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必修4平面向量基础练习完整版


高中数学必修 4---平面向量(1)
(一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 (二)向量概念理解 1、数量与向量有何区别? 2、如何表示向量? 3、有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 4、长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 5、满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 6、有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关 系? (三)探究学习 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示; ②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB ; ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作| AB |. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义:
1

a
A(起点)

B (终点)

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行. 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关. .......... 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关). ........... 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别 于在同一直线上的线段的位置关系. (四)理解和巩固: (1)平行向量是否一定方向相同? (2)不相等的向量是否一定不平行? (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与任意向量都平行的向量是什么向量? (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (6)两个非零向量相等的当且仅当什么? (7)共线向量一定在同一直线上吗? (不一定) (不一定) (零向量) (零向量) (平行向量) (长度相等且方向相同) (不一定) 例 3 下列命题正确的是( )?

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行 例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量. 变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在) 变式三:与向量共线的向量有哪些?( CB, DO, FE ) 练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.?
2

①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;?
④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;?

⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

高中数学必修 4---平面向量(2)--向量加法
强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究的向量是与起点无关 的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置. 1、 情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB ? BC ? AC A B C (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: AB ? BC ? AC 二、探索研究: 1、向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 2、三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 如图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b, 即 a+b ? AB ? BC ? AC ,规定: a + 0-= 0 + a a a a C a A + a b b b a+b b B
3

A

B

C

C A

B

C

A

B



a+b

结果: (1)两相向量的和仍是一个向量; O (2) 当向量 a 与 b 不共线时, + b 的方向不同向, a + b |<| a |+| b |; 且| a (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 同向,且| a + b |=| a |+| b |, (4)当 a 与 b 反向时,若| a |>| b |,则 a + b 的方向与 a 相同,且 | a + b |=| a |-| b |;若| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|=| b |-| a |. (5) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例一、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点,作 OA ? a AB ? b ,则 OB ? a ? b . 4.加法的交换律和平行四边形法则 1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: a + b = b + a 5.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 练习 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的速度的大小为 4 km / h , 求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际航程为 8km, 求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 v 1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v2 ,船的实际航行的速度的大 小为 4 km / h ,方向与水流间的夹角是 60? ,求 v 1 和 v2 . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小最大是 最小是 km/h km/h, a a B b b a A b

5、已知两个力 F1,F2 的夹角是直角,且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ? ,|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小. 6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

4

高中数学必修 4---平面向量(3)-向量减法
一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律: 例:在四边形中, CB ? BA ? BA ? D . C

解: CB ? BA ? BA ? CB ? BA ? AD ? CD 二、 向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法

A

B

(1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a (2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a+b=0

(3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差. 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 3. 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 作法:在平面内取一点 O, b 作 OA = a, 则 BA = a ? b 即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 结果: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b ? a.
5

a b

O

a

AB = b
B

a?b

a O b a b O

a?b B A B’ O B

a?b A

a?b A ?b B B O

a?b A

2)若 a∥b, 如何作出 a ? b ? 三、 例题: 例一、 (P97 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d. 解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b,

DC = c?d
A B D

b a

d c O C

例二、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . A 解:由平行四边形法则得:

D

C

B

AC = a + b, DB = AB ? AD = a?b
变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 对角线方向不同)

练习:
1.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( A.a+b? B. a+(-b)? C. -b? a )? D. -a? b

2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C. +b-c-d=0 a D.a-b-c+d=0

3.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:?
6

a+b=

,b+c=

,c-d=

,a+b+c-d=

.?

4、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、d 的方向(用箭头表示) , 使 a+b= AB ,c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

高中数学

必修 基本定理及坐标表示 1 平面向量基本定理

4---平面向量(4)--

平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 . 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2) 基底不惟一,关键是不共线; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 三、讲解范例: 例 1 已知向量 e1 , e2 例 2 如图 求作向量?2.5 e1 +3 e2 .

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?

?

ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,用 a ,b 表示 MA ,

?

?

?

?

MB , MC 和 MD
例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,求证:

OA + OB + OC + OD =4 OE
例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP .

OB ( 2 ) 设 OA、 不 共 线 , 点 P 在 O 、 A 、 B 所 在 的 平 面 内 , 且
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??? ?? ? ?

??? ? ??? ??? ? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.
例 5 已知 a=2e1-3e2, 2e1+3e2, b= 其中 e1, 2 不共线, e 向量 c=2e1-9e2, 问是否存在这样的实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线. 练习: 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

? ?

?

?

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

5.已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________(填共线或不共线).

2 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由 平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj ????○ 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 a ? ( x, y) ????○ 2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○式叫做向量的坐标表示.与 a 相等的向量的坐标也为 . ..........

