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等比数列


2.4 等比数列(一)

知识回顾
名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等于同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

a ? a ? ( n ? 1) d
a ? a ? (n ? m )d
n m

n

1

(n, m ? N )
*

小实验:
1.看清楚
折1次 厚度 2(21)

已知白纸的厚度为1,将白纸对折. 纸的厚度是怎样变化的. 折3次 8(23) 折4次 ... 折28次

折2次 4(22)

16(24) ... 228

? 2.想一想

你能折到28次吗?

(如果一页纸的厚度按0.04毫米计算)当折到第28 次的时候,请大家估计一下纸的总厚度.

0.04毫米= 0.04

×

10-3

米 米

厚度 = 228×0.04 ×10-3=10737.41824

观察下列数列,看看他们有什么共同的特点
(1)
(2)

1, 2 , 2
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16

2

, 2

3

,

……

, 2

63

, ……

(3) 9,92,93,94,95,96,

9

7

(4)

36,36×0.9,36×0.92, 36×0.93,…

共同特点: 从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数.

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的 比 等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的公比(q)。

等差数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的 差 等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列 , 这个常数叫做等差数列的公差(d)。

练习
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1,3,9,27,81,…
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,?

是,公比 q=3

(2)
(3)

是,公比 q=

1 2

5,5,5,5,5,5,…

是,公比 q=1

(4)
(5) (6) (7)

1,-1,1,-1,1,…
1,0,1,0,1,… 0,0,0,0,0,…

是,公 比q= -1
不是等比数列

不是等比数列

1, x , x , x , x , ? ( x ? 0)
2 3 4

是,公比 q= x

公比q是每一项(第2项起)与它的前一项的比;防止把被除数 与除数弄颠倒;公比可以是正数,负数,可以是1,但不可以为0

对定义的理解
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1,3,9,27,…
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,?

1. 各项不能为零,即 a n ? 0 2. 公比不能为零,即 q ? 0 3. 当q>0,各项与首项同号
当q<0,各项符号正负相间 4. 数列

5, 5, 5, 5,… 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,… 0,0,0,0,…

a?0

a, a , a , …

时,既是等差数列 又是等比数列;

a ? 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.

等差数列通项公式的推导: a n ? a n ?1 ? d
方法:(累加法)

a 2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

… …

a n ?1 ? a n ? 2 ? d

a n ? a n ?1 ? d

?

(n-1)个 式子

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? q 等比数列通项公式的推导: ?n ? 2 ? a n ?1
通项公式的推导: ? a a ? ?
2

? q ? q a a ? a a

a a

3

? q a

a a

4

? q

1

2

3

a a a a
2

n ?1

n

? q (以上各式相乘 ? a a

)

n?2

a
3 4

n ?1

?

?? ?

a a

n ?1

n

1

2

3

n?2

n ?1

? q ? q ? q ? ? ? q ( n ? 1个 q 相乘 ) 即a ? a ?q
n 1 n ?1

等比数列的通项公式:
等比数列?a ?,首项为 a 1 ,
n

公比为q,则通项公式为 n-1 an=a1q

当q=1时,这是 一个常函数。 an ? 0

﹡,q≠0) (n∈N

注:方程中有四个量,知三求一,这是公式最 简单的应用

练习

变形结论:
在等差数列 ?a ? 中
n

an ? am ? ( n ? m )d
(n, m ? N )
*

试问:在等比数列 ?a n ? 中,如果知 道 a m 和公比q,能否求 a n ?如果能, 请写出表达式。 n?m * an ? am q (n, m ? N )

观察如下的两个数之间,插入一个什么 数后者三个数就会成为一个等比数列:
(1)1, ±3, 9
±6 (3)-12, ,-3

等比中项

(2)-1, ±2 ,-4 (4)1, ±1,1

如果在a与b中间插入一个数G, 使a,G,b成等比数列,那么G叫 做a与b的等比中项。 G ? ? ab
注意:1.两个数的等比中项有两个,它们互为相反数;

2.这两个数必须满足同号的条件,即ab>0

典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项. 解:设这个等比数列的第1项是 a,公比是q ,那么
1

a q ? 12
2 1

a q ? 18
3 1

解得, 因此

q ?

