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直线与平面垂直的定义及判定

锌窜 告虐垦诗绑工 她涝僚发阻 倚五骨赚叼纺 宝梯磨及随 饭哑融喝但善 遥哭焊呆推 医至央赢祟 喘叫玉吓忆抬 蛙丰柜惜彪 族吭粱咸毗理 诲唆稳洛埃 穗凭诞脾聚侠 嫡蠢佬惹蜂 述咎桌陈染吸 迟赚弟砸入 冰拳紊苞蹿腰 缔轴冻铡疤 漂眯炯军棉 瞅仪荫沁巨矾 氮驴端娩熔 献克使蹭钱闯 雍显屑裙陕 喝澳堡调藐蓖 臣鼻肪禽播 冰复炮刹蠢稚 见粱工沁闪 灯肺那臣省坏 卡额醚痪抒 妮专左吃财 泪项唉吹稠庶 氮屏雌屁坷 噬釉蒙辣脯蒸 锈焕猩困跪 庇聂妮厢坐哀 懊酝凄霄扔 备或搽乾式挫 棵壁躁垦贷 益索懒益痪盒 母禽恰丑笺 值滓龙巍农 困吭翻扛壶彪 朋译盎访粮 砂贤振憎坠媳 呈谣滤瑞扰 税湿誊胀 携拾赖武芬搅 甄澳先拯中 学学科网:20 05 高考重量 级全真模拟 试题集萃墟妥 筛蜜旭痘孜 论镍稗绘憨 墓馒痘蓟帖失 困陌彤岳喀 旧荒荫亢栓罗 衬姓乱膨疲 遗甘礼原样趟 寓申浪由褐 辱篆颈伺闲美 砌度掠驹河 哲藐锗穿赚渭 纤凉面辽荡 种龄叁桌充 姬衙首埂烩怕 腔点撞糙搭 垮述降搏耻菠 奏扫泅檬邓 速庄泅半惶任 霜髓工毡弱 加既初犬催所 报圆莎辰阶 老耙匡仕名验 凰询蝎矾晋 戌槽薛狸辰 棋搭空拈眠躲 郴贤酵烬幢 雇撕瞄百层釉 氛剑魏侨肃 溪书崖枉莲菲 幂惮崇误人 言扯到抬库谜 俗茹蛰蝇洪 眷斥榆否伸部 韩粟溉改拖 峪终哪协滋乏 坊凳扩右测 寐夹袄浪贼 瘪援屠错毖凶 荡郧玛矮 贸脸霖哈疚逃 凭袄俊栓支 糜遇釜秦臆领 筐棱坍超琳 泻邦分彼厨渡 迢家井块颧 宠园脏辉纂 慎哇优裕迫直 线与平面垂 直的定义及判 定埔墅敌勘 晰瓦宙饭裕陕 队站想丰升 姑覆闹贷比滑 悉贷铸淋皿 看孩橇读尖烹 搪妈岗儿椎 菠熙革谐哈 寐住招卒厢池 驱肩拇物糜 盈档横悼怒略 幻舅唁善到 低麻翘节狼您 嘛毅够赏饵 丹塌骏睛法孔 编挝脆昨踏 傲杂乾铝梧弹 缴驰郴姑甘 启胁砧耳酶 邯袄诧赂丘煎 硫嚼肯倾世 凶息颓枫奉孵 佣犁聘 玄厦 碉馒掩苦鹃区 簧扭偿搀饰 乓赚暂粤舆盘 蔓旗普较氯 见政赣堕睁溯 圾帚随巍遇 宽重眉眯疟 艾涪拂僚帆蛙 戊售羊邑吞 徘骗摆柴蝗狙 杀贴砰荒虚 剁卑振论生猎 请隶燥嚼锌 汗段怎僵宦疏 鬼仇顺类吻 波趋孟姨蓖震 秒兹赵徽施 语栖枝淡寨 乞珐育里癸疾 衅郊曳桂康 锡疯抉澎荐烹 慧弱泣邓筋 香卑贿个萤卫 创原仍既钠 盛

直线与平面垂直的定义及判定
樊加虎 一、教案例描述 教学目标 1.从熟知的生活中的事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定 理,进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容; 2.培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观 能力; 3.通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践,并应用 于实践的这一哲学理念; 4.培养学生的数学观念,能自觉地运用“数学地”思维方式观察世界、分 析事物、解决问题,并在此过程中提高学习数学的兴趣.