( x, y ) .
特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确 定.
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设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因 此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2.平面向量的坐标运算 (1) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、 j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y) 三、讲解范例: 例 1 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标. 例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标. 例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 例 4 已知三个力 F1 (3, 4), 练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

??? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标.

1 MN , 求 P 点的坐标 2
.

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD 是梯形.

3 平面向量共线的坐标表示
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平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 二、讲解新课:

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)

?

?

其中 b ? a .

? ?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

?

? x ? ?x2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0

?

∴x2, y2 中至少有一个不为 0

(2)充要条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ?

?

?

?

a ? ?b x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

三、讲解范例: 例 1 已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y. 例 2 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系. 例 3 设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 例 4 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 例 5 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 练习: 1.若 a=(2,3),b=(4,-1+y),且 a∥b,则 y=( A.6 B.5 C.7 ) D.8 )?

?

?

?

?

?

?

2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3
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3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 B.2,2 ) C.3,2 D.2,4 . . .

4.已知 a=(4,2),b=(6,y),且 a∥b,则 y=

5.已知 a=(1,2),b=(x,1),若 a+2b 与 2a-b 平行,则 x 的值为

6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为 A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则 x=

4 平面向量的数量积
一、复习 1. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a . 2.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只 有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e2 3.平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只 有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 4.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , ?a ? (?x, ?y) . 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 5. a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0 6.线段的定比分点及λ P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ , 使

?

?

?

?

?

?

?

?

?

PP = λ 1

PP 2

, λ

叫 做 点

P



P P2 1

所 成 的 比 , 有 三 种 情 况 :

λ >0(内分) 7. 定比分点坐标公式:

(外分) λ <0 (λ <-1)

( 外分)λ <0 (-1<λ <0)

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若点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ 为实数,且 P P =λ PP ,则点 P 的坐标为( 1 2 λ 为点 P 分 P P2 所成的比. 1 8. 点 P 的位置与 λ 的范围的关系: ①当 λ>0时, P P 与 PP 同向共线,这时称点 P 为 P P2 的内分点. 1 2 1 ②当 λ<0( ? ? ?1 )时, P P 与 PP 反向共线,这时称点 P 为 P P2 的外分点. 1 2 1 9.线段定比分点坐标公式的向量形式: 在平面内任取一点 O,设 OP =a, OP =b, 1 2 可得 OP =

x1 ? ?x 2 y1 ? ?y 2 , ) ,我们称 1? ? 1? ?

a ? ?b 1 ? ? a? b. 1? ? 1? ? 1? ?

10.力做的功:W = |F|?|s|cos?,?是 F 与 s 的夹角.

两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角. 说明: (1)当 θ=0时,a与b同向; (2)当 θ=π 时,a与b反向; (3)当 θ=

? 时,a与b垂直,记a⊥b; 2

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的.范围 0?≤?≤180?

C 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量 积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. ?探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个向量的外积 a×b,而 a?b 是两个向量的数量的积,书 写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替. (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0.因为其中 cos?有可
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能为 0. (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA|,b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但 a ? c (5)在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. 3. “投影”的概念:作图 a=c

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量, 不是向量; 当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为 0;当? = 0? 时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|. 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. 5.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos? 2? a?b ? a?b = 0 3? 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a

4? cos? =

a ?b | a || b |

5? |a?b| ≤ |a||b| 三、讲解范例: 例 1 已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a· b. 例 2 已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60o 求(a+2b)· (a-3b). 例 3 已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直. 例 4 判断正误,并简要说明理由. ①a· 0=0;②0· =0;③0- AB = BA ;④|a· |=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a· ≠ a b b 0;⑥a· =0,则a与b中至少有一个为 0;⑦对任意向量a,b,с 都有(a· )с=a(b· ;⑧a与b是 b b с) 2 2 两个单位向量,则a =b . 解:上述 8 个命题中只有③⑧正确; 对于①:两个向量的数量积是一个实数,应有 0· =0;对于②:应有0· =0; a a 对于④:由数量积定义有|a· |=|a|· b|· b | |cosθ|≤|a||b|,这里 θ 是a与b的夹角,只有 θ
13

=0或 θ=π 时,才有|a· |=|a|· b|; b | 对于⑤:若非零向量a、b垂直,有a· =0; b 对于⑥:由a· =0可知a⊥b可以都非零; b 对于⑦:若a与 с 共线,记a=λс. 则a· =(λс)· =λ(с· )=λ(b· , b b b с) ∴(a· )· b с=λ(b· с)с=(b· с)λс=(b· a с) 若a与 с 不共线,则(a· )с≠(b· a. b с) 评述:这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律. 例 6 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角是 60° 时,分别求a· . b 解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角 θ=0° , ∴a· =|a|· b|cos0° b | =3× 1=18; 6× 若a与b反向,则它们的夹角 θ=180° , ∴a· =|a||b|cos180° b =3× (-1)=-18; 6× ②当a⊥b时,它们的夹角 θ=90° , ∴a· =0; b ③当a与b的夹角是 60° 时,有

a· =|a||b|cos60° b =3× 6× =9

1 2

练习: 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12 )



A.2

B.2 3

C.6

3.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.已知向量 a、b 的夹角为 B.必要但不充分条件?

