扩角及积化和差公式的应用, 但对偶式的应用可能会使问题 变得更简单. 解题过程: (1) sin 20 ? cos 80 ? 3 sin 20 cos 80
2 o 2 o o o

1 ? cos 40 o 1 ? cos160 o ? ? 3 sin 20 o cos 80 o 2 2 1 3 ? 1 ? cos160 o ? cos 40 o ? sin 100 o ? sin 60 o 2 2 3 3 ? 1 ? sin 100 o · sin 60 o ? sin 100 o ? 2 4 1 3 3 ? ? sin 100 o ? sin 100 o 4 2 2 1 ? 4 1 cos 80? ? (2) csc40 ? ? cot80 ? ? sin 40? sin 80? 2 cos 40? ? cos 80? cos 40? ? cos 40? ? cos 80? ? ? sin 80? sin 80? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20 ? ? sin 80? cos 40? ? cos 20? 2 cos 30? cos 10? ? ? sin 80? sin 80? ?

?

?

?

?

? 2 cos30? ? 3
解题后思考:三角函数变换的灵活性更多地体现在拆角的灵活性上,题(1)的解题过程对 这一点展现得淋漓尽致;题(2)巧妙地运用了对偶式,使解答变得简单.这种方法也可以解 形如 cos 20 cos 40 cos 80 的求值题. 例 4:求值:sin6° sin42° sin66° sin78° . 思路分析:本题的解法具有一定的技巧性,可以用二倍角公式引起连锁反应,也可用积化和 差公式解题. 解题过程:方法一:sin6° sin42° sin66° sin78°
o o o

?

1 ?cos 60? ? cos 72?? ? 1 ?cos 36? ? cos 120 ?? 2 2

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? ?
?

1?1 ?? 1 ? ? ? cos72? ?? ? cos36? ? 4?2 ?? 2 ? 1 1 ?1 ? ? ? ?cos36? ? cos72?? ? cos36? cos72?? 16 4 ? 2 ?

1 1 ? ?sin 54? sin 18? ? cos 36? cos 72?? 16 4 1 1 1 ? ? ?sin 54? sin 18? ? sin 54? sin 18?? ? 16 4 16
方法二:sin6° sin42° sin66° sin78°

2 sin 6? cos 6? cos 12? cos 24? cos 48? 2 cos 6? sin 12? cos 12? cos 24? cos 48? ? 2 cos 6? sin 24? cos 24? cos 48? ? 4 cos 6? sin 48? cos 48? sin 96? 1 ? ? ? 8 cos 6? 16 cos 6? 16 ?
解题后思考:积化和差、和差化积两套公式的运用灵活性较大.做题时既要注意公式的正确 选择,还要认真考虑项与项之间的适当组合.

三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数运算中起 什么作用,和差化积公式在三角函数运算中就起什么作用. 积化和差与积差化和是一对“孪生兄弟”,两者不可分离,在解题过程中,要切实注意两 者的交替使用.在一般情况下,如遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂公式,然后应用 和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.

(答题时间:45 分钟) 一、填空题 1. 已知 sin(

?
6

??) ?

1 2? ? 2? ) ? ,则 cos( 3 3

. . .

? 3 sin ? cos? ,则 2. 已知 tan(? ? ) ? ? ,则 ? 3 5 3cos2 ? ? 2sin 2 ?

?2 ? ?2 ? ? ? ? ? cos? ? ? ? ? 化成和差为 ?3 ? ?3 ? 4. sin 20? cos 70? ? sin 10? sin 50? 的值是_______________.
3. 积 cos? cos?

3sin A ? 4cos B ? 6,3cos A ? 4sin B ? 1 , 5. 在 ?ABC 中, 则 ?C 的大小为________.

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二、解答题 1. 已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(1)求 sinx-cosx 的值;

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. (2)求 tan x ? cot x ? ? 7 7 2. 已知 ? ? (0, ) , ? ? ( , ? ) , cos 2 ? ? ? , sin(? ? ? ) ? . 2 2 9 9 (1)求 cos ? 的值; 3 sin 2
(2)求 sin ? 的值. 3. 已知 A、B、C 是△ABC 的内角,向量 m ? 1, 3 ,且 m ? n ? 1

?