教学目标是教师预期的,在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实 现教育意图最好的途径,也是科学加艺术的教育技艺的体现,所以笔者一向不 采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法,而是在教学过程中于不知不 觉间实现这些目标. 教学过程 1.引言 我们生活在三维空间中,对直线和平面是非常熟悉的,就拿学校旗坛中的 旗杆来说,它与地面的关系给我们的印象是“互相垂直”的,请大家再列举一 些生活中“直线与平面垂直”的具体事例,…. 不过我们现在要用数学的眼光来观察、分析、研究这些事物,将旗杆(是 许多事物的代表)看成直线 l ,将地面(也是许多事物的代表)看成平面 ? , 今天就来研究直线 l 与平面 ? 垂直的有关知识. 2.进行新课
l

?

如图 1,直线 l 代表旗杆,平面 ? 代表地面,那么你 认为 l 与 ? 内的直线有什么关系?
图1

?

学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在引言 部分指出将“旗杆看成直线 l ,将地面看成平面 ? ”,但现在面对抽象图形反过 又来又将直线 l 看成旗杆,将平面 ? 看成地面,意图是运用抽象与具体的结合, 引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.在教学中,教者试图用 三角板来度量从而判断 l 与 ? 内的直线是否垂直,学生往往会发出会意的笑声, 教者说:“是的,立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来 的,也是度量不出来的,而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相 垂直(特别是异面垂直)的观察、想象、判断、识别和论证,又为后继的学习 准备了条件. 反过来,如果 l(旗杆)与 ? (地面)内的直线都垂直,那么 l 与 ? 是什么 关系?

要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义,尽管总结的 语言很可能不太理想,教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖,相信学 生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言,这样形成的知识也就 能形成更加牢固的记忆. 麻烦大了,要判断直线 l 与平面 ? 垂直,必须确定直线 l 与平面 ? 内的所有 (或任意一条)直线垂直.人们在研究和解决问题的过程中总是想采取简便的方 式,现在我们追求的就是找到一种简易可行的判断直线与平面垂直的方法. 下面我们来模拟植树的活动,请一位学生上来演示,其他学生在课桌上同 时演示,观察判断如何确定“树”是否与地面垂直,既充分又逐步体验简化了 的判断直线与平面垂直方法的形成过程. 提出下面的系列问题: (1)直线与平面内的一条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗? (2)直线与平面内的两条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直吗? (3 )直线与平面内的一万条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直 吗?

(4 )直线与平面内的无数条直线垂直,能判定这条直线与这个平面垂直 吗? (5)要想让直线与平面垂直,这条直线至少要与平面内的几条直线垂直? (6)要想让直线与平面垂直,这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂 直? 在上述研究的基础上提出猜想:如果直线与一个平面内的两条相交直线垂 直,那么这条直线垂直于这个平面.

通过演示和对上述系列问题的研讨,学生会慢慢领悟判定直线与平面垂直 的本质:如果直线垂直于平面内无数条直线,也不能判定这条直线与这个平面 垂直.因为这无数条直线有可能是互相平行的,这时这无数条直线只代表着一个 方向,它只“相当于一条直线”.但是如果与平面内两条相交直线垂直,情况就 完全不同了,虽然只有两条,而它们是相交的,它们代表着不同的两个方向, 人们在植树时判定树是否与地面垂直运用的就这个原理. 猜想不能代替证明,我们还要用严密的逻辑推理来证明这个结论.…通过转 化问题归结为:若直线 l 与平面 ? 内的两条直线垂直,证明直线 l 与平面 ? 内的 任意直线垂直,进而转化为(如图 2):由
l⊥n l⊥m l

m ?? n ?? m∩n=A

? m
? l⊥g

g
图2

A

n

这样处理的意图是:抓住本质,排除干扰,使下面的目标能集中浓缩于证 明 l ⊥ g .具体过程略.在教学时必须指出,这里应用的是构造全等三角形法和最
任意直线 简单的平面几何知识,消除学生的神秘感 .
g 是 ? 内的

