当前位置:首页 >> 数学 >>

抛物线及其标准方程_图文

抛物线及其标准方程
学习目标: 1.能根据条件熟练求出抛物线的标准方程、焦点 坐标和准线方程. 2.掌握抛物线的定义,标准方程及其中 p 的几何 意义.

知识回顾 1.我们在哪些地方见过或研究过抛物线?
2.二次函数中抛物线图像特征是什么?

预习检测 1.抛物线定义 与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 我们把平面内______________________________________ 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线;点 F 叫做抛物线的 _________ 焦点 ;直线 l 叫做抛物线的________ 准线 . ______

2.同一条抛物线在坐标平面内的位置不同,方程也不同, 四种 顶点在原点,以坐标轴为对称轴的抛物线有 _____ 形 式.

3.四种抛物线及其它们的标准方程
y
y

y
y l O F


O F

x

x

F

O

x

F O l


l
l

x

焦点位置
标准方程 焦点坐标

x轴的 正半轴上 y2=2px
p F ( ,0) 2 p x =2

x轴的 负半轴上 y2=-2px
p F(- ,0) 2 p x= 2

y轴的 正半轴上 x2=2py
p F (0, ) 2 p y =2

y轴的 负半轴上 x2=-2py
p F (0, - ) 2 p y= 2

准线方程

探究展示 1.p的几何意义是什么?p是焦点到准线的距离

2.二次函数的图象都是抛物线,那么抛物线的方程都是 二次函数吗?写出 y=ax2(a≠0)的焦点坐标,准线方程. 口诀: 3.在抛物线定义中,条件“l不经过点F”去掉是否可以? 一次项定 4.如何根据抛物线的标准方程判断抛物线的焦点位置, 轴,系数 开口方向? 定方向; 5.标准抛物线的准线和焦点有什么样的位置关系? 焦点与方 2 6. M是抛物线y = 2px(P>0)上一点,若点M 程同号, 的横坐 p 标为X0,则点M到焦点的距离是_________. 准线与方 x0 ?
说明: 1. 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名 称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. 2. 焦点和准线到原点的距离都等于一次项系数绝对值的 四分之一。

2

程异号.

求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 4 2 2 (5)y =a x (a≠0) 焦点坐标 ( 1) 准线方程 x= -5 ( 5, 0) 1 (0,—) 16 5 (- —,0) 8 (0,2-2)

(4)x2 +8y =0

( 2)
( 3) ( 4) (5)

a ( ,0) 4

1 y= - — 16 5 x= — 8 y=2

a x?? 4

2

例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐 标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程; (3)求过点(-3,2)的抛物线标准方程; (4)求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线标准方程.

4 2 9 (3) y =- x 或 x = y 3 2
2

(4)y = 16x 或 x =-8y

2

2

例2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上, 抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,求抛物 线的方程和m的值. 2

y =8x,m 的值为± 2 6

例 3.方程 2[(x+3)2+(y-1)2]=|x-y+3|表示的曲 线是( D ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

例4.一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈 近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚 集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度 为0.5m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和 焦点坐标. 方程:y2=11.52x 焦点:(2.88,0)

y o

A Fx

B

达标检测 1、若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离 相等,则动点P的轨迹是( D ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 2、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: 2 =12x y (1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x 4 (3)焦点到准线的距离是2。 x2 =4y 或 x2 = -4y

7 3、抛物线x2=-7y的焦点到准线的距离等于多少? 2

归纳延伸 1.抛物线的定义及活用定义解题。 要注意点F不在直线l上,否则轨迹不是抛物线,而是一条 直线. 2.抛物线的标准方程。 (1)p的几何意义:焦参数p是焦点到准线的距离,所以p 恒为正数. (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相 同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向. 3.已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时,应 先“定位”;后“定量”。

4.利用待定系数法求抛物线的标准方程时,应“先定型, 再定量”,注意数形结合和分类讨论.

预习作业:预习抛物线的几何性质 自主完成《导学设计》P38知识点、例1、跟踪训练1 思考例2

课堂作业:《导学设计》P37 例2、例3、跟踪训 练3 《课时作业》P120 12 13可不做 抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9,求点 P的坐标.