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2-3-1圆的标准方程


技能演练
基 础 强 化 1.方程(x-a)2+(y-b)2=0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 B.点(a,b) C.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b) 解析 ∵(x-a)2+(y-b)2=0,∴x-a=y-b=0, ∴该方程表示的是一个点(a,b). 答案 B )

2.已知一圆的圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程为( A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 解析 由题意可知, 圆的这条直径的两个端点为(4,0)和(0, -6), 52 故圆的直径= 42+?-6?2= 52,半径 r= 2 ,∴圆的方程为(x-2)2 +(y+3)2=13. 答案 A )

3.平面直角坐标系中,横纵坐标都是整数的点称为整点,在圆 x2+y2=16 内所有整点中,到原点距离最远的整点可以在( A.直线 y-1=0 上 C.直线 x+1=0 上 B.直线 y=x 上 D.直线 x+3=0 上 )

解析 在圆 x2+y2=16 内到原点距离最远的整点有(2,3),(3,2),

(-2,3),(-3,2),(-3,-2),(-2,-3),(2,-3),(3,-2),由 此可知 D 正确. 答案 D

4.圆的方程是(x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心的坐标为 ( ) A.(1,-1) C.(-1,2) 解析
? ?1 ? B.?2,-1? ? ? ? ? 1 ? D.?-2,-1? ?

该圆的一条直径的两个端点为(1,2),(-2,-4),故圆心
?

? 1 ? 坐标为?-2,-1?.

答案

D )

5.方程 y=- 16-x2表示的曲线是( A.一条射线 C.两条射线

B.一个圆 D.半个圆

解析 该方程可变形为 x2+y2=16(y≤0),它表示圆心在原点, 半径为 4 的圆的下半个圆. 答案 D

6. (2010· 广东)若圆心在 x 轴上, 半径为 5的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程为( A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 )

B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5

解析 设圆心为(a,0),则圆的方程为(x-a)2+y2=5, ∵圆与直线 x+2y=0 相切, ∴ |a| = 5,∴a=± 5. 5

∵圆 O 位于 y 轴左侧,∴a=-5, ∴圆的方程为(x+5)2+y2=5. 答案 D

3 7.在 x 轴下方,与 x 轴相切于(8,0),半径为2 的圆的方程为 ________. 3? ? 解析 由题意可知,圆的圆心为?8,-2?,
? ?

3? 9 ? ∴圆的方程为(x-8)2+?y+2?2=4.
? ?

答案

3? 9 ? (x-8)2+?y+2?2=4
? ?

8. 圆心在 y 轴上, 半径为 1, 且过点(1,2)的圆的方程为________. 解析 设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2,故圆的方程为 x2+(y-2)2= 1. 答案 x2+(y-2)2=1 能 力 提 升 9.直线 l:(m+1)x+2y-4m-4=0(m∈R)恒过定点 C,圆 C 是 以点 C 为圆心,以 4 为半径的圆,求圆 C 的方程. 解析 直线 l 的方程可以化为 (x-4)m+x+2y-4=0, 当 x=4 时,y=0 对任意 m∈R 恒成立. ∴直线 l 恒过(4,0),即点 C(4,0). ∵圆 C 是以 C 为圆心,4 为半径的圆, ∴圆 C 的方程为(x-4)2+y2=16. 10.已知曲线是与两个定点 A(-4,0),B(2,0)距离之比为 2 的点

的轨迹, 求此曲线方程, 并判断点(2,3)和(-4,2)与该曲线的位置关系. |MA| 解析 设 M(x,y)是曲线上任意点,点 M 在曲线上的条件是|MB| =2, ?x+4?2+y2 则 =2, ?x-2?2+y2 整理得(x-4)2+y2=16, ∴所求曲线是圆心为(4,0),半径为 4 的圆. ∵(2-4)2+32=13<16,(-4-4)2+22=68>16, ∴点(2,3)在该圆的内部,点(-4,2)在该圆的外部. 品 味 高 考 11.(2010· 海南、宁夏、吉林、黑龙江)圆心在原点,且与直线 x +y-2=0 相切的圆的方程为________. 解析 r= 答案 2 = 2,∴圆的方程为 x2+y2=2. 2

x2+y2=2

12.(2011· 辽宁)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴 上,则 C 的方程为________. 解析 ∵kAB= 3-1 -1 = ,AB 的中点为(3,2), 1-5 2

∴线段 AB 的垂直平分线为 2x-y-4=0. 由于圆心在 x 轴上,圆心也在线段 AB 的垂直平分线上, ∴圆心坐标为(2,0),半径为|CB|= 10. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 答案 (x-2)2+y2=10


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