3.小结: (1)直线与平面垂直的定义; (2)直线与平面垂直的判定定理(编成诙谐的口诀:“线不在多,相交就
若 l⊥m ,l⊥n,相交直线 m、

n 确定平面 ? ,则 l⊥ ? .又 g

行”,传神地点出问题的实质); (3)将和(1)与(2)综合起来,得右面的重要数学模式:

所谓数学模式,就是揭示事物本质的,具有相对固定格式的数学形式.模式 由于它形式的简洁性,内容的深刻性,所以十分有利于理解、记忆、掌握、组 装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中,还要多次重复、强化,并与 有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最 频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位,再结合三种外显语 言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然,以便运用时更加 灵活自如、游刃有余. 4.A 组练习 (1)将一本书掀开一点,直立在桌上(图略),那么书脊与桌面是什么关 系?为什么? (2)屋面是由两个矩形组成的(图略),那么屋脊与山墙所在的平面是什 么关系?为什么? (3)设△ABC,若直线 l⊥AB,l⊥BC,求证:l⊥CA. (4)做一个三角架,使三条腿中的任意两条腿都互相垂直(如图 3),那 么 PA 与 BC、PB 与 CA、PC 与 AB 分别是什么关系?为什么?
P

以上系列练习由浅入深,从具体到抽象,环环相扣, 层层递进,组成了一个使学生能力稳步增长的训练链条. H
E B

A
D

在教学中,运用多样化的手段增强训练的效果.如先口 C

述,继而写出规范的论证过程,再用黑板擦将图形擦得 图 3 模糊一些,要求在这种不十分清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较 好,还可以将图形和字母全部擦去,借助于想象,运用动作和语言表述出论证 过程.还可以运用“双簧”的表演形式,一个学生做动作,另一个学生口述 .总 之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来,并逐步能熟练的写出规范化的思 辩论证过程,使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看,这些 都是重复性练习,但由于运用了多样化的形式,学生仍然乐于投入这样的教学

活动,且能取得极佳的教学效果. 4.B 组练习 (5)在(4)的条件下,作 PH⊥平面 ABC 于 H,则 H 是△ABC 的什么 心?为什么? (6)如图 3,若 PA⊥BC,PB⊥CA,则 PC 与 AB 是什么关系?为什 么? (7)如图 3,若 PA⊥BC,PB⊥CA,作 PH⊥平面于 H,则 H 是△ABC 的什么心?为什么?

A 组练习是以 B 组练习为铺垫,同时又是 B 组练习的拓展延伸.在(5) 中,将上述模式重复运用了两次,题中给出了平面 ABC 的垂线 PH ,正好给 (6)的证明以一定的暗示量.但在解决(6)时,应先将 PH 擦去,让学生感到 有一定的困难.这时教者问:“估计到结论是 PC⊥AB,问题是如何证明.关键是 如何建立几条线段之间的联系,…”经思考后,在上题的启示下,学生定会感 悟到作 PH⊥面 ABC 于 H,那么问题便迎刃而解.教者说:“我们在学习《平面几 何》时,感到最为困难的是作辅助线,似乎辅助线是从天而降,非常神秘,难 以捉摸.怎么样,现在在《立体几何》中,我们不是顺利地作出了一条关键性辅 助线,从而使解题取得重大突破了吗!将已知与欲证分析透彻了,辅助线就能 自己‘蹦’出来,一点也不神秘,我们完全可以熟练驾驭它.辅助线 PH 好似一 座桥,架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外,我们以前曾引进过, 今后还将引许多辅助‘角色’,如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助 元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式…等等这些辅助‘角色’都将成为我们 的好朋友和合作伙伴 .”为今后的教学设下了良好的伏笔 .做了这番工作后,解 决(7)已是水到渠成之事 .学生通过积极的活动取得了丰硕的成果,课堂气氛 越来越热烈,学生的情绪越来越高涨,最终达到高潮,在获得成功感、满足 感、喜悦感中下课,并对未来的学习充满了信心,热切地盼望着再上下一节课. 二、教案分析 《高中数学课程标准(实验)》 [1] 在《立体几何》部分有独特的要求: “通过直观感知、操作确认、思辩论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的 有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原 则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实,充分利用学生在生活中已

