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高中数学北师大版必修4第三章《2.1两角差的余弦函数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学北师大版必修 4 第三章《2.1 两角差的余弦函数》 优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 1.知识与技能:理解两角和与差的余弦公式的推导过程,熟记两角和与差的余弦公式,运用两 角和与差的余弦公式,解决相关数学问题。 2.过程与方法:培养学生严密而准确的数学表达能力;培养学生逆向思维和发散思维能力;培 养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。 3.情感态度与价值观:通过观察、 对比体会数学的对称美和谐美,培养学生良好的数学表达和 思考的能力,学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。 2 学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生,数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期, 学生对探索未知世界有主动意识,对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生 活,储备了一定的数学知识,掌握了一些高中数学的学习方法,这为本节课的学习建立了良好 的知识基础。 3 重点难点 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用(化简、 求值)。 两角和与差的余弦公式的推导过 程,特别是一般性的推广,学会角的变换,创造运用公式进行变换的条件是本节的难点。 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】 创设情境 导入新课 一小朋友乘坐摩天轮(半径为 20m),由 B 点旋转到 A 点, 他发现自己的投影的变化如图所示,问:他旋转了多少角度? 【问题 1】:已知 , 。 【问题 2】:需求角 ,可先求其三角函数值,如: ;试问: 成立吗? 【反例】: ,我们应该去探索得到正确的结果! 首先让学生通过具体实例消除对“cos(α -β )=cosα -cosβ ”的误解,说明两角和(差)的三 角函数不能按分配律展开。并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索。 活动 2【讲授】自主探究 独立思考以下问题: (1)向量的数量积 则 (2)单位圆上的点的坐标表示 由图可知: ( ) , ( )则 引发思考 层层深入 得出结论 问题 1 : 问题 2 :由 ,你能推广到对任意的两个角都成立吗? 问题 3 :两角和与差的余弦公式推导 (一)两角差的余弦公式 设 如果 ,那么 故 实际上,当 为任意角时,由诱导公式总可以找到一个角都可转化 ,使 。 综上所述, ,对于任意的角 都成立。 活动 3【导入】 互相交流,小组活动 公式应用闯关 第一关:小试身手 请用特殊角分别代替公式中α 、β ,你能求哪些非特殊角的值呢?(选择的特殊角可以是 30° 60°45°等) ① ;② ;?? 问题预测:学生动笔自由尝试、主动探索。有的同学说会求 cos15°、cos75°、cos105°、 cos(-15°)、cos165°??的值。甚至可能有的同学会说他验证了 cos30°=sin60°??. (让同学感受获得公式后的第一份喜悦)由于初学公式的应用,我选择其中之一作示范。 第二关:再接再厉 若β 固定,分别用 代替α ,你将会发现什么结论呢? 【设计意图】 引导同学发现余弦的诱导公式可用 C(α ±β )公式得到证明: 初步让学生发现 C(α ±β )公式是诱导公式的推广。(从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦) 第三关:各显神通 倘若让你对 C(α ±β )公式中的α 、β 自由赋值,你又将发现什么结论呢? (1) ;(2) (3) (4) ?? 问题预测:可能有的同学发现 cos2α =cos(α +α )=cos2α -sin2α ,这是以后要学的二倍角 公式,还有的同学发现: cosα =cos[(α +β )-β ]=cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ ,甚 至有调皮的同学发现 cos0=cos(α -α )=cos2α +sin2α =1,这就无意中证明了平方关 系,??, (据此,让同学感受到 C(α ±β )公式的强大功能)。(必要时,教师可适当提示)。 活动 4【导入】师生共同活动 1.例题:知 ,求 的值。 解:由 又由 ,得 由余弦的和角公式得 ,得 数学运用 注意:注意角 、 的象限,也就是符号问题. 【设计意图】教师点拨,学生板书过程。学生练习,培养思维的有序性和表述的条理性,这是 三角变换的基本要求记忆公式,从结构特征入手,注意公式的应用应该从公式的 “正用,逆用, 变用”着手。 2.变式练习 解:由 ,得 能力提高 又由 ,则 得 由余弦得差角公式得 活动 5【导入】达标检测 cos80°cos20°+sin80°sin20°,初步学会逆用公式。 cos130°cos5°-sin130°sin5° cos215°-sin215°, 为二倍角公式埋下伏笔。 cos80°cos35°+cos10°cos55°,逐步学会把不符合公式结构变形使之符合。 设 ,若 ,则 ⑴. ⑸. 活动 6【导入】学习反思 摩天轮实际应用问题 C (α +β ) C (α -β ) 以-β 代β 求 cos15°等 赋值 诱导公式及其它 α 、β 任意角 知识网建构: ⑵. ⑶. ⑷. 活动 7【导入】 课时总结: 1、牢记公式的结构特点,学会逆用公式。不符合公式结构特点的,常通过诱导公式变形使之 符合。 2、强调公式中α 、β 的任意性,是本节内容的主线,它赋予了公式的强大生命力。 注:逆用公式是学生认识和掌握公式的重要标志。 通过步步加深的练习,加强学生对公式的理 解和应用,引导学生积极参与思维,培养学生观察,比较等思维能力,同时渗透了一种化归思 想。 活动 8【导入】 作业布置 1. 教材第 94 页,感受理解第 1,2. 3 题 2. 探究:知道了 ,你觉得 也有类似的规律吗?