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山东省枣庄市2015届高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

山东省枣庄市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则 i =() A.1 B . ﹣1
2 7

C. i

D.﹣i

2. (5 分)已知集合 A={y|y=﹣x +2,x∈R},B={y|y=﹣x+2,x∈R},则 A∩B=() A.(﹣∞,2] B.{(0,2) , (1,1)} C. {1,2} D. (0,2) , (1,1) 3. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,1]时,f(x)=x+3,则 f(﹣ ) =() A.﹣ B. ﹣ C. ﹣ D.﹣2

4. (5 分) 为考察某种药物预防疾病的效果, 对 100 只某种动物进行试验, 得到如下的列联表: 患者 未患者 合计 服用药 10 40 50 没服用药 20 30 50 合计 30 70 100 经计算,统计量 K 的观测值 k≈4.762,则在犯错误的概率不超过()的前提下认为药物有效, 2 已知独立性检验中统计量 K 的临界值参考表为: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.0.005 B.0.05 C.0.010 D.0.025
2

5. (5 分)已知 logax>logay(0<a<1) ,则下列不等式恒成立的是() A.y <x
2 2

B.tanx<tany

C. <

D.



6. (5 分)人们常说“无功不受禄”,这句话表明“受禄”是“有功”的() A.充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()

[来源:学*科*网] A. B. C. D.

8. (5 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为()

A.4

B. 5

C. 7

D.9

9. (5 分)已知 max{a,b}=

,实数 x,y 满足

,则 max{2x+3y﹣1,

x+2y+2}的最大值为() A.2 B. 5

C. 8

D.9

10. (5 分)函数 f(x)=log2x﹣sin2πx 的零点的个数为() A.4 B. 3 C. 2

D.1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. (5 分)已知向量 =(1,0) , =(0,1) ,若向量( + )⊥(λ ﹣ ) ,则实数 λ 的值 为.

12. (5 分)已知函数 y=

的定义域为 R,则实数 a 的取值集合为.

13. (5 分)一个四面体的棱长都为 1,四个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为.

14. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2) +y =1 相交,

2

2

则双曲线 C 离心率的取值范围是. 15. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 4sin c=2,则△ ABC 的面积的最大值为.
2

﹣cos2C= ,且

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。[来 源:学科网] 16. (12 分)某初级中学有七、八、九三个年级,每个年级男、女生人数如表: 2014-2015 学年七年级 2014-2015 学年八年级 2015 届九年级 男生 100 150 x 女生 300 450 600 按年级使用分层抽样的方法,在这所学校抽取学生 50 名,其中有 2014-2015 学年七年级学生 10 名.[来源:学科网] (1)求 x 的值; (2)用随机抽样的方法从 2014-2015 学年八年级抽取 8 名学生,经测试他们的体能得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 把这 8 名学生的体能得分看成一个总体,从中任取一 个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.4 的概率. 17. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

18. (12 分)已知函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,π<φ<2π)为奇函数,且函数 f(x)的 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f(α)= ,α 为第二象限角,求 tan(α﹣
n+1



)的值.

19. (12 分)已知数列{an+1+an}的前 n 项和 Sn=2 (1)求数列{an+1+an}的通项公式; (2)求 a2n. 20. (13 分)已知函数 f(x)=alnx+
2

﹣2,a1=0.

x ﹣(b+1)x(a 为实常数,且 a≠1) ,曲线 y=f(x)

在点(2,f(2) )处的切线的斜率为 1﹣ a. (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F1(﹣1,0) ,抛物线 x =2py 上

2

的点( ,1)处的切线经过椭圆 C 的下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F1 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于长轴端点) .请问是否存在实常数 λ,使 得| ﹣ |=λ ? 恒成立?若存在,请求出 λ 的值;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,求△ ABF2(F2 为椭圆 C 的右焦点)内切圆面积的取值范围.