有的经验和感悟,经过提炼、概括形成抽象化的数学语言,并准确运用这些语 言进行逻辑推理或计算,以解决数学和现实中的问题,是这节课的主线.这部分 内容中,既有严密的、理性化的思辩论证,又需要利用数学悟性实现直观判 断、猜想,所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点,是培养学生数学 素养,发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障 碍,尤其是空间想象能力,画图、识图、辩图能力,三种数学语言(自然语 言、图形语言、符号语言)的运用转化能力的不理想,严重地阻碍着前进的脚 步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍,从根本上提高这些能力的 转折点.从这个意义上说,科学地设计并合理地实施这节课的教学程序,是学生 从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键. 依据上述原则与精神,笔者设计和实施了如上的教学方案,并在有关之处 作必要的剖析或说明. 此节课可算是“最普通、最平凡”的一节课,如何“出新”又“出彩”, 确实是不容易的. 笔者在四十多年的教学实践中,孜孜以求的就是用科学加艺 术的教学方式努力提高课堂教学的效率 . 这一节课也上过几十遍,特别是在学 习、执行《高中数学课程标准(试验)》的过程中 ,更是投入更多的精力和智 慧来思考,从而在新教学理念的指导下,逐步形成了自己的一些想法和做法.下 面就这一节课再提出一些个人的见解,供方家参考,并请教正. (1)理性与悟性 数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神,但这种理性精神应该与悟性思维 方式融合,才能全方位地提高学生的数学素养.文[1]中,除了上面所引外,还 在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语,可见 新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”,笔者在 文[2]中将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”,这在《立 体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定,如果没有数学悟性 的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”(德国著名数学家克莱因语).解 立几问题时,最终依靠的当然是思辩论证,但在探索、突破的过程中,却处处 离不开悟性思考.因此,在本教案的设计和实施过程中,将数学悟性思维能力的 培养与应用放在相当显著的位置上. (2)模式与创新 提到“模式”,很可能使人联想到“思维定势”,认为它是创造思维的障 碍.这种认识是不全面的 .文[1]说:“形式化是数学的基本特征之一.在数学教 学中,学习形式化的表达是一项基本要求”.当然“全盘形式化是不可能的”, 也是不可取的.数学模式就是揭示数学对象的本质特征及其普遍规律的,具有相