D.既不充分也不必要条件

? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b|· |a-b|= 3

. .

5.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,那么 a· b= 6.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60° ,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c) =______.


7.已知|a|=1,|b|= 2 ,(1)若 a∥b,求 a· b;(2)若 a、b 的夹角为60° ,求|a+b|;(3)若 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹 角. 8.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.
14

9.对于两个非零向量 a、b,求使|a+tb|最小时的 t 值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角.

5 平面向量数量积的运算律
平面向量数量积的运算律 1.交换律:a ? b = b ? a 证:设 a,b 夹角为?,则 a ? b = |a||b|cos?,b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a 2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?,a?( ? b) = ? |a||b|cos?, 若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?, ? (a?b) = ? |a||b|cos?, a?( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?. 3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c 在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a、b 在 c 方向 上的投影和,即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 即:(a + b)?c = a?c + b?c

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 说明: (1)一般地,(a· )с≠a(b· b с) (2)a· b· с= с,с≠0

a=b
2 2

(3)有如下常用性质:a =|a| , (a+b) (с+d)=a· a· +b· b· с+ d с+ d (a+b) =a +2a· +b b 三、讲解范例: 例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为?,则 cos? = ① ②
2 2 2

a?b b2 1 ? ? 2 | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60?

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
15

解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD
2 ∴| AC |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

而 BD = AB ? AD ,
2 ∴| BD |2= | AB ? AD | ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 2 2

∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2AD = | AB |2 ? | BC |2 ? | DC |2 ? | AD |2 例 3 四边形 ABCD 中, AB =a, BC =b, CD =с, DA =d,且a· =b· b с=с· =d· ,试问四边形 ABCD d a 是什么图形? 分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为: 一方面:∵a+b+с+d=0,∴a+b=-(с+d) ,∴(a+b) =(с+d) 即|a| +2a· +|b| =|с| +2с· +|d| b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

由于a· =с· ,∴|a| +|b| =|с| +|d| ① b d 同理有|a| +|d| =|с| +|b| ② 由①②可得|a|=|с|,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a· =b· b с,有b(a-с)=0,而由平行四边形 ABCD 可得a=-с,代入上式得b· a)= (2 0,即a· =0,∴a⊥b也即 AB⊥BC. b 综上所述,四边形 ABCD 是矩形. 评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是零向量,即a+b+с+d =0,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( ) B.向量的数量积满足分配律 D.a· 是一个实数 b )
2 2 2 2



A.向量的数量积满足交换律 C.向量的数量积满足结合律

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60° ,则(a+2b)· (a-3b)等于( A.72 B.-72 C.36 D.-36 )

3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ A.平行

3 3 b 与 a- b 的位置关系为( 4 4
C.夹角为

B.垂直

? 3

D.不平行也不垂直


4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150° ,则(a+b) =
16

.

5.已知|a|=2,|b|=5,a· b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λb 与 a-λb 垂直,则 λ= : .

.

高中数学必修 4---平面向量(5)--平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、复习 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量|a||b|cos?叫a与b的数量 积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos?, (0≤θ≤π).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3.向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积. C 4.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? 3? e?a = a?e =|a|cos?; 2? a?b ? a?b = 0

当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a

4?

cos? =

a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

5.平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 a ? x1i ? y1 j , b ? x2 i ? y 2 j 所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2 i ? y 2 j ) ? x1 x2i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j
2 2

17

又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2. 平面内两点间的距离公式 四、 设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |?

x2 ? y2 .

( 2 ) 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) , 那 么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)
五、 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 六、 两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? =

a ?b ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

七、 讲解范例: 八、 设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a· 及 a、b 间的夹角θ (精确到 1o) b 例 2 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 例 3 已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x. 例 4 已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多少? 例 5 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,求点 B 和向量 AB 的坐标. 例 6 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值.

练习: 1.若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a· b=( A.23 B.57 C.63


) D.83 ) D.不等边三角形 )

2.已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 为( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

3.已知 a=(4,3),向量 b 是垂直 a 的单位向量,则 b 等于( A. ( , ) 或 ( , ) ?

3 4 5 5

4 3 5 5

B. ( , ) 或 (? ,? )

3 4 5 5

3 5

4 5

18

C. ( ,? ) 或 (?

3 5

4 5

4 3 , )? 5 5

D.( ,? ) 或 (? , ) .

3 5

4 5

3 4 5 5

4.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)· (a-b)= 5.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-

1 )在线段 AB 的中垂线上,则 x= 2

.

6.已知 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为

.

19


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