山东省枣庄市 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (4 月份)
参考答案与试 题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 7 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,则 i =() A.1 B . ﹣1 C. i D.﹣i 考点: 虚数单位 i 及其性质. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的周期性、运算法则即可得出. 7 4 3 解答: 解:i =i ?i =﹣i. 故选:D.

点评: 本题考查了复数的周期性、运算法则,考查了计算能力,属于基础题. 2. (5 分)已知集合 A={y|y=﹣x +2,x∈R},B={y|y=﹣x+2,x∈R},则 A∩B=() A.(﹣∞,2] B.{(0,2) , (1,1)} C. {1,2} D. (0,2) , (1,1) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A,B 的等价形式,利用集合的基本运算进行求解. 2 解答: 解:A={y|y=﹣x +2,x∈R}={y|y≤2},B={y|y=﹣x+2,x∈R}=R, 则 A∩B={y|y≤2}, 故选:A. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 3. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,1]时,f(x)=x+3,则 f(﹣ ) =() A.﹣ B. ﹣ C. ﹣ D.﹣2
2

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质;函数的值. 函数的性质及应用. 直接利用函数的奇偶性,结合函数的解析式求解函数值即可. 解:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(0,1]时,f(x)=x+3, )=﹣ .

则 f(﹣ )=﹣f( )=﹣(

故选:C. 点评: 本题考查函数的值的求法函数奇偶性的应用,考查计算能力. 4. (5 分) 为考察某种药物预防疾病的效果, 对 100 只某种动物进行试验, 得到如下的列联表: 患者 未患者 合计 服用药 10 40 50 没服用药 20 30 50 合计 30 70 100 2 经计算,统计量 K 的观测值 k≈4.762,则在犯错误的概率不超过()的前提下认为药物有效, 2 已知独立性检验中统计量 K 的临界值参考表为: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.0.005 B.0.05 C.0.010 D.0.025

考点: 独立性检验. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: 题目的条件中已经给出这组数据的观测值,我们只要把所给的观测值同节选的观测 值表进行比较,发现它大于 3.841,在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为药物有效. 解答: 解:由题意算得,k =4.762>3.841,参照附表,可得 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为药物有效. 故选 B. 点评: 本题考查独立性检验的应用,本题有创新的地方就是给出了观测值,只要进行比较 就可以,是一个基础题. 5. (5 分)已知 logax>logay(0<a<1) ,则下列不等式恒成立的是() A.y <x
2 2 2

B.tanx<tany

C. <

D.



考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数式易得 0<x<y,由不等式的性质逐个选项验证可得. 解答: 解:∵logax>logay(0<a<1) , 2 2 ∴0<x<y,∴y >x , > ,故 A 和 D 错误; 选项 B,当取 x= ,y= 时,显然有 tanx>tany,故错误; ,故正确;

选项 C,由 0<x<y 可得

故选:C 点评: 本题考查对数不等式,涉及对数函数的性质和不等式的性质,属基础题. 6. (5 分)人们常说“无功不受禄”,这句话表明“受禄”是“有功”的() A.充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:根据充分条件和必要条件的定义可知,而付出不一定要有所得(不求回报那种) , 没有付出就一定不能有这样的所得意思就是要有付出之后才能有相应的所得, 所以“有功”是“受禄”的前提条件, 故“受禄”是“有功”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分,再根据俯视图与左视图的数据可求得底面 扇形的圆心角为 120°,又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2,把数据代入圆锥的 体积公式计算. 解答: 解:由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图与左视图可得:底面扇形的圆心 角为 120°, 又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2, ∴几何体的体积 V= × ×π×2 ×4=
2

.[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,解答的关键是判断几何体的形状及三视图的 数据所对应的几何量. 8. (5 分)若[x]表示不超过 x 的最大整数,执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为()

A.4 考点: 程序框图.