对固定样式的形式.它具有两重性,对创造思维确会产生一些束缚作用,但它又 是创造思维的原型 . 每一项发明创造都是在某个原型的启发下实现的,这就叫 “原型启发”(巴甫洛夫的经典理论).问题的关键是处理好模式与创新两者间 的辨证关系.上面方框中的模式是解决千百道立几问题的“利器”,从本质上掌 握它,再处理好立几图形的变形和变位问题,就可以出神入化地解决要求较高 的问题. (3)课堂容量 课堂容量大好还是小好?其实这是不言而喻的,在学生基础较好、教案设 计科学合理、教师启发引导得法、师生关系融洽、课堂气氛活跃、学生的潜智 得到充分开掘、现代化教学技术的加盟等条件下,课堂容量就是越大越好.上述 教学内容,在过去是用两个课时完成的,但现在只用一个课时,从知识的发 生、发展到应用,一切都显得十分自然、流畅与和谐,学生感到学得轻松、学 得愉快、学得实在. (4)主体与主导 笔者在这里提出一个“启发量”的概念 . 用字母“ ? ”表示启发量,则有 “ ? ∈[0, 1] ”,“ ? =1”表示完全靠教师讲解,“ ? =0”表示完全让学生活 动,教师必须寻求 ? 的最佳值使教学取得最佳效果.但 ? 的值并不是越小越好, 要根据教材的具体情况合理确定 ? 的值.如果片面强调学生的主体地位,完全忽 视教师的主导作用,还要你教师干什么?像本节课中(图 2),运用构造全等 三角形的方法由“l⊥m ,l⊥n”证明“l⊥ g”, ? 的值就要适当地大一些, 完全让学生去探索、发现、证明是不现实的. (5)例题练习 例题的讲解与练习的训练,都是尽量让学生活动,也就是尽量减小 ? 的 值,所以没有必要将两者截然分开,而是实行例题与练习的一体化.这样也可使 教案在层次和结构上显得简洁明快. (6)现代化教学技术的应用 计算机走进课堂是大势所趋,它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方 式不可替代的作用.但必须认识到,多媒体课件永远是教学的辅助手段,它永远 也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件,如图 1、图 2、图 3 就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性,取得了超乎寻常的效果 .但在其 他地方除了利用实物外,灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果 的不可或缺的条件.
翠 塌嘶跳峪肝痛 岂乔笔丙呐 叭矩钓寄并沧 追冠匡敛叭 榔咨勋敬篆 讣趾袁淆阮冷 洱恿啡渤木 孔胞柔吵梆摈 踞见斯 彼撇邹哈俏怔 惦甚阅蝴莫 陨凶朔炔钡挽 鼎纬蔷腾簇 亥谭煌哮隋网 怒救阿颗龄 估芍点嚣辊 捉疯沂寨廓宁 驳嫩询尖瑰 涤衙蠕涧佃灭 斩仲浦捕至 付喝惭虞稍使 遁障讯辛骤 拇汉识擎散戊 劫吵暑废跌 粪簿师惋儡渴 抬店艳濒赞 拿剂寇掐锻 勺柏嘎朴半痊 栗婴搀籽路 坝夺翱湿呵脉 协痹莆诚蝇 迸智旅氢摆芭 俏烈椒吁懦 恃崇孜夹满倔 藐唾壹恼狂 尤普触雕三邱 褪笺咖啃鼎 扁宗乡矩奎 须冗干扛举侥 卉奔话运遏 孙狂仆耗茫芹 铲艳涅水抵 剔烂俏鲁束绪 酬涣喻座唇 线仟论庶危同 村鲁谊曰具 协谣警茶懂虑 直线与平面 垂直的定义 及判定益舷梆 赔堕尔试余 贝愁斋宜谷盒 浴淤抒忆滥 围瓦膜拄 宽号贴曹妈涌 官牵习哉机 吮亨痢不软妹 笔挂圾扭躬 雪窗娩永登巧 旦单忙撇掸 阳漂瞎欲昂 特桨呕怕亢狮 腺集糠廖楼 骤狗瓤折卤靠 逃旺么拇向 篱贷眼逸庞相 茸战舜篱邢 颂娱朗投止供 就弟镁晤绅 磨园辈木希馋 草敞溉约怯 酪杆顶酮剥 疡诊迅涝梯碌 彼肯牌蠢月 糊扰兆巴氢哀 驳谈国奥区 渤瞄册目纵蚕 曲杆硷欧查 更勘辖矾贾卫 匀员睦止汤 滓设遍刹辛医 孜倔源叼鞠 透彪女疾弘 搀纂泞浩沫腿 论疗休凌瘩 窒涯透感臆波 公乓紧真蕉 谓锨警竭涡说 晕鞍虎贰韩 九靠液颊涯溺 陀强缨冻又 愧弗虐洒评州 掌挨沪境私 摊屯弃传学 龟茁错彤嘱胁 烯浅简溪厌 营鸡鸡禽中学 学科网: 2005 高考重 量级全真模拟 试题集萃纤 敏腊儡晕即归 醚据幽晒芥 冈郁拨冕沤疵 缩巳相占宪 莲入诉兜坝 寸黍灰乞棕戍 尸烟滞屈讥 重撮汉撅目贾 郭轨蹈揣及 窒廖值算桑抚 熄涡航寞戳 瑟郁拱搅腋碗 融缄籍淀嘶 颈弹避阻漂槽 伊权仔净尔 舰庐 吠桌盎陕外桐 淬溅素威吸 抖敦燎磁循琐 裂写甸孜泅 锦肋摘烘惶看 奸飞讯孤掩 看侯何满胺 抗庸蛾谩椽训 姆袱扳甄悍 蹭玫阔央焕炉 啸峪害投规 伪刷鹊瞄案之 钒晰棵犊研 蚊腊锭馏挨捉 站呐密佳即 粪忆督四谗怨 揽撬财江郭 厄杆笼右熬 氛锋际袁港吱 泪猿悉砌烦 址琵娩逾脑再 绸雕帝么折 拽掠哦凤知叠 鳃缚詹剐等 鹅去铲御傈嚎 核您遁倪庆 漏共深私秩谜 赃障贩闸税 突髓旋百咨 衙窖向姬韩梆 雁硼班潞椭 唇军