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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第2章 第6节 对数与对数函数]


第六节

对数与对数函数

考点一

对数式的化简与求值

[例 1] (1)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m n;


?1-log63?2+log62· log618 (2)计算 ; log64 (3)计算(log32+log92)· (log43+log83). [自主解答] (1)法一:∵loga2=m,loga3=n, ∴am=2,an=3,∴a2m n=(am)2· an=22×3=12.


法二:∵loga2=m,loga3=n, ∴a2m n=(am)2· an=(aloga2)2· aloga3=22×3=12.


6 1-2log63+?log63?2+log6 · log6?6×3? 3 (2)原式= log64 = = = 1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63? log64 1-2log63+?log63?2+1-?log63?2 log64 2?1-log63? log66-log63 log62 = = =1. 2log62 log62 log62

lg 2 lg 2? ?lg 3 lg 3? (3)原式=? ?lg 3+lg 9?· ?lg 4+lg 8? lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? =? ?lg 3+2lg 3?· ?2lg 2+3lg 2? = 3lg 2 5lg 3 · 2lg 3 6lg 2

5 = . 4

【互动探究】 在本例(1)的条件下,求 loga36 的值. 解:loga36=loga4+loga9=2(loga2+loga3)=2(m+n).

【方法规律】 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最 简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为 同底对数真数的积、商、幂的运算.

1 1 lg -lg25?÷ 1.计算? ? 4 ? 100-2=________. 1 ? 1 解析:原式=? =-20. ?lg100?÷ 10 答案:-20 1 1 2.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b 解析:∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m2=10,∴m= 10. 答案: 10

考点二

对数函数的图象及其应用

[例 2] (1)函数 y=logax 与 y=-x+a 在同一坐标系中的图象可能是(

)

A

B

C

D

(2)已知函数 f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a,b 满足的关系是 ( )

A.0<a 1<b<1


B.0<b<a 1<1


C.0<b 1<a<1


D.0<a 1<b 1<1
- -

[自主解答] (1)当 a>1 时,函数 y=logax 的图象为选项 B,D 中所示过(1,0)点的曲线, 此时函数 y=-x+a 的图象与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满足 a>1, 选项 B, D 中所示的图象 都不符合要求; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 的图象为选项 A,C 中所示过(1,0)点的曲线,此时函数 y =-x+a 的图象与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满足 0<a<1,选项 A 中所示的图象符合要求, 选项 C 中所示的图象不符合要求. (2)令 g(x)=2x+b-1, 这是一个增函数, 而由图象可知函数 f(x)=logag(x)是单调递增的, 所以必有 a>1. 又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于-1 和 0 之间,即-1<f(0)<0,所以- 1<logab<0,故 a 1<b<1,因此 0<a 1<b<1.
- -

[答案] (1)A 【方法规律】

(2)A

对数函数与指数函数的图象特征 (1)底数与 1 的大小关系决定了图象的升降,即 a>1 时,图象上升;0<a<1 时,图象 下降. (2)底数的大小决定了图象的高低, 即在 y 轴右边, 指数函数 y=ax 的图象“底大图高”; 在 x 轴上方,对数函数 y=logax 的图象“底大图低”.

1.已知函数 f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线 y=a(a<0)与这三个函数的交点 的横坐标分别是 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是( A.x2 <x3<x1 C.x1 <x2<x3 B.x1<x3<x2 D.x3<x2<x1 )

解析:选 A 在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线 y=a(a<0)(图略),易知 x1> x3>x2,故选 A. 2.函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为________,单调递增区间为________.

解析:作出函数 y=log2x 的图象,将其关于 y 轴对称得到函数 y=log2|x|的图象,再将

图象向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数 y= log2|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞). 答案:(-∞,-1) (-1,+∞)

高频考点

考点三 对数函数的性质及其应用

1.对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难 度低、中、高档都有. 2.高考对对数函数性质的考查主要有以下两个命题角度: (1)考查对数函数的定义域; (2)考查对数函数的单调性在比较大小、解不等式、求最值等问题中的应用. lg?x+1? [例 3] (1)(2013· 广东高考)函数 y= 的定义域是( x-1 A.(-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) ) )

(2)(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b

log x,x>0, ? ? 2 (3) (2014· 杭州模拟)设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范 log ?-x?,x<0, ? 2 ? 围是( )

A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) (4)(2014· 中山模拟)已知函数 f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若 f(x)>1 在区间[1,2]上恒 成立,则实数 a 的取值范围为________. lg?x+1? [自主解答] (1)要使 有意义,需满足 x+1>0 且 x-1≠0,得 x>-1 且 x≠1. x-1 (2)∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2,∴log3 3<log32<log33,log51<log52<log5 5,log23 >log22, 1 1 ∴ <a<1,0<b< ,c>1. 2 2

∴c>a>b. (3)由题意可得

? ? ? ?a>0, ? 或? 1 ?log2a>-log2a, ? ?log ?-a?>log2?-a?.
a<0, 2

?

解得 a>1 或-1<a<0. (4)当 a>1 时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数, 由 f(x)>1 恒成立, 则 f(x)min=loga(8 -2a)>1, 8 解得 1<a< . 3 若 0<a<1 时,f(x)在 x∈[1,2]上是增函数, 由 f(x)>1 恒成立, 则 f(x)min=loga(8-a)>1, 且 8-2a>0,∴a>4,且 a<4,故不存在. 8 1, ? . 综上可知,实数 a 的取值范围是? ? 3? [答案] (1)C 8 1, ? (2)D (3)C (4)? ? 3?

对数函数的性质及其应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数的定义域.要注意对数函数的底数和真数的取值范围,列出对应的不等式(组) 求解即可. (2)比较对数式的大小.①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断; 若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论. ②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. ③若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较. (3)解对数不等式.形如 logax>logab 的不等式,借助 y=logax 的单调性求解,如果 a 的 取值不确定,需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论;形如 logax>b 的不等式,需先将 b 化为 以 a 为底的对数式的形式.

1? 1.已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?5?log30.3,则( A.a>b>c C.a>c>b 解析:选 C B.b>a>c D.c>a>b

)

1? 10 a=5log23.4,b=5log43.6,c=? ?5?log30.3=5log3 3 .

10 又∵log23.4>log3 >1,0<log43.6<1, 3 1? ∴5log23.4>? ?5?log30.3>5log43.6,即 a>c>b. 2.(2014· 嘉兴模拟)已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如 果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)∵a>0 且 a≠1,设 t=3-ax,则 t=3-ax 为减函数,x∈[0,2]时,t 最小值为 3 -2a.当 x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即 x∈[0,2]时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0,即 a< . 2 又 a>0 且 a≠1, 3 1, ? . ∴a∈(0,1)∪? ? 2? (2)t=3-ax,∵a>0,∴函数 t(x)在 R 上为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数.∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为 3 -2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),
?3-2a>0, ? ∴? 即 ?loga?3-a?=1, ?

?a<2, ? 3 ?a=2,

3

故这样的实数 a 不存在.

——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1 种关系——指数式与对数式的互化 ab=N?logaN=b(a>0,a≠1,N>0). 2 个注意点——解决对数问题应注意的两点 解决与对数有关的问题时:(1)务必先研究函数的定义域;(2)对数函数的单调性取决 于底数 a,应注意底数的取值范围. 3 个关键点——对数函数图象的画法 1 ? 画对数函数 y=logax 的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),? ?a,-1?. 4 种方法——对数值的大小比较方法 (1) 化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量 (0 或 1); (4)化同真数后利用图象比较.


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