B. 5

C. 7

D.9

专题: 算法和程序框图. 分析: 根据题意,模拟程序框图的运行过程,求出该程序运行后输出的 S 的值. 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,如下; S=0,n=0,S=0+[ ]=0,0>4,否; n=1,S=0+[ ]=1,1>4,否; n=2,S=1+[ ]=2,2>4,否; n=3,S=2+[ ]=3,3>4,否; n=4,S=3+[ ]=5,4>4,否; n=5,S=5+[ ]=7,5>4,是; 输出 S=7. 故选:C. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,从而得出该 程序运行后的结果是什么.

9. (5 分)已知 max{a,b}=

,实数 x,y 满足

,则 max{2x+3y﹣1,

x+2y+2}的最大值为() A.2 B. 5

C. 8

D.9

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用作差法求出 z 的表达式,然后根据平移,根据数 形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 2x+3y﹣1﹣(x+2y+2)=x+y﹣3, 即 z=max{2x+3y﹣1,x+2y+2}= ,

其中直线 x+y﹣3=0 过 A,C 点. 在直线 x+y﹣3=0 的上方,平移直线 z=2x+3y﹣ 1(红线) ,当直线 z=2x+3y﹣1 经过点 B(2, 2)时, 直线 z=2x+3y﹣1 的截距最大, 此时 z 取得最大值为 z=2×2+3×2﹣1=9.[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 在直线 x+y﹣3=0 的下方,平移直线 z=x+2y+2(蓝线) ,当直线 z=x+2y+2 经过点 O(0,0) 时, 直线 z=x+2y+2 的截距最小, 此时 z 取得最小值为 z=0+2=2 . 即 2≤z≤9, 则 max{2x+3y﹣1,x+2y+2}的最大值为 9, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 根据 z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的 关键.难度较大. 10. (5 分)函数 f(x)=log2x﹣sin2πx 的零点的个数为() A.4 B. 3 C. 2

D.1

考点 : 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,本题即求函数 y=log2x 的图象和函数 y=sin2πx 的图象的交点个数,数 形结合可得结论. 解答: 解:函数 f(x)=log2x﹣sin2πx 的零点的个数, 即函数 y=log2x 的图象和函数 y=sin2πx 的图象的交点个数, 如图所示: 故选:B.

点评: 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断,体现了转化、数形结合的数学思想, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. (5 分)已知向量 =(1,0) , =(0,1) ,若向量( + )⊥(λ ﹣ ) ,则实数 λ 的值 为 1.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由条件利用两个向量垂直的性质可得( + )?(λ ﹣ )=0,再利用两个向量坐标 形式的运算法、两个向量的数量积公式求得实数 λ 的值. 解答: 解:由题意可得( + )?(λ ﹣ )=(1,1)?(λ,﹣1)=λ﹣1=0, ∴λ=1, 故答案为:1. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量坐标形式的运算、两个向量垂直的 性质,属于基础题.

12. (5 分)已知函数 y=

的定义域为 R,则实数 a 的取值集合为[1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可得到结论. 解答: 解:∵函数 y=
2

的定义域为 R,

∴x ﹣2x+a≥0 恒成立, 即判别式△ =4﹣4a≤0, 解得 a≥1, 故答案为:[1,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

13. (5 分)一个四面体的棱长都为 1,四个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为



考点: 专题: 分析: 解答: 同.

球的体积和表面积. 空间位置关系与距离. 将正四面体补成正方体,通过正方体的对角线与球的半径关系,求解即可. 解:如图,将正四面体补形成一个正方体,正四面体的外接球与正方体的外接球相

∵正四面体为 1,∴正方体的棱长是



又∵球的直径是正方体的对角线,设球半径是 R, ∴2R= ∴R= ,球的表面积为 4π( . )=
2



故答案为:

点评: 巧妙 构造正方体,利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线,从而将问题巧妙 转化.若已知正四面体 V﹣ABC 的棱长为 a,求外接球的半径,我们可以构造出一个球的内接 正方体,再应用对角线长等于球的直径可求得.

14. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2) +y =1 相交,

2

2

则双曲线 C 离心率的取值范围是



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线,进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求 2 2 2 得 a 和 b 的关系,进而利用 c =a +b 求得 a 和 c 的关系,则双曲线的离心率可求. 2 2 解答: 解:∵双曲线渐近线为 bx±ay=0,与圆(x﹣2) +y =1 相交 ∴圆心到渐近线的距离小于半径,即 ∴3b <a , ∴c =a +b < a , ∴e= < ∵e>1 ∴1<e< 故答案为: 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式 等.考查了学生数形结合的思想的运用. 15. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 4sin c=2,则△ ABC 的面积的最大值为 考点: 二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. .
2 2 2 2 2 2 2

<1



﹣cos2C= ,且

分析: 由条件利用二倍角公式求得 cosC 的值, 再利用余弦定理、 基本不等式求得 ab 的最大 值,可得△ ABC 的面积 ab?sinC 的最大值. 解答: 解:△ ABC 中,∵4sin
2 2

﹣cos2C= ,∴2[1﹣cos(A+B)]﹣(2cos C﹣1)= ,

2

化简可得 cos C﹣cosC+ =0,解得 cosC= . ∵c=2,则由余弦定理可得 4=a +b ﹣2ab?cosC≥2ab﹣2ab? ,∴ab≤4, 故△ ABC 的面积 ab?sinC 的最大值为 ?4? = ,
2 2

故答案为: . 点评: 本题主要考查二倍角公式、余弦定理、基本不等式的应用,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (12 分)某初级中学有七、八、九三个年级,每个年级男、女生人数如表: 2014-2015 学年七年级 2014-2015 学年八年级 2015 届九年级[来 源:Zxxk.Com] 男生 100 150 x 女生 300 450 600 按年级使用分层抽样的方法,在这所学校抽取学生 50 名,其中有 2014-2015 学年七年级学生 10 名. (1)求 x 的值; (2)用随机抽样的方法从 2014-2015 学年八年级抽取 8 名学生,经测试他们的体能得分如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 把这 8 名学生的体能得分看成一个总体,从中任取一 个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.4 的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意可得 =

[来源:学科网 ZXXK ]

,解方程可得;

(2)由平均数的定义易得样本平均数 =9,用 A 表示题中的事件,总的基本事件共 8 个,事 件 A 包含 6 个,由概率公式可得. 解答: 解: (1)由题意可得 = ,解得 x=400;

(2)样本平均数 = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9, 设 A 表示事件“从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.4” 总的基本事件共 8 个,事件 A 包含 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 共 6 个, 由概率公式可得 P(A)= = . 点评: 本题考查概率公式,涉及分层抽样和数字特征,属基础题.

17. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°, E、F 分别是 AP、AD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.[来源:学+科+网]

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 立体几何. 分析: (1)要证直线 EF∥平面 PCD,只需证明 EF∥PD,EF 不在平面 PCD 中,PD?平面 PCD 即可. (2)连接 BD,证明 BF⊥AD.说明平面 PAD∩平面 ABCD=AD,推出 BF⊥平面 PAD;然后 证明平面 BEF⊥平面 PAD. 解答: 证明: (1)在△ PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF 不在平面 PCD 中,PD?平面 PCD 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°. 所以△ ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 EBF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

点评: 本题是中档题,考查直线与平面平行,平面与平面的垂直的证明方法,考查空间想 象能力,逻辑推理能力,常考题型. 18. (12 分)已知函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,π<φ<2π)为奇函数,且函数 f(x)的 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 f(α)= ,α 为第二象限角,求 tan(α﹣ )的值. .

