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2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.3.2 第一课时 双曲线的简单几何性质


理解教材新知
2.3
考点一

第 二 章

2.3. 2

第 一 课 时

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

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2.3.2

双曲线的简单几何性质

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有一首歌,名字叫做《悲伤的双曲线》,歌词如下:如
果我是双曲线,你就是那渐近线.如果我是反比例函数,你 就是那坐标轴.虽然我们有缘,能够生在同一个平面.然而 我们又无缘,漫漫长路无交点……

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问题1:双曲线的对称轴和对称中心各是什么? 提示:坐标轴、坐标原点.

问题2:在双曲线中,有两条线与双曲线无限靠近,
但不能相交,这条直线叫做什么? 提示:双曲线的渐近线. 问题3:过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与 双曲线有几个交点?

提示:只有一个交点.
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1.双曲线的几何性质
x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0) 图形 y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

标准方程

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标准方程 焦点 性 质 焦距 范围

x2 y2 a2-b2=1

(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0)

y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0) F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c
x≥a或x≤-a,y∈R

y≥a或y≤-a,x∈R

对称性 对称轴

x轴、y轴 , 对称中心 坐标原点

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标准方程 顶点 轴长 性 质 渐近线
2.等轴双曲线

x2 y2 a2-b2=1

(a>0,b>0) (-a,0),(a,0)

y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0) (0,-a),(0,a)

离心率

实轴长= 2a ,虚轴长= 2b c e=a(e>1) x y x y b± =0 或 a a± =0 或 b a b y=± x y=± x b a

实轴和虚轴 等长 的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线 是 y=±x ,离心率为 e= 2 .
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1.双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上. 2.利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线,渐 近线是直线 x=± a,y=± b(或 x=± b,y=± a)围成的矩形的对 角线,它决定了双曲线的形状. 3.为了便于记忆,根据双曲线的标准方程求它的渐近线 x2 y2 方程时,可以把双曲线标准方程 2- 2=1(a>0,b>0)中等号 a b x 右边的“1”改成“0”,然后分解因式即可得到渐近线的方程 a y ± =0. b
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第一课时

双曲线的简单几何性质

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[例1]

求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴

长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方 程.
[ 思 路 点 拨 ] → 得双曲线的几何性质
[精解详析] 化为标准方程 x2 y2 m- n =1(m>0,n>0), 由此可知,半实轴长 a= m,
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化为标准形式 → 求a,b,c

把方程 nx2-my2=mn(m>0,n>0)

半虚轴长 b= n,c= m+n, 焦点坐标为( m+n,0),(- m+n,0), m+n c 离心率 e=a= = m n 1+m,

顶点坐标为(- m,0),( m,0), n mn ∴渐近线的方程为 y=± x,即 y=± m x. m

[一点通]

已知双曲线的方程求其几何性质时,若

方程不是标准形式的先化成标准方程.弄清方程中的a, b对应的值,再利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的 焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.
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1.(2011· 安徽高考)双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 C.4 B.2 2

)

D.4 2 x2 y 2 解析:双曲线方程可变形为 4 - 8 =1,所以 a2=4,a=2,
2a=4.

答案:C

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x2 y2 2.已知双曲线 C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆25+16=1 的长轴端点、焦点,则双曲线 C 的渐近线方程为( A.4x± 3y=0 C.4x± 5y=0 B.3x± 4y=0 D.5x± 4y=0 )

解析: 由已知得, 双曲线焦点在 x 轴上, c=5, 且 a=3, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 9 16 x2 y2 x y ∴渐近线方程为 - =0,即 ± =0. 9 16 3 4

答案:A
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[例 2]

求适合下列条件的双曲线标准方程:

5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)与双曲线 x2-2y2=2 有公共的渐近线,且过点 M(2, -2).
[思路点拨] 分析双曲线的几何性质 → 求a,b,c

→ 确定?讨论?焦点位置 → 求双曲线的标准方程

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x2 y2 y2 [精解详析] (1)设双曲线的标准方程为 2- 2=1 或 2- a b a x2 =1(a>0,b>0). b2 c 5 由题意知 2b=12,a= 且 c2=a2+b2, 4 ∴b=6,c=10,a=8, x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36