3 2

, a ?
1

16 3

a ? aq ?
2 1

16 3

?

3 2

? 8
16 3

答:这个数列的第1项与第2项分别是

与 8.

练习
(1)一个等比数列的第5项是
4 9

,公比是

?

1 3

,求它的第1项;

(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.

例2 已知 ?a n ?, ?b n ? 是项数相同的等比数列, 求证 ?a n ? b n ? 是等比数列.

证明:设数列 ?a n ?首项为a 1 ,公比为 q 1?b n ?首项为b 1 ,公比为q 2 ; 那么数列 ?a n ? b n ?的第n项与第n+1项 分别为:
a1 ? q1
n ?1

? b1 ? q 2

n ?1

与 a 1 ? q 1 ? b1 ? q 2
n

n

n

即为
a n ?1 ? b n ?1 a n ? bn ?

a1b1 ( q1 q 2 )
a 1 b1 ( q 1 q 2 ) a 1 b1 ( q 1 q 2 )
n n ?1

n ?1

与 a1b1 ( q1 q 2 )

?

? q1q 2 .

所以 ?a n ? b n ? 是一个以 q 1 q 2 为公比的等比数列

练习
等比数列 { a n } 中, a 4 · 7 = -512,a 3 + a 8 = 124, a 公比 q 为整数,求 a 10.

法一:直接列方程组求 a 1、q。
法二:在法一中消去了 a 1,可令 t = q 5 法三:由 a 4 · 7 = a 3 · 8 = -512 a a
? a 3 ? 124 a 3 ? 512 ? 0
2

? a 3 ? 128 或 a 3 ? ? 4

? a 3 ? 128 ? a3 ? ?4 ? ? 或? ? a8 ? ?4 ? a 8 ? 128
? a3 ? ?4 ? ? ? a 8 ? 128

∵ 公比 q 为整数
? ? 32

? q

5

?

128 ? 4

? q ? ?2

归纳:
数 列 等 差 数 列
an+1-an=d

等 比 数 列
a
n ?1

定义式
公差(比) 定义变形 通项公式 一般形式

? q

a

n

d 叫公差
an+1=an+d an= a1+(n-1)d

q叫公比
an+1=an q an=a1qn-1

an=am+(n-m)d
d? an ? am n?m

an=amqn-m
q
n? m

?

an am

练习
1、一个等比数列的第4项与第7项分别是 -
2

9

,

2

243

,求这个等比数列的通项公式

以及第5项
例 2,已 知 数 列 { a n }为 等 比 数 列 (1) 若 a n ? 0, 且 a 2 a 4 ? 2 a 3 a 5 ? a 4 a 6 ? 2 5, 求 a 3 ? a 5 ; ( 2 ) a 1 ? a 2 ? a 3 ? 7 , a 1 a 2 a 3 ? 8, 求 a n

3.等比数列{an}中,a3+ a6=36,a4+a7=18, an =1/2, 求n.

等比数列的性质

等比数列的性质

等比数列的性质

典例剖析

典例剖析

练习

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0

(1)数列:1,2,4,8,16,…
(2)数列:
● ●

a ?2
n

n ?1

(3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…


1 1 1 8 , 4 , 2 ,1, , , , ? 2 4 8 1 n ?1 4? n an ? 8 ? ( ) ?2 2
n

a ? 4

● ●



● ●













● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

1

2


3

4


5

6




7

8


9

10

n

(4)数列:1,-1,1,-1,1,-1,1,… a ?

1 ? ? 1) ( 2

n ?1

小结
1.等比数列的定义
2.等比数列的通项公式及推导 3.等比中项的定义

4.等比数列的图像

作业
1.阅读教材第页至第页
2.教材第页第题

3.红对勾第课时


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