?

?? ?

1 ? sin 2B ? 3 .求 tan C cos 2 B ? sin 2 B 2? ? 4. 是否存在锐角 ? 和 ? ,使得(1)? ? 2 ? ? ; (2) tan ? tan ? ? 2 ? 3 同时 3 2
(1)求角 A; (2)若 成立,若存在,求出 ? 、 ? 的值,若不存在,说明理由.

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一、填空题 1. ?

7 9

解析: cos(

2? ? ? ? 1 ? 2? ) ? 2cos 2 ( ? ? ) ? 1 ,且 cos( ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 3 3 6 3 2? 7 ? 2? ) ? ? . 所以 cos( 3 9
3.

3 3 ? 5. 6
2. 解析:由 ?

1 cos 3? 4

4.

1 4

?3sin A ? 4 cos B ? 6 平方相加得 ?3cos A ? 4 sin B ? 1
1 2

sin( A ? B) ? ? sin C ? ?C ?


?

1 2

5 或 ? 6 6

5 C? ? 6
A? B ?



?

6 ?1 ? 3cos A ? 4 sin B ? 0

? cos A ?


1 3

1 1 ? 3 2

?A?

?

3 5 ?C ? ? 6 ?C ?
二、解答题 1. 解: (1)由 sin x ? cos x ? 1 , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 , 5 25
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?

6

即 2 sin x cos x ? ? 又? ?

24 49 2 .? ?sin x ? cos x ? ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25 25

?
2

? x ? 0 . ? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0 ,

故 sin x ? cos x ? ? 7 . 5

3 sin 2
(2)

x x x x ? 2 sin ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 ? 2 sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x
12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125

? sin x cos x (2 ? cos x ? sin x) ? (?

) ,cos ? ? 0 2. 解析: (1)因为? ? ( , ? 2
又cos 2 ? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

?

7 1 ,所以cos ? ? ? (1), 9 3
2

根据(1) ,得sin ? ? 1 ? cos 且sin(? ? ? ) ?

??

? 3? 2 2 ), ,? ? ? ? ( , 2 2 3

7 4 2 2 ,cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ? 9 9 故 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ?
= ? (? ) ? (? 3. 解: (1) m ? n ? 1 ,

7 9

1 3

4 2 2 2 1 )? ? 9 3 3

?? 1 ? ? 3 sin A ? cos A ? 1, sin? A ? ? ? 6? 2 ? ? ? ?? ?0 ? A ? ? ?? ? A ? ? 6 6 6 ? ? ? ? A ? ? ,即 A ? 6 6 3 1 ? sin 2B ? 3 ,整理得 2 sin 2 B ? sin B cos B ? cos2 B ? 0 (2)由题意知 cos 2 B ? sin 2 B 1 ?cos B ? 0,?2 tan 2 B ? tan B ?1 ? 0 ,即 tan B ? 或 tan B ? ?1 2 1 2 2 即 tan B ? ?1 时,使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去,? tan B ? 2 tan A ? tan B tan C ? tan ?? ? ? A ? B ?? ? ? tan ? A ? B ? ? ? ? ?8 ? 5 3 1 ? tan A tan B 2 ? ? 4. 解:由 ? ? 2 ? ? ? 得 ? ? ? 3 2 3
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? tan ? ?? ? 2 ∴ tan? ? ? ? ? ? 3, ?2 ? 1 ? tan ? tan ? 2 ? ? ? ? tan ? tan ? ? 3?1 ? tan tan ? ? ? 3 ? 3 2 2 ? ? tan
∴ tan

?

?
2

, t an ? 是一元二次方程 x 2 ? 3 ? 3 x ? 2 ? 3 ? 0 的两根,

?

?

解得 x1 ? 1, x2 ? 2 ? 3 , 由于 0 ?

?
2

?

?
4

,所以 tan

?
2

? 1 是不可能的,

所以 tanβ=1, tan 所以 ? ?

?
2

? 2? 3
, ,

?
6

,? ?

?
4

所以存在锐角 ? ?

?
6

,? ?

?
4

,使得(1) 、 (2)两个等式同时成立.

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