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b 3 (2)法一:当焦点在 x 轴上时, a= 且 a=3, 2 9 ∴b= . 2 x2 4y2 ∴所求的方程为 - =1. 9 81 a 3 当焦点在 y 轴上时, b= 且 a=3, 2 ∴b=2. y2 x2 ∴所求的方程为 - =1. 9 4
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3 x2 y2 法二: 设以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为 - =λ(λ≠0)。 2 4 9 9 当 λ>0 时,a2=4λ,∴2a=2 4λ=6?λ= ; 4 当 λ<0 时,a2=-9λ,∴2a=2 -9λ=6?λ=-1. x2 4y2 y2 x2 ∴所求的方程为 - =1 和 - =1. 9 81 9 4 x2 x2 2 (3)设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线方程为 - 2 2 22 y =k,将点(2,-2)代入得 k= -(-2)2=-2, 2
2

y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4

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[一点通] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般 用待定系数法. 当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注 意分类讨论,为了避免讨论.也可设双曲线方程为 mx2 -ny2 = b 1(mn>0).若已知双曲线的渐近线方程 y=± x,还可以将方程设 a x2 y2 为 2- 2=λ(λ≠0),可避免讨论焦点的位置. a b

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13 3.若双曲线的一个焦点为(0,-13),且离心率为 5 ,则其标准 方程为 x2 y2 A.52-122=1 x2 y2 C.122-52=1 y2 x2 B.122-52=1 y2 x2 D.52-122=1 ( )

c 13 解析:依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13.又a= , 5 y2 x2 所以 a=5,b= c -a =12,故其标准方程为 2- 2=1. 5 12
2 2

答案:D
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x2 y 2 14 4.与椭圆 9 +25=1 共焦点,离心率之和为 5 的双曲线标准方 程为________.
解析:椭圆的焦点是(0,4),(0,-4), 4 ∴c=4,e= , 5 14 4 ∴双曲线的离心率等于 - =2, 5 5 4 ∴a=2,∴a=2. ∴b2=42-22=12. y2 x2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 4 12 2 2 y x 答案: 4 -12=1.

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x2 y2 [例 3] 已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点, a b PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90° ,求双曲 线的离心率.
[ 思 路 点 拨 ] 设F1?c,0?,将焦点F1 求出P的纵 → 的横坐标代入方程 坐标及|PF1|



由∠PF2Q=90° → 求出离心率 建立a,b,c的关系

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[精解详析]

设 F1(c,0),

由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90° , 知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c-2c=2a. c 2 ∴e=a= =1+ 2. 2 2-2 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2.

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[一点通] (1)求双曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出 a,c, c 再计算 e=a;二是依据条件建立参数 a,b,c 的关系式,一种 方法是消去 b 转化成离心率 e 的方程求解, 另一种方法是消去 c b b 转化成含a的方程,求出a后利用 e= b2 1+a2求离心率.

(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a,b,c 的不等式, c b 通过解不等式得a或a的范围,再求得离心率的范围.

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x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1 的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离 心率为 A. 3 B. 2 ( )

5 2 C. 2 D. 2 解析:由题意可知,此双曲线为等轴双曲线.等轴双曲线的实轴

与虚轴相等,则 a=b,c=

c a +b = 2a,于是 e=a= 2.
2 2

答案:B
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x2 y2 6.设 a>1,则双曲线 2- =1 的离心率 e 的取值范围是 a ?a+1?2 ( A.( 2,2) C.(2,5) B.( 2, 5) )

D.(2, 5) a2+?a+1?2 1 2 1 2 解析:e = = 2+a+2=(a+1)2+1, 2 a a

1 1 ∵a>1,∴0<a<1,1<a+1<2, ∴2<e2<5.又 e>1,∴ 2<e< 5.

答案:B
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7.(2012· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 x2 y2 m-m2+4=1 的离心率为 5,则 m 的值为 .

解析:由题意得 m>0,∴a= m,b= m2+4,c= m2+m+4 c m2+m+4,由 e=a= 5得 =5,解得 m m

答案:2

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1.已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程 是否为标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,然后由方 程确定焦点所在的坐标轴,找准 a 和 b,才能正确地写出焦点坐 标、顶点坐标等. b 2.如果已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,那么双曲线方 a x2 y2 程可设为a2-b2=λ(λ≠0). c b2 3.双曲线的离心率 e=a= 1+?a? (a>0,b>0).
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