考点: 两角和与差的正弦函数;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由题意和三角函数的图象和性质可得函数的周期,可得 ω,再由奇偶性可得 φ 值,化简即可; (2)由题意和同角三角函数的基本关系可得 tanα,代入两角差的正切公式计算可得. 解答: 解: (1)由题意可得函数 f(x)的最小正周期 T=4× ∵ω>0,由周期公式可得 =2π,解得 ω=1, , =2π,

再由 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,π<φ<2π)为奇函数可得 φ= ∴f(x)=cos(x+ )=sinx;

(2)由 f(α)= 可得 sinα= ,又 α 为第二象限角, ∴cosα=﹣ ∴tanα= =﹣ =﹣ ,

∴tan(α﹣

)=

=

=﹣7

点评: 本题考查三角函数的图象和性质,涉及和差角的三角函数公式和同角三角函数的基 本关系,属中档题. 19. (12 分)已知数列{an+1+an}的前 n 项和 Sn=2 (1)求数列{an+1+an}的通项公式; (2)求 a2n.
n+1

﹣2,a1=0.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)当 n≥2 时 bn=Sn﹣Sn﹣1=2 ,当 n=1 时 b1=2 满足 n≥2 时 bn 的形式,即得结论; n n+1 n (2)由 an+1+an=bn=2 可得 an+2+an+1=2 ,两式相减得 an+2﹣an=2 ,利用拆项法将 a2n 写成 a2+(a4﹣a2)+(a6﹣a4)+…+(a2n﹣2﹣a2n﹣4)+(a2n﹣a2n﹣2) ,计算即可. 解答: 解: (1)设 an+1+an=bn, n+1 n n 则 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=(2 ﹣2)﹣(2 ﹣2)=2 , 当 n=1 时,b1=S1=2,满足 n≥2 时 bn 的形式, n ∴an+1+an=bn=2 ; n n+1 (2)由(1)可知 an+1+an=bn=2 ,an+2+an+1=2 , n 两式相减,得 an+2﹣an=2 , 又∵a1=0,a1+a2=2, ∴a2=2,
n

∴a2n=a2+(a4﹣a2)+(a6﹣a4)+…+(a2n﹣2﹣a2n﹣4)+(a2n﹣a2n﹣2) 2 4 2n﹣4 2n﹣2 =2+2 +2 +…+2 +2 =2+

=



点评: 本题考查求数列的通项、前 n 项和,利用拆项法是解决本题的关键,注意解题方法 的积累,属于中档题.
2

20. (13 分)已知函数 f(x)=alnx+

x ﹣(b+1)x(a 为实常数,且 a≠1) ,曲线 y=f(x)

在点(2,f(2) )处的切线的斜率为 1﹣ a. (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导 数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,由题意可得 f′(2)=1﹣ a,即可求得 b=0: (2)求出导数,并分解,对 a 讨论,分 <a<1 时,0<a< 时,a≤0 时,a>1 时,a= 时, 分别求得导数大于 0 和导数小于 0 的解集,即可得到所求单调区间. 解答: 解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)= +(1﹣a)x﹣(b+1) , f′(2)=1﹣ a,即 +2(1﹣a)﹣(b+1)=1﹣ a, 解得 b=0; (2)f′(x)= +(1﹣a)x﹣1= ① (x﹣1) (x﹣ ) , 或 0<x<1,

>1,即 <a<1,1﹣a>0,f′(x)>0 解得 x> .

f′(x)<0 解得 1<x<

即有 f(x)的增区间为(0,1) , ( ② <1,即 a< 或 a>1,

,+∞) ,减区间为(1,

) ;

(ⅰ)0<a< ,则 1﹣a>0,0< f′(x)>0,即有 x>1,或 0<x<

<1, ,f′(x)<0 解得 <x<1;

即有 f(x)的增区间为(0, (ⅱ)若 a≤0,则 1﹣a>0,x﹣

) (1,+∞) ,减区间为( ≥x+0>0,

,1) ;

f′(x)>0,即有 x>1,f′(x)<0,即有 0<x<1, 则 f(x)的增区间为(1,+∞) ,f(x)的减区间为(0,1) ; (ⅲ)若 a>1,1﹣a<0,则 x﹣ >x+0>0,

f′(x)>0,即有 0<x<1,f′(x)<0,即有 x>1, 则 f(x)的减区间为(1,+∞) ,f(x)的增区间为(0,1) ; ③若 =1,则 a= ,f′(x)= (x﹣1) ≥0,x=1 取等号,
2

即有 f(x)的增区间为(0,+∞) ,无减区间. 综上可得, <a<1 时,f(x)的增区间为(0,1) , ( 0<a< 时,f(x)的增区间为(0, ,+∞) ,减区间为(1, ,1) ; ) ;

) (1,+∞) ,减区间为(

a≤0 时,f(x)的增区间为(1,+∞) ,f(x)的减区间为(0,1) ; a>1 时,f(x)的减区间为(1,+∞) ,f(x)的增区间为(0,1) ; a= 时,f(x)的增区间为(0,+∞) ,无减区间. 点评: 本题考查导数的运用:求切线的斜率和求单调区间,主要考查导数的几何意义和分 类讨论的思想方法,属于中档题和易错题.

21. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F1(﹣1,0) ,抛物线 x =2py 上

2

的点( ,1)处的切线经过椭圆 C 的下顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F1 的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点(异于长轴端点) .请问是否存在实常数 λ,使 得| ﹣ |=λ ? 恒成立?若存在,请求出 λ 的值;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,求△ ABF2(F2 为椭圆 C 的右焦点)内切圆面积的取值范围. 考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系;多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (1)点( ,1)代入 x =2py,可得 p=1,求导数,利用导数的几何意义,可得切 线方程,进而可得 b,a,即可求出椭圆 C 的标准方程; 2 2 (2)设 l 的方程为 x=my﹣1,代入椭圆方程,整理可得(m +2)y ﹣2my﹣1=0,利用韦达定 理、向量的运算,结合| (3)利用 ﹣ |=λ ? ,可得 λ 的值; |y1﹣y2|,可得面积,

= ?4ar=2

r= |F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|,求出 r=

利用基本不等式,即可求△ ABF2 (F2 为椭圆 C 的右焦点)内切圆面积的取值范围.

解答: 解: (1)点(

,1)代入 x =2py,可得 p=1,∴x =2y,即 y= x ,

2

2

2

∴y′=x,[来源:学&科&网] 2 ∴抛物线 x =2py 上的点( 2 ∴抛物线 x =2py 上的点( 令 x=0 得 y=﹣1, ∴b=1, ∴a= = ,

,1)处的切线斜率为 , ,1)处的切线方程为 y﹣1=

(x﹣

) ,即 y=

x﹣1,

∴椭圆 C 的标准方程为



(2)记 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,设 l 的方程为 x=my﹣1, 2 2 代入椭圆方程,整理可得(m +2)y ﹣2my﹣1=0,[来源:学#科#网] ∴y1+y2= ,y1y2=﹣ ,

∴| ∵



|=|

|=

=



=(x1+1,y1)=(my1,y1) ,
2

=(x2+1,y2)=(my2,y2) ,



?

=(m +1)y1y2=﹣ ,使得|



∴存在实常数 λ=﹣2



|=λ

?

恒成立;

(3)设△ ABF2(F2 为椭圆 C 的右焦点)内切圆的半径为 r,则 = ?4ar=2 ∴r= |y1﹣y2|
2

r= |F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|

∴S 圆=

(y1﹣ y2) =

设 m +1=t(t≥1) ,∴S 圆=

2

∵t≥1,∴t+ +2≥4(t=1,即 m=0 时取等号) , ∴0<S 圆= ≤ ,

∴△ABF2 内切圆面积的取值范围是(0,

].

点评: 本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的 位置关系,考查面积的计算域基本不等式 的运用,有难度.


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